10 已知点$A(2,2)$,$B(1,0)$,点$C$在坐标轴上,且三角形$ABC$的面积为2,请写出所有满足条件的点$C$的坐标：.

10. (3,0)或(-1,0)或(0,2)或(0,-6)

【分析】
解题时需先根据“点C在坐标轴上”的条件分类讨论，分为点C在x轴上、点C在y轴上两种情况：①当点C在x轴上时，三角形的高为点A到x轴的垂直距离（即A点纵坐标的绝对值），底为BC的长度，代入面积公式即可求出C点横坐标；②当点C在y轴上时，可先求出直线AB与y轴的交点，以该交点和C的线段为底，结合三角形面积拆分关系，求出C点纵坐标，最后汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点C在x轴上时，设点C的坐标为$(x,0)$
此时$△ ABC$的高为点A到x轴的距离，即$h=2$，底为BC的长度$=|x-1|$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入$S=2$得：
$\frac{1}{2}×|x-1|×2=2$
化简得$|x-1|=2$
解得$x=3$或$x=-1$，即此时点C为$(3,0)$或$(-1,0)$
2. 当点C在y轴上时，设点C的坐标为$(0,y)$
先求直线AB的解析式：设$y=kx+b$，将$A(2,2)$、$B(1,0)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=2 \\ k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2 \\ b=-2 \end{cases}$
即直线AB的解析式为$y=2x-2$，它与y轴的交点为$D(0,-2)$
此时$△ ABC$的面积可拆分为$△ ACD$与$△ BCD$的面积差：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×|y+2|×2 - \frac{1}{2}×|y+2|×1 = \frac{1}{2}|y+2|$
代入$S=2$得：$\frac{1}{2}|y+2|=2$，解得$y=2$或$y=-6$
即此时点C为$(0,2)$或$(0,-6)$
综上，所有满足条件的点C的坐标为$(3,0)$、$(-1,0)$、$(0,2)$、$(0,-6)$
【答案】
$(3,0)$或$(-1,0)$或$(0,2)$或$(0,-6)$
【知识点】
坐标与图形性质，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题容易因忽略分类讨论导致漏解，解题时要结合坐标轴上点的坐标特征，灵活运用面积公式拆分或计算三角形面积，确保所有情况都考虑到位。
【难度系数】
0.6

11 如图,正方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴,电子蚂蚁甲和乙(可看作点)都由点E(3,0)出发,同时沿正方形ABCD的边做环绕运动,蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动,蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度做匀速运动,则两只蚂蚁出发后第3次相遇点的坐标是.

11. (1,-2)

【分析】
解题思路可分为四步：第一步先确定正方形的边长和周长，由图中坐标可知正方形横向从x=-1到x=3、纵向从y=-2到y=2，可得边长为4，周长为16；第二步根据反向运动的相遇规律，每次相遇时两只蚂蚁的总路程和为1圈周长，第三次相遇总路程和为3圈周长，结合速度和算出总运动时间；第三步计算其中一只蚂蚁的总运动路程，除以周长得到余数，即该蚂蚁绕完整数圈后额外走的路程；第四步结合运动方向，从起点E出发按余数走对应长度，即可得到相遇点坐标。
【解析】
1. 计算正方形周长：由图可知正方形边长为$3-(-1)=4$，则周长为$4×4=16$。
2. 计算第三次相遇的总时间：两只蚂蚁反向运动，速度和为$3+1=4$单位/秒，第三次相遇时总路程和为$3×16=48$单位，总时间$t=48÷4=12$秒。
3. 计算蚂蚁甲的运动路程：甲的速度为3单位/秒，12秒共走$3×12=36$单位，$36÷16=2······4$，即甲顺时针走2整圈后，额外走了4个单位。
4. 确定相遇点坐标：从起点$E(3,0)$顺时针走，先沿AD边向下走2单位到$D(3,-2)$，剩余$4-2=2$单位沿DC边向左走，横坐标为$3-2=1$，纵坐标为$-2$，即相遇点坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
相遇问题，坐标与位置，正方形周长
【点评】
本题将行程相遇问题和平面直角坐标系结合，核心是先明确反向运动相遇的总路程规律，再结合坐标特点确定点的位置，能较好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6

12 已知$P(2x,3x-1)$是平面直角坐标系内的点.
(1)若点$P$在第四象限,且到两坐标轴的距离相等,求$x$的值;
(2)若点$P$在第三象限,且到两坐标轴的距离之和为16,求$x$的值.

