登录
1. 已知 $ m $ 是正整数，$ a = \frac{\sqrt{m+1} - \sqrt{m}}{\sqrt{m+1} + \sqrt{m}} $，$ b = \frac{\sqrt{m+1} + \sqrt{m}}{\sqrt{m+1} - \sqrt{m}} $，$ a + b + 3ab = 2029 $，则 $ m $ 的值为
506
。答案
因为 $ a = \frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})} = m + 1 + m - 2\sqrt{m(m+1)} $，
$ b = \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})} = m + 1 + m + 2\sqrt{m(m+1)} $，
所以 $ a + b = 4m + 2 $，$ ab = 1 $。又因为 $ a + b + 3ab = 2029 $，
所以 $ 4m + 2 + 1× 3 = 2029 $，解得 $ m = 506 $。
点技巧 当二次根式出现在分母中时，可通过分母有理化的方法进行化简：1.若分母是单项二次根式，可利用$\sqrt{a} · \sqrt{a} = a$来进行分母有理化；2.若分母是非单项二次根式，则可以利用平方差公式来进行分母有理化。
$ b = \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})} = m + 1 + m + 2\sqrt{m(m+1)} $，
所以 $ a + b = 4m + 2 $，$ ab = 1 $。又因为 $ a + b + 3ab = 2029 $，
所以 $ 4m + 2 + 1× 3 = 2029 $，解得 $ m = 506 $。
点技巧 当二次根式出现在分母中时，可通过分母有理化的方法进行化简：1.若分母是单项二次根式，可利用$\sqrt{a} · \sqrt{a} = a$来进行分母有理化；2.若分母是非单项二次根式，则可以利用平方差公式来进行分母有理化。
解析
【分析】
首先观察a和b的表达式，分母均为带二次根式的和或差，第一步先对a、b进行分母有理化，简化二者的形式；再分别计算a+b和ab的值，可发现a+b的结果不含根号，ab的结果为常数1，无需进行复杂的根式运算；最后将a+b和ab的值代入已知等式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，最后验证m为正整数符合要求即可。
【解析】
1. 对a进行分母有理化：
$a = \frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})} = \frac{(m+1)+m-2\sqrt{m(m+1)}}{(m+1)-m} = 2m+1-2\sqrt{m(m+1)}$
2. 对b进行分母有理化：
$b = \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})} = \frac{(m+1)+m+2\sqrt{m(m+1)}}{(m+1)-m} = 2m+1+2\sqrt{m(m+1)}$
3. 计算a+b和ab的值：
相加时根号项抵消，得$a+b=(2m+1-2\sqrt{m(m+1)})+(2m+1+2\sqrt{m(m+1)})=4m+2$
a和b互为倒数，相乘得$ab=\frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} × \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}=1$
4. 代入等式求解m：
把$a+b=4m+2$、$ab=1$代入$a+b+3ab=2029$，得：
$4m+2+3×1=2029$
整理得$4m=2024$，解得$m=506$，符合m是正整数的条件。
【答案】
$\boxed{506}$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 二次根式运算 3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心是利用分母有理化简化带二次根式的分式，同时注意观察代数式的结构特征，发现a、b互为倒数、相加后根号项抵消的特点，可大幅降低运算量，避免复杂的根式计算，要求熟练掌握分母有理化的方法和代数式结构观察的技巧。
【难度系数】
0.6
首先观察a和b的表达式，分母均为带二次根式的和或差，第一步先对a、b进行分母有理化，简化二者的形式；再分别计算a+b和ab的值，可发现a+b的结果不含根号，ab的结果为常数1，无需进行复杂的根式运算；最后将a+b和ab的值代入已知等式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，最后验证m为正整数符合要求即可。
【解析】
1. 对a进行分母有理化：
$a = \frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})} = \frac{(m+1)+m-2\sqrt{m(m+1)}}{(m+1)-m} = 2m+1-2\sqrt{m(m+1)}$
2. 对b进行分母有理化：
$b = \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})} = \frac{(m+1)+m+2\sqrt{m(m+1)}}{(m+1)-m} = 2m+1+2\sqrt{m(m+1)}$
3. 计算a+b和ab的值：
相加时根号项抵消，得$a+b=(2m+1-2\sqrt{m(m+1)})+(2m+1+2\sqrt{m(m+1)})=4m+2$
a和b互为倒数，相乘得$ab=\frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} × \frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}=1$
4. 代入等式求解m：
把$a+b=4m+2$、$ab=1$代入$a+b+3ab=2029$，得：
$4m+2+3×1=2029$
整理得$4m=2024$，解得$m=506$，符合m是正整数的条件。
【答案】
$\boxed{506}$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 二次根式运算 3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，核心是利用分母有理化简化带二次根式的分式，同时注意观察代数式的结构特征，发现a、b互为倒数、相加后根号项抵消的特点，可大幅降低运算量，避免复杂的根式计算，要求熟练掌握分母有理化的方法和代数式结构观察的技巧。
