登录
20. (8分)对于两个有理数$m$,$n$,定义一种新的运算“*”:$m * n=2m - 3n$。根据以上规定解答下列各题:
(1)求$4 * (-3)$的值;
(2)若$x + 5y = 3$,求$(x - y + 1) * (x + y - 1)$的值。
(1)求$4 * (-3)$的值;
(2)若$x + 5y = 3$,求$(x - y + 1) * (x + y - 1)$的值。
答案
20. (1)17
(2)原式$=-x-5y+5$,因为$x+5y=3$,所以$-x-5y+5=-(x+5y)=-3+5=2$
(2)原式$=-x-5y+5$,因为$x+5y=3$,所以$-x-5y+5=-(x+5y)=-3+5=2$
解析
【分析】
本题考查新定义运算下的计算与整式化简求值。（1）新定义运算的解题核心是准确匹配运算规则中对应位置的量，本题运算“*”的规则是：前一个数的2倍减去后一个数的3倍，计算$4*(-3)$时，直接把$m=4$、$n=-3$代入规则按有理数运算法则计算即可。（2）先将$(x-y+1)$看作规则里的$m$，$(x+y-1)$看作规则里的$n$，代入运算公式后展开、合并同类项，把化简后的式子变形为含$x+5y$的结构，再将已知条件$x+5y=3$整体代入即可求出结果。
【解析】
(1) 根据新运算规则$m*n=2m-3n$，代入$m=4$，$n=-3$得：
$\begin{aligned}4*(-3)&=2×4 - 3×(-3)\\&=8+9\\&=17\end{aligned}$
(2) 根据新运算规则，将$m=x-y+1$，$n=x+y-1$代入得：
$\begin{aligned}&(x - y + 1) * (x + y - 1)\\=&2(x-y+1)-3(x+y-1)\\=&2x-2y+2-3x-3y+3\\=&-x-5y+5\end{aligned}$
变形得原式$=-(x+5y)+5$，将$x+5y=3$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-3+5\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、整体代入求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解和整式加减运算的掌握，解题时要注意去括号的符号问题，第二问运用整体代入的方法可简化计算，无需单独求解$x$、$y$的值。
【难度系数】
0.8
本题考查新定义运算下的计算与整式化简求值。（1）新定义运算的解题核心是准确匹配运算规则中对应位置的量，本题运算“*”的规则是：前一个数的2倍减去后一个数的3倍，计算$4*(-3)$时，直接把$m=4$、$n=-3$代入规则按有理数运算法则计算即可。（2）先将$(x-y+1)$看作规则里的$m$，$(x+y-1)$看作规则里的$n$，代入运算公式后展开、合并同类项，把化简后的式子变形为含$x+5y$的结构，再将已知条件$x+5y=3$整体代入即可求出结果。
【解析】
(1) 根据新运算规则$m*n=2m-3n$，代入$m=4$，$n=-3$得：
$\begin{aligned}4*(-3)&=2×4 - 3×(-3)\\&=8+9\\&=17\end{aligned}$
(2) 根据新运算规则，将$m=x-y+1$，$n=x+y-1$代入得：
$\begin{aligned}&(x - y + 1) * (x + y - 1)\\=&2(x-y+1)-3(x+y-1)\\=&2x-2y+2-3x-3y+3\\=&-x-5y+5\end{aligned}$
变形得原式$=-(x+5y)+5$，将$x+5y=3$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-3+5\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、整体代入求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解和整式加减运算的掌握，解题时要注意去括号的符号问题，第二问运用整体代入的方法可简化计算，无需单独求解$x$、$y$的值。
【难度系数】
0.8
21.(8分)数学课上,老师设计了一个数学游戏:若两个多项式相减的结果等于第三个多项式,则称这三个多项式为“友好多项式”。甲、乙、丙、丁四位同学各有一张互不相同的多项式卡片,下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话:
