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1. 如图，在$6×4$的网格纸中，格点(网格线的交点)三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是图中的
N
点。答案
1. N
解析
【分析】要确定旋转中心，需依据旋转的核心性质：旋转中心到旋转前后任意一组对应点的距离相等，也就是说旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可以先找到三角形甲和三角形乙的两组对应顶点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条线的交点就是旋转中心；也可以逐一验证图中的4个点，判断哪个点到所有对应顶点的距离都相等，符合旋转的特征。
【解析】根据旋转的性质可知，旋转中心到旋转前后两个图形的所有对应点的距离都相等。
首先找出三角形甲和三角形乙的三组对应顶点，逐一验证各点：
1. 点M、P、Q到甲、乙的对应顶点的距离并不全部相等，不符合旋转中心的要求；
2. 点N到甲的每个顶点的距离，与到乙中对应顶点的距离都相等，且将三角形甲绕点N旋转对应角度后，能和三角形乙完全重合，因此点N是旋转中心。
【答案】N
【知识点】1.旋转的性质 2.线段垂直平分线的性质
【点评】本题是旋转相关的基础常考题，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应点到旋转中心距离相等的性质，既可以通过作垂直平分线找交点求解，也可以结合网格特征逐一验证点的属性得到答案。
【难度系数】0.7
【解析】根据旋转的性质可知，旋转中心到旋转前后两个图形的所有对应点的距离都相等。
首先找出三角形甲和三角形乙的三组对应顶点，逐一验证各点：
1. 点M、P、Q到甲、乙的对应顶点的距离并不全部相等，不符合旋转中心的要求；
2. 点N到甲的每个顶点的距离，与到乙中对应顶点的距离都相等，且将三角形甲绕点N旋转对应角度后，能和三角形乙完全重合，因此点N是旋转中心。
【答案】N
【知识点】1.旋转的性质 2.线段垂直平分线的性质
【点评】本题是旋转相关的基础常考题，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应点到旋转中心距离相等的性质，既可以通过作垂直平分线找交点求解，也可以结合网格特征逐一验证点的属性得到答案。
【难度系数】0.7
2. 根据要求画出旋转后的三角形.
(1)如图①,画出将$△ ABC$绕点$O$逆时针旋转$90°$后的$△ A_1B_1C_1$.
(2)如图②,画出将$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$后的$△ A_2B_2C_2$.
(1)如图①,画出将$△ ABC$绕点$O$逆时针旋转$90°$后的$△ A_1B_1C_1$.
(2)如图②,画出将$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$后的$△ A_2B_2C_2$.
答案
2. 解:(1)如图①,$△A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图②,$△A_2B_2C_2$即为所求.
解析
【分析】
要作出三角形旋转后的图形，核心是利用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题两小问的旋转中心均为点O，首先明确各问的旋转要求：(1)旋转方向为逆时针、旋转角为90°；(2)旋转角为180°（即中心对称）。解题时先找到原三角形的三个顶点，分别作出每个顶点旋转后的对应点，再顺次连接对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
(1)绘制$△ A_1B_1C_1$的步骤：
① 分别连接点O与$△ ABC$的三个顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
② 将线段OA、OB、OC绕点O沿逆时针方向旋转90°，根据旋转后对应线段长度相等，确定点A、B、C的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，满足$OA_1=OA$，$OB_1=OB$，$OC_1=OC$，且$∠ AOA_1=∠ BOB_1=∠ COC_1=90°$；
③ 按顺序连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求图形。
(2)绘制$△ A_2B_2C_2$的步骤：
① 分别连接点O与$△ ABC$的三个顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
② 分别延长AO、BO、CO至点$A_2$、$B_2$、$C_2$，使$OA_2=OA$，$OB_2=OB$，$OC_2=OC$（旋转180°时对应点与旋转中心共线，且到中心距离相等）；
③ 按顺序连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，所得$△ A_2B_2C_2$即为所求图形。
【答案】
(1)如图①,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图②,$△ A_2B_2C_2$即为所求。
【知识点】
旋转作图、旋转的性质、中心对称的性质
【点评】
本题是基础几何作图题，重点考查旋转作图的操作方法，解题时需准确把握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），利用旋转前后对应点的性质确定各顶点的对应位置即可正确作图。
【难度系数】
0.8
要作出三角形旋转后的图形，核心是利用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题两小问的旋转中心均为点O，首先明确各问的旋转要求：(1)旋转方向为逆时针、旋转角为90°；(2)旋转角为180°（即中心对称）。解题时先找到原三角形的三个顶点，分别作出每个顶点旋转后的对应点，再顺次连接对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
(1)绘制$△ A_1B_1C_1$的步骤：
① 分别连接点O与$△ ABC$的三个顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
② 将线段OA、OB、OC绕点O沿逆时针方向旋转90°，根据旋转后对应线段长度相等，确定点A、B、C的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，满足$OA_1=OA$，$OB_1=OB$，$OC_1=OC$，且$∠ AOA_1=∠ BOB_1=∠ COC_1=90°$；