【难度系数】
0.6
2. 计算：$\frac{\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$
答案
原式$=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3})+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} + \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$。
点方法 根据“提示”，将原式的分子拆项变形，从而把原式变为两个式子的和，再约分、分母有理化。
点方法 根据“提示”，将原式的分子拆项变形，从而把原式变为两个式子的和，再约分、分母有理化。
解析
【分析】
观察算式结构，分母是两个含二次根式的因式的乘积，若直接展开分母或整体分母有理化计算量较大。可以尝试拆分分子：将分子$\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$拆分为$(\sqrt{6}+\sqrt{3})$与$3(\sqrt{3}+\sqrt{2})$的和，刚好对应分母的两个因式，再将分式拆成两个分式的和，约分后得到两个可直接分母有理化的简单分式，最后化简合并即可。
【解析】
原式$=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3})+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
$= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} + \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
分别对两个分式分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$
因此原式$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，裂项拆分，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的技巧性题型，通过拆分分子实现裂项约分，大幅降低了计算量。解题时需先观察分子分母的结构特征，灵活运用拆分技巧和分母有理化方法就能快速求解。
【难度系数】
0.5
观察算式结构，分母是两个含二次根式的因式的乘积，若直接展开分母或整体分母有理化计算量较大。可以尝试拆分分子：将分子$\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$拆分为$(\sqrt{6}+\sqrt{3})$与$3(\sqrt{3}+\sqrt{2})$的和，刚好对应分母的两个因式，再将分式拆成两个分式的和，约分后得到两个可直接分母有理化的简单分式，最后化简合并即可。
【解析】
原式$=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3})+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
$= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} + \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
分别对两个分式分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$
因此原式$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，裂项拆分，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的技巧性题型，通过拆分分子实现裂项约分，大幅降低了计算量。解题时需先观察分子分母的结构特征，灵活运用拆分技巧和分母有理化方法就能快速求解。
【难度系数】
0.5
3.化简：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}+1}$
答案
易知原式$=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)}$，设原式$=x$，
则 $\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 = \sqrt{3}-1$。
所以 $x = \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$，即原式$=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
点方法 原式表面看上去无法化简，分子、分母变形后取倒数，便可化简，注意最后还要取倒数还原得最终结果。
则 $\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 = \sqrt{3}-1$。
所以 $x = \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$，即原式$=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
点方法 原式表面看上去无法化简，分子、分母变形后取倒数，便可化简，注意最后还要取倒数还原得最终结果。
解析
【分析】
首先观察分子和分母的结构，直接进行分母有理化运算量较大，因此先尝试对分子因式分解、对分母拆分变形：先将分子分组因式分解，可得分子是$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$与$(\sqrt{2}+1)$的乘积；再将分母拆分为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$与$(\sqrt{2}+1)$的和，此时原式呈现“两式乘积除以两式和”的结构，可通过设原式为$x$，取倒数将其拆分为两个分式的和，再利用分母有理化简化计算，最后将结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
第一步：对分子、分母变形：
分子：$\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2 = \sqrt{3}(\sqrt{2}+1) + \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)$
