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三、解答题(共46分)
17.(8分)
(1)化简:$(4a^3b - 10b^3) + (-3a^3b + 10b^3)$。
(2)先化简,再求值:$3ab - [2a^2 - (b^2 - 3ab)]$,其中$a=1,b=-1$。
17.(8分)
(1)化简:$(4a^3b - 10b^3) + (-3a^3b + 10b^3)$。
(2)先化简,再求值:$3ab - [2a^2 - (b^2 - 3ab)]$,其中$a=1,b=-1$。
答案
17. (1)$a^3b$
(2)解:原式$=-2a^2 + b^2$,当$a=1,b=-1$时,$-2a^2 + b^2=-1$
(2)解:原式$=-2a^2 + b^2$,当$a=1,b=-1$时,$-2a^2 + b^2=-1$
解析
【分析】
(1) 本题是整式化简题，解题思路为：先根据去括号法则去掉原式的括号，再识别同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
(2) 本题是整式化简求值题，解题思路为：按照先去小括号、再去中括号的顺序去掉所有括号，去括号时注意若括号前是负号，括号内各项都要改变符号，之后合并同类项得到最简式，最后将a、b的数值代入最简式计算即可，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}原式&=4a^3b - 10b^3 - 3a^3b + 10b^3 \\&=(4a^3b - 3a^3b) + (-10b^3 + 10b^3) \\&=a^3b\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}原式&=3ab - [2a^2 - b^2 + 3ab] \\&=3ab - 2a^2 + b^2 - 3ab \\&=-2a^2 + b^2\end{aligned}$
将$a=1$，$b=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-2×1^2 + (-1)^2 \\&=-2×1 + 1 \\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^3b$
(2)化简结果为$-2a^2 + b^2$，求值结果为$-1$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、去括号法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察去括号和合并同类项的运算规则，熟练掌握符号变化规律是避免出错的关键，先化简再求值的方法能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是整式化简题，解题思路为：先根据去括号法则去掉原式的括号，再识别同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
(2) 本题是整式化简求值题，解题思路为：按照先去小括号、再去中括号的顺序去掉所有括号，去括号时注意若括号前是负号，括号内各项都要改变符号，之后合并同类项得到最简式，最后将a、b的数值代入最简式计算即可，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}原式&=4a^3b - 10b^3 - 3a^3b + 10b^3 \\&=(4a^3b - 3a^3b) + (-10b^3 + 10b^3) \\&=a^3b\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}原式&=3ab - [2a^2 - b^2 + 3ab] \\&=3ab - 2a^2 + b^2 - 3ab \\&=-2a^2 + b^2\end{aligned}$
将$a=1$，$b=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-2×1^2 + (-1)^2 \\&=-2×1 + 1 \\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^3b$
(2)化简结果为$-2a^2 + b^2$，求值结果为$-1$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、去括号法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察去括号和合并同类项的运算规则，熟练掌握符号变化规律是避免出错的关键，先化简再求值的方法能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
18.(6分)已知多项式$A=4ab-5+b^2$，$B=b^2-ab$，化简:$A-2B$。
下面是小温同学的解题过程:
解:$A-2B$
$=(4ab-5+b^2)-2(b^2-ab)···$第①步
$=4ab-5+b^2-2b^2-2ab···$第②步
$=-b^2+2ab-5···$第③步
请回答下列问题:
(1)小温同学从第
(2)请正确化简$A-2B$，并求当$a=3,b=2$时，$A-2B$的值。
下面是小温同学的解题过程:
解:$A-2B$
$=(4ab-5+b^2)-2(b^2-ab)···$第①步
$=4ab-5+b^2-2b^2-2ab···$第②步
$=-b^2+2ab-5···$第③步
请回答下列问题:
(1)小温同学从第
②
步开始出现错误；(2)请正确化简$A-2B$，并求当$a=3,b=2$时，$A-2B$的值。
答案
18. (1)②
(2)$A-2B=-b^2+6ab-5$,当$a=3,b=2$时,$A-2B=27$
(2)$A-2B=-b^2+6ab-5$,当$a=3,b=2$时,$A-2B=27$
解析
【分析】
(1) 要判断错误步骤，需逐步核查运算规则：第①步是将A、B正确代入待求式，操作无误；第②步去括号时，括号前系数为-2，乘括号内的-ab时结果应为+2ab，小温错误写成-2ab，因此第②步出错。