12.解:(1)
∵ 点$P(2x,3x-1)$在第四象限,且到两坐标轴的距离相等,
∴ $-2x = 3x - 1$,
解得 $x = \frac{1}{5}$。
(2)
∵ 点$P(2x,3x-1)$在第三象限,且到两坐标轴的距离之和为16,
∴ $2x + 3x - 1 = -16$,
解得 $x = -3$。

【分析】
解题需先掌握两个核心要点：①各象限内点的坐标符号特征：第四象限横坐标为正、纵坐标为负，第三象限横、纵坐标均为负；②点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。
第(1)问：点P在第四象限且到两轴距离相等，说明横、纵坐标的绝对值相等，结合第四象限坐标符号可列出方程求解x。
第(2)问：点P在第三象限且到两轴距离之和为16，说明横、纵坐标的绝对值相加等于16，结合第三象限坐标符号去绝对值后列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ 点$P(2x,3x-1)$在第四象限，且到两坐标轴的距离相等，第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，距离相等即横、纵坐标绝对值相等
∴ $-2x = 3x - 1$
移项合并同类项得：$5x=1$
解得 $x = \frac{1}{5}$
(2)
∵ 点$P(2x,3x-1)$在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，第三象限内点横、纵坐标均为负，距离之和即横、纵坐标的绝对值相加等于16
∴ $2x + 3x - 1 = -16$
合并同类项得：$5x=-15$
解得 $x = -3$
【答案】
(1)$x=\frac{1}{5}$；(2)$x=-3$
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；解一元一次方程
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题型，解题关键是根据象限的坐标符号特征正确对绝对值去符号，再结合题目给出的距离条件列方程求解，掌握基础概念后解题难度较低。
【难度系数】
0.8

13 在平面直角坐标系中,已知点$M(m-1,2m+3)$.
(1)若点$M$在$y$轴上,求点$M$的坐标和点$M$到$x$轴的距离;
(2)若点$N(-3,2)$,且直线$MN// y$轴,求线段$MN$的长.

13.解:(1)
∵ 点M在y轴上,
∴ $m - 1 = 0$,
解得 $m = 1$,
∴ $2m + 3 = 5$,
则点M的坐标为$(0,5)$,
∴ 点M到x轴的距离为5。
(2)
∵ 直线$MN// y$轴,
∴ $m - 1 = -3$,
解得 $m = -2$,
∴ $2m + 3 = -1$,
则点M的坐标为$(-3,-1)$,
∴ 线段MN的长为$2 - (-1) = 3$。

【分析】
(1) 解决第一问首先要明确y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标均为0，据此可列关于m的方程求出m的取值，再代入纵坐标表达式得到点M的完整坐标；另外点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合求出的M坐标即可计算对应距离。
(2) 解决第二问首先要掌握平行于y轴的直线的坐标性质：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，据此列方程求出m的值，得到点M的坐标后，由于MN平行于y轴，线段MN的长度等于两点纵坐标之差的绝对值，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点M在y轴上，y轴上点的横坐标为0
∴ $m - 1 = 0$
解得 $m = 1$
将$m=1$代入纵坐标表达式，得$2m + 3 = 2×1 + 3 = 5$
则点M的坐标为$(0,5)$
∵ 点到x轴的距离为纵坐标的绝对值
∴ 点M到x轴的距离为$|5|=5$。
(2)
∵ 直线$MN// y$轴，平行于y轴的直线上所有点横坐标相等
∴ $m - 1 = -3$
解得 $m = -2$
将$m=-2$代入纵坐标表达式，得$2m + 3 = 2×(-2) + 3 = -1$
则点M的坐标为$(-3,-1)$
∵ 平行于y轴的线段长度为两点纵坐标差的绝对值
∴ 线段MN的长为$|2 - (-1)| = 3$。
【答案】
(1) 点M的坐标为$(0,5)$，到x轴的距离为5；
(2) 线段MN的长为3。
【知识点】
1. y轴上点的坐标特征
2. 平行于y轴的直线的坐标性质
3. 点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律设置问题，核心是掌握不同特殊位置下点的横、纵坐标的对应特点，整体计算量小，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8