分母：$\sqrt{3}+2\sqrt{2}+1 = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}+1)$
因此原式改写为：$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)}$
第二步：设原式的值为$x$，对$x$取倒数可得：
$\frac{1}{x} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
第三步：对两个分式分别分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
因此$\frac{1}{x} = (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = \sqrt{3}-1$
第四步：对$\frac{1}{x}=\sqrt{3}-1$取倒数，再分母有理化：
$x = \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
二次根式化简，因式分解，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的技巧性题型，避免了直接分母有理化的繁琐运算，解题关键是通过观察分子分母的结构特征，灵活运用因式分解拆分变形，再借助取倒数的方法简化运算，最后注意要将倒数结果还原得到原式的值。
【难度系数】
0.4
首先观察分子和分母的结构，直接进行分母有理化运算量较大，因此先尝试对分子因式分解、对分母拆分变形：先将分子分组因式分解，可得分子是$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$与$(\sqrt{2}+1)$的乘积；再将分母拆分为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$与$(\sqrt{2}+1)$的和，此时原式呈现“两式乘积除以两式和”的结构，可通过设原式为$x$，取倒数将其拆分为两个分式的和，再利用分母有理化简化计算，最后将结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
第一步：对分子、分母变形：
分子：$\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2 = \sqrt{3}(\sqrt{2}+1) + \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)$
分母：$\sqrt{3}+2\sqrt{2}+1 = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}+1)$
因此原式改写为：$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)}$
第二步：设原式的值为$x$，对$x$取倒数可得：
$\frac{1}{x} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
第三步：对两个分式分别分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
因此$\frac{1}{x} = (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = \sqrt{3}-1$
第四步：对$\frac{1}{x}=\sqrt{3}-1$取倒数，再分母有理化：
$x = \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
二次根式化简，因式分解，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的技巧性题型，避免了直接分母有理化的繁琐运算，解题关键是通过观察分子分母的结构特征，灵活运用因式分解拆分变形，再借助取倒数的方法简化运算，最后注意要将倒数结果还原得到原式的值。
【难度系数】
0.4
4. 计算：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}}$
答案
原式$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$。
解析
【分析】
解决本题的关键是对分母进行合理变形，首先观察分母的各项特征，将分母的项分组后提取公因式，得到与分子相同的因式，通过约分简化式子，最后对化简后的式子进行分母有理化即可得到结果。具体思考路径：先拆分分母的各项为两个根式乘积的形式→分组提取公因式→找到与分子的公因式约分→分母有理化计算最终结果。
【解析】
先对分母进行因式分解：
$2 = \sqrt{2} × \sqrt{2}$，$\sqrt{6} = \sqrt{2} × \sqrt{3}$，$\sqrt{10} = \sqrt{5} × \sqrt{2}$，$\sqrt{15} = \sqrt{5} × \sqrt{3}$
因此分母可变形为：
$2+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15} = \sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) + \sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
提取公因式$(\sqrt{2}+\sqrt{3})$得：
$分母 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})$
代入原式，且$\sqrt{2}+\sqrt{3} ≠ 0$，可约分：
原式$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$
对上述式子进行分母有理化，分子分母同乘$(\sqrt{5}-\sqrt{2})$：
$\frac{1 × (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
二次根式化简；因式分解；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的典型技巧题，核心解题思路是通过分组分解因式简化分母，避免直接进行多重分母有理化的繁琐计算，熟练掌握二次根式的变形和分组提公因式的技巧，能快速解决这类化简问题。
【难度系数】
0.6
解决本题的关键是对分母进行合理变形，首先观察分母的各项特征，将分母的项分组后提取公因式，得到与分子相同的因式，通过约分简化式子，最后对化简后的式子进行分母有理化即可得到结果。具体思考路径：先拆分分母的各项为两个根式乘积的形式→分组提取公因式→找到与分子的公因式约分→分母有理化计算最终结果。
【解析】