(2) 正确化简A-2B的思路：先代入A、B的表达式，再按去括号法则正确去括号，随后合并同类项得到最简式，最后将a=3、b=2代入最简式计算数值即可。
【解析】
(1) 第②步去括号时，$-2(b^2-ab)=-2b^2+2ab$，小温计算时符号出错，因此从第②步开始出现错误。
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}A-2B&=(4ab-5+b^2)-2(b^2-ab)\\&=4ab-5+b^2-2b^2+2ab\\&=-b^2+6ab-5\end{aligned}$
将$a=3,b=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2^2+6×3×2-5\\&=-4+36-5\\&=27\end{aligned}$
【答案】
(1)②；(2)化简结果为$-b^2+6ab-5$，当$a=3,b=2$时，$A-2B$的值为27
【知识点】
去括号法则，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察去括号的符号规则和系数分配规则，易错点是去括号时漏乘括号内的项或符号处理错误，计算时注意核查去括号步骤可有效减少失误。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断错误步骤，需逐步核查运算规则：第①步是将A、B正确代入待求式，操作无误；第②步去括号时，括号前系数为-2，乘括号内的-ab时结果应为+2ab，小温错误写成-2ab，因此第②步出错。
(2) 正确化简A-2B的思路：先代入A、B的表达式，再按去括号法则正确去括号，随后合并同类项得到最简式，最后将a=3、b=2代入最简式计算数值即可。
【解析】
(1) 第②步去括号时，$-2(b^2-ab)=-2b^2+2ab$，小温计算时符号出错，因此从第②步开始出现错误。
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}A-2B&=(4ab-5+b^2)-2(b^2-ab)\\&=4ab-5+b^2-2b^2+2ab\\&=-b^2+6ab-5\end{aligned}$
将$a=3,b=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2^2+6×3×2-5\\&=-4+36-5\\&=27\end{aligned}$
【答案】
(1)②；(2)化简结果为$-b^2+6ab-5$，当$a=3,b=2$时，$A-2B$的值为27
【知识点】
去括号法则，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察去括号的符号规则和系数分配规则，易错点是去括号时漏乘括号内的项或符号处理错误，计算时注意核查去括号步骤可有效减少失误。
【难度系数】
0.8
19.(6分)小州一家三口准备参加旅行团外出旅游,咨询了两家旅行社:
甲旅行社:“父母买全票,小孩按半价优惠”,
乙旅行社:“家庭旅游可按团体计价,即每人均按全价的8折收费”,
若这两家旅行社每人的原价相同,
请通过计算说明选择哪家旅行社比较划算。
甲旅行社:“父母买全票,小孩按半价优惠”,
乙旅行社:“家庭旅游可按团体计价,即每人均按全价的8折收费”,
若这两家旅行社每人的原价相同,
请通过计算说明选择哪家旅行社比较划算。
答案
19. 解:设每人的原票价为$a$元,若选择甲,则所需费用为$2a+0.5a=2.5a$(元),若选择乙,则所需费用为$3a×80\%=2.4a$(元),因为$a＞0,2.5a＞2.4a$,所以选择乙旅行社比较划算
解析
【分析】
这是一道实际生活中的方案优选问题，首先题目没有给出具体的原票价，我们可以先设每人原票价为参数$a$（$a＞0$），再分别根据两家旅行社的优惠规则，列出选择甲、乙旅行社所需总费用的代数式，最后比较两个代数式的大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
设每人的原票价为$a$元（$a＞0$）。
若选择甲旅行社：父母购买2张全票，小孩按半价优惠，总费用为$2a + 0.5a = 2.5a$元；
若选择乙旅行社：3人均按全价的8折收费，总费用为$3a × 80\% = 2.4a$元。
因为$a＞0$，所以$2.5a ＞ 2.4a$，即乙旅行社的总费用更低。
【答案】
选择乙旅行社比较划算
【知识点】
列代数式、代数式大小比较、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的旅行购票场景，考查用数学知识解决实际问题的应用能力，解题核心是合理引入参数表示两种方案的费用，利用票价为正数的隐含条件比较费用大小即可得到最优方案，题目贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
这是一道实际生活中的方案优选问题，首先题目没有给出具体的原票价，我们可以先设每人原票价为参数$a$（$a＞0$），再分别根据两家旅行社的优惠规则，列出选择甲、乙旅行社所需总费用的代数式，最后比较两个代数式的大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
设每人的原票价为$a$元（$a＞0$）。
若选择甲旅行社：父母购买2张全票，小孩按半价优惠，总费用为$2a + 0.5a = 2.5a$元；
若选择乙旅行社：3人均按全价的8折收费，总费用为$3a × 80\% = 2.4a$元。
因为$a＞0$，所以$2.5a ＞ 2.4a$，即乙旅行社的总费用更低。
【答案】
选择乙旅行社比较划算
【知识点】
列代数式、代数式大小比较、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的旅行购票场景，考查用数学知识解决实际问题的应用能力，解题核心是合理引入参数表示两种方案的费用，利用票价为正数的隐含条件比较费用大小即可得到最优方案，题目贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
