1 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，根据尺规作图的痕迹作射线$AG$，交$BC$于点$D$，则$BD$的长为 （）

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}$
（第1题）

1. D

2 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3.若P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为.

2. $\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$ 【解析】$\because △ABC$ 为等腰直角三角形，$∠C=90°,AC=3,\therefore BC=AC=3.$ 在 $\mathrm{Rt}△ACP$ 中，$AP^2 = AC^2+PC^2.\because P$ 为边 $BC$ 的三等分点，$\therefore$ ① 当 $PC=\dfrac{1}{3}BC=1$ 时，$AP=\sqrt{10}$；② 当 $PC=\dfrac{2}{3}BC=2$ 时，$AP=\sqrt{13}.$ 综上所述，$AP$ 的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}.$

3 整体思想 设$a$，$b$是直角三角形的两条直角边的长.若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则$ab$的值为.

3. 3 【解析】根据题意，得 $a+b+2.5=6$，即 $a+b=3.5$，$a^2+b^2=2.5^2$ ①. 将 $a+b=3.5$ 两边平方，得 $a^2+2ab+b^2=12.25$ ②. 由②$-$①，得 $2ab=6$，即 $ab=3.$

4 [2024浙江]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE的长为.

4. $\sqrt{17}$ 【解析】$\because \mathrm{Rt}△DAH≌\mathrm{Rt}△ABE,\therefore DH=AE=4,AH=BE=3,\therefore EH=AE-AH=4-3=1.$ $\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形，$\therefore ∠DHE=90°,\therefore DE^2=DH^2+EH^2,$ $\therefore DE=\sqrt{17}.$

5 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示$-\sqrt{10}$的点.

5. 作法不唯一，如图，点 A 即为所求

6 如图，$△ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ ECD=90°$，D为边AB上一点.求证：
(1) $△ ACE ≌ △ BCD$；
(2) $AD^2 + DB^2 = 2CD^2$.
（第6题）

6. (1) $\because △ACB$ 和 $△ECD$ 都是等腰直角三角形，$\therefore AC=BC,CD=CE.$ $\because ∠ACB=∠ECD=90°,\therefore ∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD,\therefore ∠BCD=∠ACE.$ 在 $△ACE$ 和 $△BCD$ 中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$ $\therefore △ACE≌△BCD$
(2) $\because △ACB$ 是等腰直角三角形，$\therefore ∠B=∠BAC=45°.$ $\because △ACE≌△BCD,\therefore EA=DB,∠CAE=∠B=45°,$ $\therefore ∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,\therefore AD^2+EA^2=DE^2,\therefore AD^2+DB^2=DE^2.$ 又 $\because △ECD$ 是等腰直角三角形，$\therefore CD^2+CE^2=2CD^2=DE^2,\therefore AD^2+DB^2=2CD^2$