10 [2024滨州]如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(-1,3),O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在该平面内找一点P,使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小,则点P的坐标为 .

10. $(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$
【解析】根据“两点之间线段最短”,得$PO+PC$的最小值就是线段$OC$的长,$PA+PB$的最小值就是线段$AB$的长,$\therefore$ 到四个顶点的距离之和$PA+PO+PB+PC$最小的点就是直线$AB$,$OC$的交点$P$.易得直线$OC$对应的函数表达式为$y=\dfrac{4}{5}x$,直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+2$,联立方程组,即可得点$P$的坐标为$(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 $x$
$B$
11 甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶。甲、乙距山脚的垂直高度$y$(米)与甲登山的时间$x$(分钟)之间的函数图象如图所示。
(1) 当$15≤ x≤40$时，求乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式；
(2) 求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度。

11. (1) 设乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$($k≠0$). $\because$ 函数图象过点$(15,0)$和$(40,300)$,
$\therefore \begin{cases} 15k+b=0, \\ 40k+b=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=12, \\ b=-180, \end{cases}$ $\therefore$ 乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=12x-180$
(2) 当$25≤ x≤ 60$时,设甲距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=mx+n$($m≠0$). $\because$ 函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$,
$\therefore \begin{cases} 25m+n=160, \\ 60m+n=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=60, \end{cases}$ $\therefore y=4x+60$. 当乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时,有$\begin{cases} y=12x-180, \\ y=4x+60, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=30, \\ y=180, \end{cases}$ $\therefore$ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米

12 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象与一次函数$y=-x+7$的图象交于点A.
(1) 求点A的坐标.
(2) 设x轴上有一点$P(a,0)$,过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象和一次函数$y=-x+7$的图象于B,C两点,连接OC.若$BC=\frac{7}{5}OA$,求$△ OBC$的面积.

12. (1) 由$\begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x, \\ y=-x+7, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$ $\therefore$ 点$A$的坐标为$(4,3)$
(2) 如图,过点$A$作$x$轴的垂线,垂足为$D$. 由(1),得$A(4,3)$,
$\therefore OD=4,AD=3$. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,由勾股定理,得$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$. $\therefore BC=\dfrac{7}{5}OA=\dfrac{7}{5}× 5=7$.
$\because$ 点$P$的坐标为$(a,0)$,$\therefore$ 依题意,得点$B$的坐标为$(a,\dfrac{3}{4}a)$,
点$C$的坐标为$(a,-a+7)$,$\therefore BC=\dfrac{3}{4}a-(-a+7)=\dfrac{7}{4}a-7$,
$\therefore \dfrac{7}{4}a-7=7$,解得$a=8$,即$OP=8$,$\therefore S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}BC· OP=\dfrac{1}{2}× 7× 8=28$