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1.关于x的函数$y=kx - k$和$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，它们在同一平面直角坐标系内的图象大致是( 
)
)答案
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，$k＞0$，$-k＜0$，因此一次函数图象经过第一、三、四象限，且恒过定点$(1,0)$，选项A符合该特征。
② 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，$k＜0$，$-k＞0$，因此一次函数图象经过第一、二、四象限，且恒过定点$(1,0)$，无对应选项。
综上，答案选$\boldsymbol{A}$。
① 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，$k＞0$，$-k＜0$，因此一次函数图象经过第一、三、四象限，且恒过定点$(1,0)$，选项A符合该特征。
② 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，$k＜0$，$-k＞0$，因此一次函数图象经过第一、二、四象限，且恒过定点$(1,0)$，无对应选项。
综上，答案选$\boldsymbol{A}$。
2.已知反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$，有下列说法：
①其图象经过点$(-3,-1)$；②其图象分别位于第一、第三象限；③$y$随$x$的增大而增大；④当$x＞1$时，$y＞3$。其中正确的是()
A.①③
B.②③
C.①②
D.②④
①其图象经过点$(-3,-1)$；②其图象分别位于第一、第三象限；③$y$随$x$的增大而增大；④当$x＞1$时，$y＞3$。其中正确的是()
A.①③
B.②③
C.①②
D.②④
答案
C
解析
我们逐个判断四个说法：
1. 判断①：将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{-3}=-1$，因此点$(-3,-1)$在函数图象上，①正确。
2. 判断②：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=3＞0$，因此函数图象位于第一、第三象限，②正确。
3. 判断③：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，并非在全体定义域内$y$随$x$增大而增大，③错误。
4. 判断④：当$x＞1$时，$0＜\frac{3}{x}＜3$，即$0＜y＜3$，并非$y＞3$，④错误。
综上正确的是①②。
1. 判断①：将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{-3}=-1$，因此点$(-3,-1)$在函数图象上，①正确。
2. 判断②：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=3＞0$，因此函数图象位于第一、第三象限，②正确。
3. 判断③：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，并非在全体定义域内$y$随$x$增大而增大，③错误。
4. 判断④：当$x＞1$时，$0＜\frac{3}{x}＜3$，即$0＜y＜3$，并非$y＞3$，④错误。
综上正确的是①②。
3.若反比例函数的图象经过点(2,3)，则它的解析式是。
答案
解：设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(2,3)$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=6$。
所以该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
将点$(2,3)$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=6$。
所以该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
4.反比例函数 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象在第 象限.
答案
二、四
解析
解：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$k＜0$时，函数的图象分布在第二、第四象限。
在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$中，比例系数$k=-2＜0$，因此该函数的图象在第二、四象限。
在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$中，比例系数$k=-2＜0$，因此该函数的图象在第二、四象限。
5.若$A(-3,y_1),B(-1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上，则$y_1$（填“＞”“＜”或“=”）$y_2$。
答案
$\boldsymbol{＞}$
解析
解：
对于反比例函数$y=\frac{5}{x}$，其中$k=5＞0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -3 ＜ -1 ＜ 0$，
$\therefore A(-3,y_1)$、$B(-1,y_2)$都在第三象限的函数图象上，
$\therefore y_1 ＞ y_2$。
对于反比例函数$y=\frac{5}{x}$，其中$k=5＞0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -3 ＜ -1 ＜ 0$，
$\therefore A(-3,y_1)$、$B(-1,y_2)$都在第三象限的函数图象上，
$\therefore y_1 ＞ y_2$。
6.若反比例函数的图象经过点(-3,4)和$(m,6)$，则$m$的值为。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(-3,4)$代入解析式，得：
$4=\frac{k}{-3}$
解得$k=-12$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
将点$(m,6)$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$6=-\frac{12}{m}$
解得$m=-2$。
最终
将点$(-3,4)$代入解析式，得：
$4=\frac{k}{-3}$
解得$k=-12$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
将点$(m,6)$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$6=-\frac{12}{m}$
解得$m=-2$。
最终
7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$$(k＞0,x＞0)$的图象上.若点C的坐标为$(4,3)$,则k的值为.
答案
$\boldsymbol{32}$
解析
解：
∵ 点C的坐标为$(4,3)$，
∴ 由勾股定理得 $OC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ 四边形ABOC是菱形，
∴ $AC=OC=5$，且$AC// OB$。
∵ 边OB在y轴上，
∴ AC平行于y轴，
∴ 点A的横坐标与点C的横坐标相等，为4，
点A的纵坐标为 $3+5=8$，即$A(4,8)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=4×8=32$。
最终
∵ 点C的坐标为$(4,3)$，
∴ 由勾股定理得 $OC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ 四边形ABOC是菱形，
∴ $AC=OC=5$，且$AC// OB$。
∵ 边OB在y轴上，
∴ AC平行于y轴，
∴ 点A的横坐标与点C的横坐标相等，为4，
点A的纵坐标为 $3+5=8$，即$A(4,8)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=4×8=32$。
最终
8. 提升题▶已知反比例函数的图象经过点$A(3,-4)$。
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？在图象的每一支上，$y$随$x$的增大如何变化？
(2)点$B(-3,4)$，点$C(-2,6)$和点$D(3,4)$是否在这个函数的图象上？
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？在图象的每一支上，$y$随$x$的增大如何变化？
(2)点$B(-3,4)$，点$C(-2,6)$和点$D(3,4)$是否在这个函数的图象上？
答案
解：
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(3,-4)$代入解析式，得：
$-4=\frac{k}{3}$，
解得$k=-12$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
(1) $\because k=-12＜0$，
$\therefore$ 这个函数的图象分布在第二、四象限，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 分别计算各点横、纵坐标的乘积：
点$B(-3,4)$：$(-3)×4=-12=k$，因此点$B$在这个函数的图象上；
点$C(-2,6)$：$(-2)×6=-12=k$，因此点$C$在这个函数的图象上；
点$D(3,4)$：$3×4=12≠-12$，因此点$D$不在这个函数的图象上。
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(3,-4)$代入解析式，得：
$-4=\frac{k}{3}$，
解得$k=-12$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
(1) $\because k=-12＜0$，
$\therefore$ 这个函数的图象分布在第二、四象限，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 分别计算各点横、纵坐标的乘积：
点$B(-3,4)$：$(-3)×4=-12=k$，因此点$B$在这个函数的图象上；
点$C(-2,6)$：$(-2)×6=-12=k$，因此点$C$在这个函数的图象上；
点$D(3,4)$：$3×4=12≠-12$，因此点$D$不在这个函数的图象上。
