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7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（
A.20
B.22
C.24
D.26
D
）A.20
B.22
C.24
D.26
答案
7.D
解析
【分析】
解题核心依据是相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先观察图形，确定△ADE与最小三角形的相似比：由于所有三角形均相似，可看出△ADE的边长是最小三角形边长的4倍，因此二者相似比为4:1；再根据面积比是相似比的平方计算△ADE的面积，最后用△ABC的总面积减去△ADE的面积，即可得到四边形DBCE的面积。
【解析】
解：
∵图中所有三角形均相似，最小的三角形面积为1，
观察图形可知△ADE与最小三角形的相似比为$4:1$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得△ADE与最小三角形的面积比为$4^2:1^2=16:1$，
∴$S_{△ ADE}=16×1=16$，
又
∵$S_{△ ABC}=42$，
∴$S_{四边形DBCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=42-16=26$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题解题关键是准确判断△ADE和最小三角形的相似比，结合相似三角形面积比与相似比的关系求出△ADE的面积，再作差计算四边形面积即可，是相似三角形性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.65
解题核心依据是相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先观察图形，确定△ADE与最小三角形的相似比：由于所有三角形均相似，可看出△ADE的边长是最小三角形边长的4倍，因此二者相似比为4:1；再根据面积比是相似比的平方计算△ADE的面积，最后用△ABC的总面积减去△ADE的面积，即可得到四边形DBCE的面积。
【解析】
解：
∵图中所有三角形均相似，最小的三角形面积为1，
观察图形可知△ADE与最小三角形的相似比为$4:1$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得△ADE与最小三角形的面积比为$4^2:1^2=16:1$，
∴$S_{△ ADE}=16×1=16$，
又
∵$S_{△ ABC}=42$，
∴$S_{四边形DBCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=42-16=26$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题解题关键是准确判断△ADE和最小三角形的相似比，结合相似三角形面积比与相似比的关系求出△ADE的面积，再作差计算四边形面积即可，是相似三角形性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.65
8.如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$，$BC$上，连结$DE$，$EF$.已知四边形$BFED$是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若$AB＝8$，求线段$AD$的长.
(2)若$△ ADE$的面积为1，求平行四边形$BFED$的面积.
(1)若$AB＝8$，求线段$AD$的长.
(2)若$△ ADE$的面积为1，求平行四边形$BFED$的面积.
答案
8.解:(1)
∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BF,
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$,
∵AB=8,
∴AD=2.
(2)
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{16}$,
∵△ADE的面积为1,
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形,
∴EF//AB，
∴△EFC∽△ABC,
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$,
∴$S_{△ EFC}=9$,
∴平行四边形BFED的面积=16-9-1=6.
∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BF,
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$,
∵AB=8,
∴AD=2.
(2)
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{16}$,
∵△ADE的面积为1,
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形,
∴EF//AB，
∴△EFC∽△ABC,
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$,
∴$S_{△ EFC}=9$,
∴平行四边形BFED的面积=16-9-1=6.
解析
【分析】
(1) 首先利用平行四边形对边平行的性质得到DE//BC，根据相似三角形的判定定理可证△ADE∽△ABC，再结合相似三角形对应边成比例的性质和已知的相似比、AB的长度，即可求出AD的长。
(2) 先根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△ADE的面积求出△ABC的总面积；再由平行四边形对边平行的性质得到EF//AB，证得△EFC∽△ABC，求出△EFC的面积，最后用△ABC的总面积减去△ADE和△EFC的面积，即可得到平行四边形BFED的面积。
【解析】
(1)
∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BF，即DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∵AB=8，
∴$AD=\frac{1}{4}×8=2$。
(2)
∵△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，
∵△ADE的面积为1，
∴$S_{△ABC}=1÷\frac{1}{16}=16$。
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∵$FC=BC-BF=BC-DE=\frac{3}{4}BC$，即△EFC与△ABC的相似比为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$S_{△ EFC}=16×\frac{9}{16}=9$，
∴平行四边形BFED的面积=$S_{△ABC}-S_{△ADE}-S_{△EFC}=16-1-9=6$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题的核心是通过平行关系找准相似三角形，利用相似三角形的边、面积比例关系逐步推导，理清图形各部分的面积关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用平行四边形对边平行的性质得到DE//BC，根据相似三角形的判定定理可证△ADE∽△ABC，再结合相似三角形对应边成比例的性质和已知的相似比、AB的长度，即可求出AD的长。
(2) 先根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△ADE的面积求出△ABC的总面积；再由平行四边形对边平行的性质得到EF//AB，证得△EFC∽△ABC，求出△EFC的面积，最后用△ABC的总面积减去△ADE和△EFC的面积，即可得到平行四边形BFED的面积。
【解析】
(1)
∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BF，即DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∵AB=8，
∴$AD=\frac{1}{4}×8=2$。
(2)
∵△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，
∵△ADE的面积为1，
∴$S_{△ABC}=1÷\frac{1}{16}=16$。
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∵$FC=BC-BF=BC-DE=\frac{3}{4}BC$，即△EFC与△ABC的相似比为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$S_{△ EFC}=16×\frac{9}{16}=9$，
∴平行四边形BFED的面积=$S_{△ABC}-S_{△ADE}-S_{△EFC}=16-1-9=6$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题的核心是通过平行关系找准相似三角形，利用相似三角形的边、面积比例关系逐步推导，理清图形各部分的面积关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是多少?