先对分母进行因式分解：
$2 = \sqrt{2} × \sqrt{2}$，$\sqrt{6} = \sqrt{2} × \sqrt{3}$，$\sqrt{10} = \sqrt{5} × \sqrt{2}$，$\sqrt{15} = \sqrt{5} × \sqrt{3}$
因此分母可变形为：
$2+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15} = \sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) + \sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
提取公因式$(\sqrt{2}+\sqrt{3})$得：
$分母 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})$
代入原式，且$\sqrt{2}+\sqrt{3} ≠ 0$，可约分：
原式$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$
对上述式子进行分母有理化，分子分母同乘$(\sqrt{5}-\sqrt{2})$：
$\frac{1 × (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
二次根式化简；因式分解；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的典型技巧题，核心解题思路是通过分组分解因式简化分母，避免直接进行多重分母有理化的繁琐计算，熟练掌握二次根式的变形和分组提公因式的技巧，能快速解决这类化简问题。
【难度系数】
0.6
5. 已知 $ n = \sqrt{2} + 1 $，求 $ \frac{n+2+\sqrt{n^2 -4}}{n+2-\sqrt{n^2 -4}} + \frac{n+2-\sqrt{n^2 -4}}{n+2+\sqrt{n^2 -4}} $ 的值。
答案
设$x=n+2+\sqrt{n^2-4}, y=n+2-\sqrt{n^2-4}$，
则$x+y=2n+4, xy=4n+8$。
所以原式$=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}-2=\frac{(2n+4)^2}{4n+8}-2=n$。
当$n=\sqrt{2}+1$时，原式$=\sqrt{2}+1$。
点方法 原式中的分子、分母比较复杂，可以通过换元简化运算。
则$x+y=2n+4, xy=4n+8$。
所以原式$=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}-2=\frac{(2n+4)^2}{4n+8}-2=n$。
当$n=\sqrt{2}+1$时，原式$=\sqrt{2}+1$。
点方法 原式中的分子、分母比较复杂，可以通过换元简化运算。
解析
【分析】
观察所求代数式，两个分式的分子与分母恰好互为对方的分母与分子，且均含有较复杂的二次根式，若直接通分计算会十分繁琐。我们可以利用换元法简化运算：先将两个含根式的复杂式子分别设为x和y，此时原式转化为$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，对这个式子通分变形后，只需计算出x+y与xy的值代入即可，计算xy时可利用平方差公式消去根号，大幅降低计算量，最后化简后代入n的数值即可得到结果。
【解析】
设$x = n+2+\sqrt{n^2 - 4}$，$y = n+2-\sqrt{n^2 - 4}$
1. 计算$x+y$：
$x+y = (n+2+\sqrt{n^2 - 4}) + (n+2-\sqrt{n^2 - 4}) = 2n + 4$
2. 计算$xy$，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$：
$xy = (n+2+\sqrt{n^2 - 4})(n+2-\sqrt{n^2 - 4}) = (n+2)^2 - (\sqrt{n^2 - 4})^2$
$= n^2 + 4n + 4 - (n^2 - 4) = 4n + 8$
3. 化简原式：
原式$=\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy} - 2$
将$x+y=2n+4$，$xy=4n+8$代入得：
$\frac{(2n+4)^2}{4n+8} - 2 = \frac{4(n+2)^2}{4(n+2)} - 2 = (n+2) - 2 = n$
4. 代入$n=\sqrt{2}+1$，得原式的值为$\sqrt{2}+1$
【答案】
$\sqrt{2} + 1$
【知识点】
二次根式化简求值，换元法，分式化简
【点评】
本题针对结构对称的含根式分式运算，采用换元法将复杂运算转化为熟悉的代数变形，巧用平方差公式消去根号，避免了直接处理二次根式的繁琐计算，是二次根式化简求值中常用的简便技巧。
【难度系数】
0.6
观察所求代数式，两个分式的分子与分母恰好互为对方的分母与分子，且均含有较复杂的二次根式，若直接通分计算会十分繁琐。我们可以利用换元法简化运算：先将两个含根式的复杂式子分别设为x和y，此时原式转化为$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，对这个式子通分变形后，只需计算出x+y与xy的值代入即可，计算xy时可利用平方差公式消去根号，大幅降低计算量，最后化简后代入n的数值即可得到结果。
【解析】
设$x = n+2+\sqrt{n^2 - 4}$，$y = n+2-\sqrt{n^2 - 4}$
1. 计算$x+y$：
$x+y = (n+2+\sqrt{n^2 - 4}) + (n+2-\sqrt{n^2 - 4}) = 2n + 4$
2. 计算$xy$，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$：
$xy = (n+2+\sqrt{n^2 - 4})(n+2-\sqrt{n^2 - 4}) = (n+2)^2 - (\sqrt{n^2 - 4})^2$
$= n^2 + 4n + 4 - (n^2 - 4) = 4n + 8$
3. 化简原式：
原式$=\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy} - 2$
将$x+y=2n+4$，$xy=4n+8$代入得：
$\frac{(2n+4)^2}{4n+8} - 2 = \frac{4(n+2)^2}{4(n+2)} - 2 = (n+2) - 2 = n$
4. 代入$n=\sqrt{2}+1$，得原式的值为$\sqrt{2}+1$
【答案】
$\sqrt{2} + 1$
