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13. 科学研究表明，植物的花瓣、花萼、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,…。仔细观察该数列，它的第10个数应该是
55
。答案
13. 55
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要观察给出的斐波那契数列，找出数与数之间的运算规律：先对比相邻三个数的关系，发现从第三个数开始，每个数都等于它前面两个数的和。找到规律后，我们可以先根据已知的前8个数算出第9个数，再用第8个数和第9个数相加得到第10个数。
【解析】
观察数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…
可总结规律：从第3项开始，每一项的数值等于它前两项的数值之和。
已知数列前8项分别为：
第1项：1，第2项：1，第3项：2，第4项：3，第5项：5，第6项：8，第7项：13，第8项：21
先计算第9项：第9项 = 第7项 + 第8项 = 13 + 21 = 34
再计算第10项：第10项 = 第8项 + 第9项 = 21 + 34 = 55
【答案】
55
【知识点】
数列规律探究，整数加法运算
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是考查学生观察、归纳数列规律的能力，只要能准确发现相邻三项之间的运算关系，就可以轻松计算出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要观察给出的斐波那契数列，找出数与数之间的运算规律：先对比相邻三个数的关系，发现从第三个数开始，每个数都等于它前面两个数的和。找到规律后，我们可以先根据已知的前8个数算出第9个数，再用第8个数和第9个数相加得到第10个数。
【解析】
观察数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…
可总结规律：从第3项开始，每一项的数值等于它前两项的数值之和。
已知数列前8项分别为：
第1项：1，第2项：1，第3项：2，第4项：3，第5项：5，第6项：8，第7项：13，第8项：21
先计算第9项：第9项 = 第7项 + 第8项 = 13 + 21 = 34
再计算第10项：第10项 = 第8项 + 第9项 = 21 + 34 = 55
【答案】
55
【知识点】
数列规律探究，整数加法运算
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是考查学生观察、归纳数列规律的能力，只要能准确发现相邻三项之间的运算关系，就可以轻松计算出结果。
【难度系数】
0.8
14. 将一根1米长的木棒，第一次截去它的$\frac{1}{2}$，第二次截去剩下的$\frac{1}{3}$，第三次截去剩下的$\frac{1}{4}$，第四次截去剩下的$\frac{1}{5}$，问剩下的木棒有多长？
答案
14. $1×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})=1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$(米)
解析
【分析】
解题时首先要明确每次截取的单位“1”是上一次截完后剩下的木棒长度：每次截去对应分率后，剩余长度就是上一次剩余长度的（1 - 截去的分率）。我们从初始长度1米出发，依次乘每次截完后剩余的分率即可得到最终剩余长度，计算过程中可通过交叉约分简化运算，不需要分步硬算。
【解析】
解：根据题意，第四次截完后剩余的木棒长度为：
$1×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})$
$=1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}$
对分子分母交叉约分后计算得：
$=\frac{1}{5}$（米）
【答案】
$\frac{1}{5}$米
【知识点】
分数乘法应用；单位“1”判定；约分计算
【点评】
本题是分数连乘的典型应用题，解题核心是准确识别每一步的单位“1”为上一次截取后的剩余长度，计算时利用约分可以大幅降低运算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确每次截取的单位“1”是上一次截完后剩下的木棒长度：每次截去对应分率后，剩余长度就是上一次剩余长度的（1 - 截去的分率）。我们从初始长度1米出发，依次乘每次截完后剩余的分率即可得到最终剩余长度，计算过程中可通过交叉约分简化运算，不需要分步硬算。
【解析】
解：根据题意，第四次截完后剩余的木棒长度为：
$1×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})$
$=1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}$
对分子分母交叉约分后计算得：
$=\frac{1}{5}$（米）
【答案】
$\frac{1}{5}$米
【知识点】
分数乘法应用；单位“1”判定；约分计算
【点评】
本题是分数连乘的典型应用题，解题核心是准确识别每一步的单位“1”为上一次截取后的剩余长度，计算时利用约分可以大幅降低运算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.7
15. (1)填空：
$\frac{1}{1×2}=$
$\frac{1}{2×3}=$
$\frac{1}{3×4}=$
(2)根据(1)式结果计算：$\frac{1}{1×2}+$
。
(3)若把(2)式改为$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{99×101}$，结果是多少？
$\frac{1}{1×2}=$
$\frac{1}{2}$
，$1-\frac{1}{2}=$$\frac{1}{2}$
；$\frac{1}{2×3}=$
$\frac{1}{6}$
，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$$\frac{1}{6}$
；$\frac{1}{3×4}=$
$\frac{1}{12}$
，$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=$$\frac{1}{12}$
。(2)根据(1)式结果计算：$\frac{1}{1×2}+$
。(3)若把(2)式改为$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{99×101}$，结果是多少？
答案
15.(1)$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{12}$ (2)$\frac{99}{100}$ (3)$\frac{50}{101}$
解析
【分析】
(1) 第一小问直接按照分数乘法和减法的运算法则计算即可，计算后可发现相邻正整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，这是裂项相消的基础规律。
(2) 第二小问直接利用(1)中得到的规律，把每一项拆成两个分数的差，相加后中间的项会相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算就能得到结果。
(3) 第三小问的分母是差为2的两个正整数的乘积，类比(1)的规律可推导得$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，同样拆分每一项后抵消中间项，最后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算得：
$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$；
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{12}$，$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}$。
(2) 利用(1)的规律拆分原式：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\\=&1-\frac{1}{100}\\=&\frac{99}{100}\end{aligned}$
(3) 先推导裂项公式：$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}×\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，拆分原式计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{99×101}\\=&\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+\frac{1}{2}(\frac{1}{99}-\frac{1}{101})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{101})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{101})\\=&\frac{1}{2}×\frac{100}{101}\\=&\frac{50}{101}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{12}$
(2) $\frac{99}{100}$
(3) $\frac{50}{101}$
【知识点】
裂项相消法，分数加减运算，规律探究
【点评】
本题从简单计算入手引导学生发现裂项规律，再运用规律解决复杂的分数求和问题，裂项相消是分数简便运算的常用技巧，熟练掌握不同形式的裂项公式可大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问直接按照分数乘法和减法的运算法则计算即可，计算后可发现相邻正整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，这是裂项相消的基础规律。
(2) 第二小问直接利用(1)中得到的规律，把每一项拆成两个分数的差，相加后中间的项会相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算就能得到结果。
(3) 第三小问的分母是差为2的两个正整数的乘积，类比(1)的规律可推导得$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，同样拆分每一项后抵消中间项，最后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算得：
$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$；
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{12}$，$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}$。
(2) 利用(1)的规律拆分原式：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\\=&1-\frac{1}{100}\\=&\frac{99}{100}\end{aligned}$
(3) 先推导裂项公式：$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}×\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，拆分原式计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{99×101}\\=&\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+\frac{1}{2}(\frac{1}{99}-\frac{1}{101})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{101})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{101})\\=&\frac{1}{2}×\frac{100}{101}\\=&\frac{50}{101}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{12}$
(2) $\frac{99}{100}$
(3) $\frac{50}{101}$
【知识点】
裂项相消法，分数加减运算，规律探究
【点评】
本题从简单计算入手引导学生发现裂项规律，再运用规律解决复杂的分数求和问题，裂项相消是分数简便运算的常用技巧，熟练掌握不同形式的裂项公式可大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.7
