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1. 下列条件中,不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是 （）
A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠B=50°,∠C=80°$
D.$∠A:∠B:∠C=1:1:2$
A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠B=50°,∠C=80°$
D.$∠A:∠B:∠C=1:1:2$
答案
B
解析
逐一分析各选项：
1. 选项A：$a=3$，$b=3$，有两条边相等，符合等腰三角形定义，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
2. 选项B：设三边长分别为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），三边互不相等，对应的三个内角也互不相等，不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
3. 选项C：由三角形内角和得$∠ A=180°-50°-80°=50°$，即$∠ A=∠ B$，等角对等边，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
4. 选项D：设三个内角分别为$x$、$x$、$2x$，由$x+x+2x=180°$解得$x=45°$，即$∠ A=∠ B$，等角对等边，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是选项B。
1. 选项A：$a=3$，$b=3$，有两条边相等，符合等腰三角形定义，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
2. 选项B：设三边长分别为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），三边互不相等，对应的三个内角也互不相等，不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
3. 选项C：由三角形内角和得$∠ A=180°-50°-80°=50°$，即$∠ A=∠ B$，等角对等边，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
4. 选项D：设三个内角分别为$x$、$x$、$2x$，由$x+x+2x=180°$解得$x=45°$，即$∠ A=∠ B$，等角对等边，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是选项B。
2. “在$△ ABC$中，$∠ A$和$∠ B$的对边分别是$a$和$b$，若$∠ A＜∠ B$，则$a＜b$。”用反证法证明时，应假设（）
A.$a＞b$
B.$a≥ b$
C.$a=b$
D.$a≤ b$
A.$a＞b$
B.$a≥ b$
C.$a=b$
D.$a≤ b$
答案
B
解析
反证法证明时，需先假设原命题的结论不成立，即否定原结论。本题中原命题的结论是$a ＜ b$，“小于”的否定为“不小于”，也就是$a≥ b$，因此应假设$a≥ b$。
3. 下列命题中，逆命题是真命题的是 （）
A.如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等
B.如果两个实数的商为－1，那么这两个实数互为相反数
C.如果$a = b$，那么$\sqrt{a^2} = \sqrt{b^2}$
D.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等
A.如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等
B.如果两个实数的商为－1，那么这两个实数互为相反数
C.如果$a = b$，那么$\sqrt{a^2} = \sqrt{b^2}$
D.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等
答案
D
解析
分别写出各选项的逆命题并判断真假：
1. 选项A的逆命题：如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形全等。仅斜边相等无法判定直角三角形全等，为假命题。
2. 选项B的逆命题：如果两个实数互为相反数，那么这两个实数的商为-1。当两个实数都为0时，0的相反数是0，但0不能作除数，商不存在，为假命题。
3. 选项C的逆命题：如果$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，那么$a=b$。例如$a=2$，$b=-2$时满足$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，但$a\ne b$，为假命题。
4. 选项D的逆命题：如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形。根据三角形面积公式，可推出这两条边长度相等，该三角形为等腰三角形，为真命题。
1. 选项A的逆命题：如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形全等。仅斜边相等无法判定直角三角形全等，为假命题。
2. 选项B的逆命题：如果两个实数互为相反数，那么这两个实数的商为-1。当两个实数都为0时，0的相反数是0，但0不能作除数，商不存在，为假命题。
3. 选项C的逆命题：如果$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，那么$a=b$。例如$a=2$，$b=-2$时满足$\sqrt{a^2}=\sqrt{b^2}$，但$a\ne b$，为假命题。
4. 选项D的逆命题：如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形。根据三角形面积公式，可推出这两条边长度相等，该三角形为等腰三角形，为真命题。
4. 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别为AB,AC边上的动点,BD=2AE,连接DE,以DE为边在△ABC内作等边三角形DEF,连接CF。当点D从点A向点B运动(不与点B重合)时,∠ECF大小的变化情况是 ()
A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小
第4题图 第5题图 第6题图
A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小
第4题图 第5题图 第6题图
答案
A
解析
1. 在AC边上取点G，使AE=AG，由△ABC是等边三角形得∠A=60°，因此△AEG为等边三角形，可得AE=EG=AG，∠A=∠AGE=60°。
2. 由BD=2AE，AB=AC，得AD=AB-BD=AC-2AE，GC=AC-AG=AC-2AE，因此AD=GC。
3. 因△DEF是等边三角形，故DE=EF，∠DEF=60°，结合∠AEG=60°，可推得∠AED+∠DEG=∠GEF+∠DEG=60°，即∠AED=∠GEF。
4. 在△AED和△GEF中，AE=GE，∠AED=∠GEF，DE=FE，由SAS可证△AED≌△GEF，得AD=GF，∠EGF=∠A=60°。
5. 结合AD=GC，得GF=GC，△GFC为等腰三角形，∠GCF=∠GFC。由∠EGF是△GFC的外角，得∠EGF=∠GCF+∠GFC=2∠ECF=60°，因此∠ECF=30°，为定值，大小不变。
2. 由BD=2AE，AB=AC，得AD=AB-BD=AC-2AE，GC=AC-AG=AC-2AE，因此AD=GC。
3. 因△DEF是等边三角形，故DE=EF，∠DEF=60°，结合∠AEG=60°，可推得∠AED+∠DEG=∠GEF+∠DEG=60°，即∠AED=∠GEF。
4. 在△AED和△GEF中，AE=GE，∠AED=∠GEF，DE=FE，由SAS可证△AED≌△GEF，得AD=GF，∠EGF=∠A=60°。
5. 结合AD=GC，得GF=GC，△GFC为等腰三角形，∠GCF=∠GFC。由∠EGF是△GFC的外角，得∠EGF=∠GCF+∠GFC=2∠ECF=60°，因此∠ECF=30°，为定值，大小不变。
5.“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂。”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为。
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
解：根据多边形内角和公式，$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
对于正六边形，$n=6$，其内角和为$(6-2)×180°=720°$。
因为正六边形的6个内角都相等，所以每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
对于正六边形，$n=6$，其内角和为$(6-2)×180°=720°$。
因为正六边形的6个内角都相等，所以每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
6. 某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍。嘉嘉想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这一侧岸边选取B，C两点，测得∠ABC=75°，∠ACB=30°，并测量出BC长为40 m，则河的宽度为 m。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长度即为河的宽度。
在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 75° - 30° = 75°，
∴∠BAC = ∠ABC，
∴AC = BC = 40 m。
在Rt△ADC中，∠ADC = 90°，∠ACB = 30°，
∴AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$ × 40 = 20 m。
在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 75° - 30° = 75°，
∴∠BAC = ∠ABC，
∴AC = BC = 40 m。
在Rt△ADC中，∠ADC = 90°，∠ACB = 30°，
∴AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$ × 40 = 20 m。