请根据对话解答下列问题:
(1)判断甲、乙、丙三位同学的多项式是不是“友好多项式”,并说明理由;
(2)丁的多项式是什么?(请直接写出答案)
请根据对话解答下列问题:
(1)判断甲、乙、丙三位同学的多项式是不是“友好多项式”,并说明理由;
(2)丁的多项式是什么?(请直接写出答案)
答案
21. (1)解:甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”,理由:因为$(3x^2-x+1)-(2x^2-3x-2)=3x^2-x+1-2x^2+3x+2=x^2+2x+3$,所以甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”
(2)丁的多项式是$-x^2-2x-3$或$5x^2-4x-1$
(2)丁的多项式是$-x^2-2x-3$或$5x^2-4x-1$
解析
【分析】
（1）要判断甲、乙、丙的多项式是否为“友好多项式”，只需紧扣定义验证：两个多项式相减的结果是否等于第三个多项式。我们可以计算乙的多项式减去甲的多项式，对比结果是否和丙的多项式一致即可。
（2）已知丁与甲、乙的多项式是“友好多项式”，且四位同学的多项式互不相同。根据定义分类讨论：①甲的多项式减去乙的多项式等于丁的多项式；②丁的多项式等于甲、乙多项式的和；而乙减甲的结果是丙的多项式，不符合“互不相同”的要求，故排除该情况，分别计算两种有效情况即可得到丁的多项式。
【解析】
(1) 甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”，理由如下：
计算乙的多项式减去甲的多项式：
$\begin{aligned}&(3x^2 - x + 1) - (2x^2 - 3x - 2)\\=&3x^2 - x + 1 - 2x^2 + 3x + 2\\=&x^2 + 2x + 3\end{aligned}$
所得结果恰好是丙的多项式，符合“友好多项式”的定义，因此甲、乙、丙的多项式是“友好多项式”。
(2) 已知丁与甲、乙的多项式为“友好多项式”，且四个多项式互不相同，分两种情况计算：
① 若甲的多项式减去乙的多项式等于丁的多项式：
$\begin{aligned}丁&=(2x^2 - 3x - 2) - (3x^2 - x + 1)\\&=2x^2 - 3x - 2 - 3x^2 + x - 1\\&=-x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
② 若丁的多项式为甲、乙多项式的和：
$\begin{aligned}丁&=(2x^2 - 3x - 2) + (3x^2 - x + 1)\\&=2x^2 - 3x - 2 + 3x^2 - x + 1\\&=5x^2 - 4x - 1\end{aligned}$
（乙减甲的结果为丙的多项式，与“互不相同”的条件矛盾，故舍去）
【答案】
(1) 甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”，理由见解析；
(2) $-x^2-2x-3$或$5x^2-4x-1$
【知识点】
多项式的加减运算，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查整式的加减运算，解题核心是准确理解新定义的规则，同时要注意题目中“多项式互不相同”的隐藏限制条件，分类讨论时避免漏解或多解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
（1）要判断甲、乙、丙的多项式是否为“友好多项式”，只需紧扣定义验证：两个多项式相减的结果是否等于第三个多项式。我们可以计算乙的多项式减去甲的多项式，对比结果是否和丙的多项式一致即可。
（2）已知丁与甲、乙的多项式是“友好多项式”，且四位同学的多项式互不相同。根据定义分类讨论：①甲的多项式减去乙的多项式等于丁的多项式；②丁的多项式等于甲、乙多项式的和；而乙减甲的结果是丙的多项式，不符合“互不相同”的要求，故排除该情况，分别计算两种有效情况即可得到丁的多项式。
【解析】
(1) 甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”，理由如下：
计算乙的多项式减去甲的多项式：
$\begin{aligned}&(3x^2 - x + 1) - (2x^2 - 3x - 2)\\=&3x^2 - x + 1 - 2x^2 + 3x + 2\\=&x^2 + 2x + 3\end{aligned}$