【知识点】
二次根式化简求值，换元法，分式化简
【点评】
本题针对结构对称的含根式分式运算，采用换元法将复杂运算转化为熟悉的代数变形，巧用平方差公式消去根号，避免了直接处理二次根式的繁琐计算，是二次根式化简求值中常用的简便技巧。
【难度系数】
0.6
6. ★★ 实数$a,b,c$在数轴上的对应点表示出来如图所示：
(1)请化简：$\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$；
(2)已知 $a=2^{-1}, b=1-\sqrt{2}, c=-\dfrac{3}{2}$，求 $\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$ 的值。
(1)请化简：$\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$；
(2)已知 $a=2^{-1}, b=1-\sqrt{2}, c=-\dfrac{3}{2}$，求 $\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$ 的值。
答案
(1)由数轴得 $c＜-1＜b＜0＜a＜1$，
所以 $a+c＜0, b-a＜0$，
所以 $\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2} = |b| - |c+a| + |b-a| = -b + a + c + a - b = 2a - 2b + c$。
(2)因为 $a=2^{-1}=\frac{1}{2}, b=1-\sqrt{2}, c=-\frac{3}{2}$，
所以原式$=2a-2b+c=2×\frac{1}{2}-2(1-\sqrt{2})-\frac{3}{2}=2\sqrt{2}-\frac{5}{2}$。
点方法 数形结合法化简二次根式时一般是与数轴结合，先根据字母表示的点在数轴上的位置确定该字母的值或取值范围，再进行化简。
所以 $a+c＜0, b-a＜0$，
所以 $\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2} = |b| - |c+a| + |b-a| = -b + a + c + a - b = 2a - 2b + c$。
(2)因为 $a=2^{-1}=\frac{1}{2}, b=1-\sqrt{2}, c=-\frac{3}{2}$，
所以原式$=2a-2b+c=2×\frac{1}{2}-2(1-\sqrt{2})-\frac{3}{2}=2\sqrt{2}-\frac{5}{2}$。
点方法 数形结合法化简二次根式时一般是与数轴结合，先根据字母表示的点在数轴上的位置确定该字母的值或取值范围，再进行化简。
解析
【分析】
解决这道题需要分两步思考：第一步处理化简问题，首先根据数轴上点的位置确定a、b、c的大小关系，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，把原式转化为含绝对值的式子，接着判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果；第二步处理代入求值问题，先把给定的a的指数式计算出具体值，再把a、b、c的值代入第一步得到的化简式，按照实数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 由数轴上点的位置可得：$c＜-1＜b＜0＜a＜1$，
由此可判断代数式的正负：$c+a＜0$，$b-a＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形：
$\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2} = |b| - |c+a| + |b-a|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去绝对值：
$|b|=-b$，$|c+a|=-(c+a)$，$|b-a|=-(b-a)=a-b$
代入后合并同类项：
原式$=-b - [-(c+a)] + (a-b) = -b + c + a + a - b = 2a - 2b + c$
(2) 先化简a的值：$a=2^{-1}=\frac{1}{2}$，
将$a=\frac{1}{2}$，$b=1-\sqrt{2}$，$c=-\frac{3}{2}$代入$2a - 2b + c$得：
原式$=2×\frac{1}{2} - 2×(1-\sqrt{2}) + (-\frac{3}{2})$
$=1 - 2 + 2\sqrt{2} - \frac{3}{2}$
$=2\sqrt{2} - \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $2a-2b+c$；(2) $2\sqrt{2}-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，实数与数轴
【点评】
本题重点考查数形结合思想在代数式化简中的应用，解题的核心是先通过数轴确定各实数的取值范围，准确判断绝对值内式子的正负，再结合二次根式和绝对值的性质化简，代入计算时要注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要分两步思考：第一步处理化简问题，首先根据数轴上点的位置确定a、b、c的大小关系，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，把原式转化为含绝对值的式子，接着判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果；第二步处理代入求值问题，先把给定的a的指数式计算出具体值，再把a、b、c的值代入第一步得到的化简式，按照实数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 由数轴上点的位置可得：$c＜-1＜b＜0＜a＜1$，
由此可判断代数式的正负：$c+a＜0$，$b-a＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形：
$\sqrt{b^2} - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{(b-a)^2} = |b| - |c+a| + |b-a|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去绝对值：
$|b|=-b$，$|c+a|=-(c+a)$，$|b-a|=-(b-a)=a-b$
代入后合并同类项：
原式$=-b - [-(c+a)] + (a-b) = -b + c + a + a - b = 2a - 2b + c$