答案
9.解:
∵在Rt△ABC中，
AC=1,BC=2，
∴AB=$\sqrt{5}$,AC:BC=1:2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1:2，
若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8，
但在6×6网格图形中,最长线段为$6\sqrt{2}$，
但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，
从而画不出端点都在格点且长为8的线段，
故最短直角边长应小于4,在图中尝试，
可画出$DE=\sqrt{10},EF=2\sqrt{10},DF=5\sqrt{2}$的三角形，
∵$\frac{\sqrt{10}}{1}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{10}$,
∴△ABC∽△DEF,
∴∠DEF=∠C=90°,
∴此时△DEF的面积为:$\sqrt{10}×2\sqrt{10}÷2=10$,
△DEF为面积最大的三角形,其斜边长为$5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先分析已知Rt△ABC的边长特征：计算得两直角边长分别为1和2，直角边比为1:2，因此和它相似的格点直角三角形的两直角边比也应为1:2。要找面积最大的相似三角形，需让三角形的边长尽可能大，同时要满足6×6网格中格点线段的长度限制。先排除无法画出的边长情况，再通过尝试找到符合要求的最大格点三角形，最后计算其斜边长即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，且两直角边的比$AC:BC=1:2$。
因此与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边比值为1:2，且为直角三角形。
若该相似三角形最短直角边长为4，则另一直角边长为8，在6×6网格中不存在端点都在格点、长度为8的线段，因此最短直角边长需小于4。
在网格中尝试可画出格点△DEF，满足$DE=\sqrt{10}$，$EF=2\sqrt{10}$，$DF=5\sqrt{2}$：
∵$\frac{\sqrt{10}}{1}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{10}$，即三边对应成比例，
∴△ABC∽△DEF，∠DEF=∠C=90°，符合要求。
此时△DEF的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{10}=10$，为符合要求的面积最大的三角形。
【答案】
面积最大的三角形的斜边长是$5\sqrt{2}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，格点图形特征
【点评】
本题结合网格考查相似三角形和勾股定理的应用，需要学生结合网格的限制条件推理尝试找到符合要求的最大三角形，能够锻炼学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.3
首先分析已知Rt△ABC的边长特征：计算得两直角边长分别为1和2，直角边比为1:2，因此和它相似的格点直角三角形的两直角边比也应为1:2。要找面积最大的相似三角形，需让三角形的边长尽可能大，同时要满足6×6网格中格点线段的长度限制。先排除无法画出的边长情况，再通过尝试找到符合要求的最大格点三角形，最后计算其斜边长即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，且两直角边的比$AC:BC=1:2$。
因此与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边比值为1:2，且为直角三角形。
若该相似三角形最短直角边长为4，则另一直角边长为8，在6×6网格中不存在端点都在格点、长度为8的线段，因此最短直角边长需小于4。
在网格中尝试可画出格点△DEF，满足$DE=\sqrt{10}$，$EF=2\sqrt{10}$，$DF=5\sqrt{2}$：
∵$\frac{\sqrt{10}}{1}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{10}$，即三边对应成比例，
∴△ABC∽△DEF，∠DEF=∠C=90°，符合要求。
此时△DEF的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{10}=10$，为符合要求的面积最大的三角形。
【答案】
面积最大的三角形的斜边长是$5\sqrt{2}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，格点图形特征
【点评】
本题结合网格考查相似三角形和勾股定理的应用，需要学生结合网格的限制条件推理尝试找到符合要求的最大三角形，能够锻炼学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.3