所得结果恰好是丙的多项式，符合“友好多项式”的定义，因此甲、乙、丙的多项式是“友好多项式”。
(2) 已知丁与甲、乙的多项式为“友好多项式”，且四个多项式互不相同，分两种情况计算：
① 若甲的多项式减去乙的多项式等于丁的多项式：
$\begin{aligned}丁&=(2x^2 - 3x - 2) - (3x^2 - x + 1)\\&=2x^2 - 3x - 2 - 3x^2 + x - 1\\&=-x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
② 若丁的多项式为甲、乙多项式的和：
$\begin{aligned}丁&=(2x^2 - 3x - 2) + (3x^2 - x + 1)\\&=2x^2 - 3x - 2 + 3x^2 - x + 1\\&=5x^2 - 4x - 1\end{aligned}$
（乙减甲的结果为丙的多项式，与“互不相同”的条件矛盾，故舍去）
【答案】
(1) 甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”，理由见解析；
(2) $-x^2-2x-3$或$5x^2-4x-1$
【知识点】
多项式的加减运算，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查整式的加减运算，解题核心是准确理解新定义的规则，同时要注意题目中“多项式互不相同”的隐藏限制条件，分类讨论时避免漏解或多解，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
22. (10分)有这样一道题:若关于$x,y$的多项式$ax-y+4$与$3x+6y-3$的和的值与字母$x$的取值无关,求$a$的值。
通常的解题方法如下:两式相加后,把$x,y$看作字母,并把$a$看作系数合并同类项,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0,即$(ax-y+4)+(3x+6y-3)=(a+3)x+5y+1$,所以$a+3=0$,则$a=-3$。
(1)【初步尝试】若关于$x$的多项式$(2x-3)a+a^2-3x$的值与$x$的取值无关,求$a$的值。
(2)【深入探究】
有7张如图①所示的小长方形,长为$n$,宽为$m$,按照图②所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中有未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角未被覆盖的面积为$S_1$,左下角未被覆盖的面积为$S_2$。
①$m=2,n=6$,求$S_1-S_2$的值;
②当$AB$的长变化时,$S_1-S_2$的值始终保持不变,求$m$与$n$的等量关系。
通常的解题方法如下:两式相加后,把$x,y$看作字母,并把$a$看作系数合并同类项,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0,即$(ax-y+4)+(3x+6y-3)=(a+3)x+5y+1$,所以$a+3=0$,则$a=-3$。
(1)【初步尝试】若关于$x$的多项式$(2x-3)a+a^2-3x$的值与$x$的取值无关,求$a$的值。
(2)【深入探究】
有7张如图①所示的小长方形,长为$n$,宽为$m$,按照图②所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中有未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角未被覆盖的面积为$S_1$,左下角未被覆盖的面积为$S_2$。
①$m=2,n=6$,求$S_1-S_2$的值;
②当$AB$的长变化时,$S_1-S_2$的值始终保持不变,求$m$与$n$的等量关系。
答案
22. (1)由$2a-3=0$,得$a=\frac{3}{2}$
(2)①$S_1-S_2=12$ ②设$AB=x$,由图可知,$S_1-S_2=(3mx-3mn)-(nx-4mn)=(3m-n)x+mn$。$\because AB$的长变化时,$S_1-S_2$的值始终保持不变,$\therefore S_1-S_2$的值与$x$的值无关,$\therefore 3m-n=0$,$\therefore n=3m$
(2)①$S_1-S_2=12$ ②设$AB=x$,由图可知,$S_1-S_2=(3mx-3mn)-(nx-4mn)=(3m-n)x+mn$。$\because AB$的长变化时,$S_1-S_2$的值始终保持不变,$\therefore S_1-S_2$的值与$x$的值无关,$\therefore 3m-n=0$,$\therefore n=3m$