③ 按顺序连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求图形。
(2)绘制$△ A_2B_2C_2$的步骤：
① 分别连接点O与$△ ABC$的三个顶点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
② 分别延长AO、BO、CO至点$A_2$、$B_2$、$C_2$，使$OA_2=OA$，$OB_2=OB$，$OC_2=OC$（旋转180°时对应点与旋转中心共线，且到中心距离相等）；
③ 按顺序连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，所得$△ A_2B_2C_2$即为所求图形。
【答案】
(1)如图①,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图②,$△ A_2B_2C_2$即为所求。
【知识点】
旋转作图、旋转的性质、中心对称的性质
【点评】
本题是基础几何作图题，重点考查旋转作图的操作方法，解题时需准确把握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），利用旋转前后对应点的性质确定各顶点的对应位置即可正确作图。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$△ ABC$ 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标是 $(-1,0)$。现将 $△ ABC$ 绕 A 点逆时针旋转 $90°$，则旋转后点 C 的坐标是 （
A.$(2,-3)$
B.$(-2,3)$
C.$(-2,2)$
D.$(-3,2)$
B
）A.$(2,-3)$
B.$(-2,3)$
C.$(-2,2)$
D.$(-3,2)$
答案
3. B
解析
【分析】
首先根据已知点A的坐标确定平面直角坐标系的单位长度，找到旋转前点C的坐标；再结合旋转的性质，绕点A逆时针旋转90°时，对应点与旋转中心的连线长度不变、夹角为90°，可以先将点A视为原点，计算点C相对于A的坐标，旋转后再还原到原坐标系即可得到结果。
【解析】
1. 确定原坐标：已知点A坐标为$(-1,0)$，观察网格可得旋转前点C的坐标为$(2,1)$。
2. 计算相对坐标：点C相对于旋转中心A的相对横坐标为$2-(-1)=3$，相对纵坐标为$1-0=1$，即相对坐标为$(3,1)$。
3. 旋转相对坐标：根据逆时针旋转90°的坐标变换规律，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后的坐标为$(-y,x)$，因此相对坐标$(3,1)$旋转后变为$(-1,3)$。
4. 还原原坐标系：将旋转后的相对坐标加上点A的原坐标，得旋转后点C的横坐标为$-1+(-1)=-2$，纵坐标为$0+3=3$，即坐标为$(-2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变换；平面直角坐标系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形旋转后点的坐标求解，既可以通过直接作图直观得出结果，也可以利用旋转的坐标变换规律计算得到，解题关键是掌握旋转前后对应点的位置变化规律。
【难度系数】
0.7
首先根据已知点A的坐标确定平面直角坐标系的单位长度，找到旋转前点C的坐标；再结合旋转的性质，绕点A逆时针旋转90°时，对应点与旋转中心的连线长度不变、夹角为90°，可以先将点A视为原点，计算点C相对于A的坐标，旋转后再还原到原坐标系即可得到结果。
【解析】
1. 确定原坐标：已知点A坐标为$(-1,0)$，观察网格可得旋转前点C的坐标为$(2,1)$。
2. 计算相对坐标：点C相对于旋转中心A的相对横坐标为$2-(-1)=3$，相对纵坐标为$1-0=1$，即相对坐标为$(3,1)$。
3. 旋转相对坐标：根据逆时针旋转90°的坐标变换规律，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后的坐标为$(-y,x)$，因此相对坐标$(3,1)$旋转后变为$(-1,3)$。
4. 还原原坐标系：将旋转后的相对坐标加上点A的原坐标，得旋转后点C的横坐标为$-1+(-1)=-2$，纵坐标为$0+3=3$，即坐标为$(-2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变换；平面直角坐标系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形旋转后点的坐标求解，既可以通过直接作图直观得出结果，也可以利用旋转的坐标变换规律计算得到，解题关键是掌握旋转前后对应点的位置变化规律。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0).将线段OA绕点O逆时针旋转45°,则点A对应点的坐标为
$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
.答案
4. $(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时首先根据旋转的性质，可知旋转后线段长度不变，即OA的对应线段长度仍为6，且对应线段与x轴的夹角为45°，因此对应点位于第一象限，横、纵坐标相等。此时可通过作垂线构造等腰直角三角形，结合勾股定理即可计算出对应点的横、纵坐标。
【解析】
设点A绕点O逆时针旋转45°后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可得：OA' = OA = 6，∠A'OA = 45°。
∴△A'OB为等腰直角三角形，即OB = A'B。
设OB = A'B = a（a＞0），在Rt△A'OB中，根据勾股定理：
$OB^2 + A'B^2 = OA'^2$
代入得$a^2 + a^2 = 6^2$
$2a^2 = 36$
$a^2 = 18$
解得$a = 3\sqrt{2}$（负值舍去）
∴点A'的坐标为$(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$。
【答案】
$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
【知识点】
1.旋转的性质