(2) 先化简a的值：$a=2^{-1}=\frac{1}{2}$，
将$a=\frac{1}{2}$，$b=1-\sqrt{2}$，$c=-\frac{3}{2}$代入$2a - 2b + c$得：
原式$=2×\frac{1}{2} - 2×(1-\sqrt{2}) + (-\frac{3}{2})$
$=1 - 2 + 2\sqrt{2} - \frac{3}{2}$
$=2\sqrt{2} - \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $2a-2b+c$；(2) $2\sqrt{2}-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，实数与数轴
【点评】
本题重点考查数形结合思想在代数式化简中的应用，解题的核心是先通过数轴确定各实数的取值范围，准确判断绝对值内式子的正负，再结合二次根式和绝对值的性质化简，代入计算时要注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a+b=3$，$ab=1$，且$a＞b$，求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值。
答案
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a-b} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$。
因为 $a+b=3$，所以 $(a+b)^2=9$，所以 $(a-b)^2+4ab=9$。
因为 $ab=1$，所以 $(a-b)^2=5$。
又因为 $a＞b$，所以 $a-b=\sqrt{5}$。所以原式$=\frac{3-2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
因为 $a+b=3$，所以 $(a+b)^2=9$，所以 $(a-b)^2+4ab=9$。
因为 $ab=1$，所以 $(a-b)^2=5$。
又因为 $a＞b$，所以 $a-b=\sqrt{5}$。所以原式$=\frac{3-2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
解析
【分析】
观察所求代数式的结构，分子、分母均为含√a、√b的一次式，直接求解a、b的具体值计算量较大，因此先对代数式进行恒等变形：通过分子分母同乘(√a - √b)完成分母有理化，将原式转化为用a+b、ab、a-b表示的形式；已知a+b和ab的取值，可利用完全平方公式的变形关系$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$求出$(a-b)^2$，再结合a＞b的条件确定a-b的符号，得到a-b的具体数值，最后代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简所求代数式
对$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分子、分母同乘$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$进行分母有理化：
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$
第二步：求$a-b$的值
已知$a+b=3$，等式两边同时平方得：$(a+b)^2=9$
由完全平方公式的变形可得：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
将$ab=1$代入上式得：$(a-b)^2 + 4×1 = 9$，解得$(a-b)^2=5$
又因为$a＞b$，所以$a-b＞0$，因此$a-b=\sqrt{5}$
第三步：代入求值
将$a+b=3$、$ab=1$、$a-b=\sqrt{5}$代入化简后的代数式：
原式$=\frac{3 - 2\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式化简求值、完全平方公式、分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，解题过程没有直接求解a、b的具体值，而是通过代数式恒等变形结合完全平方公式的变形进行整体代入，简化了计算步骤，同时也考察了开方运算时符号的判定，需要注意根据题目给出的大小关系确定开方结果的正负。
【难度系数】
0.6
观察所求代数式的结构，分子、分母均为含√a、√b的一次式，直接求解a、b的具体值计算量较大，因此先对代数式进行恒等变形：通过分子分母同乘(√a - √b)完成分母有理化，将原式转化为用a+b、ab、a-b表示的形式；已知a+b和ab的取值，可利用完全平方公式的变形关系$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$求出$(a-b)^2$，再结合a＞b的条件确定a-b的符号，得到a-b的具体数值，最后代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简所求代数式
对$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分子、分母同乘$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$进行分母有理化：
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$
第二步：求$a-b$的值
已知$a+b=3$，等式两边同时平方得：$(a+b)^2=9$
由完全平方公式的变形可得：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
将$ab=1$代入上式得：$(a-b)^2 + 4×1 = 9$，解得$(a-b)^2=5$
又因为$a＞b$，所以$a-b＞0$，因此$a-b=\sqrt{5}$
第三步：代入求值
将$a+b=3$、$ab=1$、$a-b=\sqrt{5}$代入化简后的代数式：
原式$=\frac{3 - 2\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式化简求值、完全平方公式、分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，解题过程没有直接求解a、b的具体值，而是通过代数式恒等变形结合完全平方公式的变形进行整体代入，简化了计算步骤，同时也考察了开方运算时符号的判定，需要注意根据题目给出的大小关系确定开方结果的正负。
【难度系数】
0.6