解析
【分析】
（1）要使关于x的多项式的值与x取值无关，需先将多项式中含x的项合并同类项，令x项的系数为0，即可列方程求a的值。
（2）①先设AB的长为x，结合图形分别用含x、m、n的代数式表示出$S_1$和$S_2$的面积，再计算$S_1-S_2$，最后代入$m=2、n=6$求值即可。
②当AB的长变化时$S_1-S_2$的值不变，说明$S_1-S_2$的代数式中x项的系数为0，据此即可得到m和n的等量关系。
【解析】
（1）先对多项式整理，合并同类项：
$(2x-3)a+a^2-3x = 2ax - 3a + a^2 - 3x = (2a - 3)x + (a^2 - 3a)$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即：
$2a - 3 = 0$
解得$a = \frac{3}{2}$
（2）设大长方形AB的长为$x$：
结合图形可得，右上角$S_1$的竖直边长为$3m$，水平边长为$x - n$，因此$S_1 = 3m(x - n) = 3mx - 3mn$
左下角$S_2$的竖直边长为$n$，水平边长为$x - 4m$，因此$S_2 = n(x - 4m) = nx - 4mn$
因此$S_1 - S_2 = (3mx - 3mn) - (nx - 4mn) = (3m - n)x + mn$
①将$m=2$，$n=6$代入上式：
$S_1 - S_2 = (3×2 - 6)x + 2×6 = 0 + 12 = 12$
②当AB的长$x$变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，说明代数式的值与$x$的取值无关，因此含$x$项的系数为0：
即$3m - n = 0$，整理得$n = 3m$
【答案】
(1) $a=\frac{3}{2}$
(2) ①$S_1-S_2=12$；②$n=3m$
【知识点】
合并同类项，整式的加减，多项式系数相关应用
【点评】
本题以整式运算为核心，结合几何面积计算，考查了“多项式的值与某字母无关则对应项系数为0”的结论的应用，需要掌握代数式化简的方法，同时具备从图形中提取边长关系列代数式的能力。
【难度系数】
0.6
（1）要使关于x的多项式的值与x取值无关，需先将多项式中含x的项合并同类项，令x项的系数为0，即可列方程求a的值。
（2）①先设AB的长为x，结合图形分别用含x、m、n的代数式表示出$S_1$和$S_2$的面积，再计算$S_1-S_2$，最后代入$m=2、n=6$求值即可。
②当AB的长变化时$S_1-S_2$的值不变，说明$S_1-S_2$的代数式中x项的系数为0，据此即可得到m和n的等量关系。
【解析】
（1）先对多项式整理，合并同类项：
$(2x-3)a+a^2-3x = 2ax - 3a + a^2 - 3x = (2a - 3)x + (a^2 - 3a)$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即：
$2a - 3 = 0$
解得$a = \frac{3}{2}$
（2）设大长方形AB的长为$x$：
结合图形可得，右上角$S_1$的竖直边长为$3m$，水平边长为$x - n$，因此$S_1 = 3m(x - n) = 3mx - 3mn$
左下角$S_2$的竖直边长为$n$，水平边长为$x - 4m$，因此$S_2 = n(x - 4m) = nx - 4mn$
因此$S_1 - S_2 = (3mx - 3mn) - (nx - 4mn) = (3m - n)x + mn$
①将$m=2$，$n=6$代入上式：
$S_1 - S_2 = (3×2 - 6)x + 2×6 = 0 + 12 = 12$
②当AB的长$x$变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，说明代数式的值与$x$的取值无关，因此含$x$项的系数为0：
即$3m - n = 0$，整理得$n = 3m$
【答案】
(1) $a=\frac{3}{2}$
(2) ①$S_1-S_2=12$；②$n=3m$
【知识点】
合并同类项，整式的加减，多项式系数相关应用
【点评】
本题以整式运算为核心，结合几何面积计算，考查了“多项式的值与某字母无关则对应项系数为0”的结论的应用，需要掌握代数式化简的方法，同时具备从图形中提取边长关系列代数式的能力。
【难度系数】
0.6