2.等腰直角三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题是旋转与平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是抓住旋转前后对应线段长度不变的特征，构造直角三角形利用勾股定理计算线段长度，进而得到点的坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据旋转的性质，可知旋转后线段长度不变，即OA的对应线段长度仍为6，且对应线段与x轴的夹角为45°，因此对应点位于第一象限，横、纵坐标相等。此时可通过作垂线构造等腰直角三角形，结合勾股定理即可计算出对应点的横、纵坐标。
【解析】
设点A绕点O逆时针旋转45°后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可得：OA' = OA = 6，∠A'OA = 45°。
∴△A'OB为等腰直角三角形，即OB = A'B。
设OB = A'B = a（a＞0），在Rt△A'OB中，根据勾股定理：
$OB^2 + A'B^2 = OA'^2$
代入得$a^2 + a^2 = 6^2$
$2a^2 = 36$
$a^2 = 18$
解得$a = 3\sqrt{2}$（负值舍去）
∴点A'的坐标为$(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$。
【答案】
$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
【知识点】
1.旋转的性质
2.等腰直角三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题是旋转与平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是抓住旋转前后对应线段长度不变的特征，构造直角三角形利用勾股定理计算线段长度，进而得到点的坐标。
【难度系数】
0.7
5.(教材变式)将含有$30°$角的直角三角板$OAB$按右图所示的方式放置,在平面直角坐标系中,$OB$在$x$轴上.若$OA=2$,求将三角板绕原点$O$顺时针旋转$75°$后,点$A$的对应点$A'$的坐标.
答案
5. 解:如图,△OA'B'即为旋转后的图形.过点A'作A'M⊥x轴于点M,则∠A'MO=90°.
由旋转的性质,得OA'=OA=2,∠AOA'=75°,则∠A'OM=∠AOA'-∠AOB=75°-30°=45°,
∴MA'=OM.
设MA'=OM=x.根据勾股定理,得OM²+MA'²=OA'²,即$x^2+x^2=2^2$,解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去).
∵点A'在第四象限,
∴点A'的坐标为$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
解析
【分析】
解决这道题可按如下思路思考：首先回忆旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、旋转角大小不变，由此先确定旋转后OA'的长度和旋转角∠AOA'的度数；其次结合原三角板已知的∠AOB=30°，计算出旋转后OA'与x轴正半轴的夹角；接着过A'作x轴的垂线构造直角三角形，判断出该三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理计算两条直角边的长度；最后根据A'所在的第四象限的坐标符号特征，即可确定A'的坐标。
【解析】
如图，△OA'B'即为旋转后的图形。过点A'作A'M⊥x轴于点M，则∠A'MO=90°。
由旋转的性质，得OA'=OA=2，∠AOA'=75°，则∠A'OM=∠AOA'-∠AOB=75°-30°=45°，
∴MA'=OM。
设MA'=OM=x。根据勾股定理，得OM²+MA'²=OA'²，即$x^2+x^2=2^2$，解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去)。
∵点A'在第四象限，
∴点A'的坐标为$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$。
【答案】
点A'的坐标为$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$。
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、点的坐标特征
【点评】
本题是旋转与平面直角坐标系结合的典型题型，解题核心是利用旋转性质得到对应边长度和角度关系，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，再根据象限特征确定坐标，能够很好地考查学生对几何变换和直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按如下思路思考：首先回忆旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、旋转角大小不变，由此先确定旋转后OA'的长度和旋转角∠AOA'的度数；其次结合原三角板已知的∠AOB=30°，计算出旋转后OA'与x轴正半轴的夹角；接着过A'作x轴的垂线构造直角三角形，判断出该三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理计算两条直角边的长度；最后根据A'所在的第四象限的坐标符号特征，即可确定A'的坐标。
【解析】
如图，△OA'B'即为旋转后的图形。过点A'作A'M⊥x轴于点M，则∠A'MO=90°。
由旋转的性质，得OA'=OA=2，∠AOA'=75°，则∠A'OM=∠AOA'-∠AOB=75°-30°=45°，
∴MA'=OM。
设MA'=OM=x。根据勾股定理，得OM²+MA'²=OA'²，即$x^2+x^2=2^2$，解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去)。
∵点A'在第四象限，
∴点A'的坐标为$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$。
【答案】
点A'的坐标为$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$。
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、点的坐标特征
【点评】
本题是旋转与平面直角坐标系结合的典型题型，解题核心是利用旋转性质得到对应边长度和角度关系，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，再根据象限特征确定坐标，能够很好地考查学生对几何变换和直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
