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20. 在$\odot O$中，AC为直径，MA，MB分别切$\odot O$于点A，B.
（1）如图①.若$∠ BAC=22.5°$，求$∠ AMB$的大小；
（2）如图②，过点B作$BD⊥ AC$于点E，交$\odot O$于点D，若$BD=MA$，求$∠ AMB$的度数.
（1）如图①.若$∠ BAC=22.5°$，求$∠ AMB$的大小；
（2）如图②，过点B作$BD⊥ AC$于点E，交$\odot O$于点D，若$BD=MA$，求$∠ AMB$的度数.
答案
20. 解 （1）因为 MA，MB 分别切$\odot O$ 于
点 A，B，
所以 $MA⊥ AC$，$MA=MB$.
所以$∠MAC=90°$，$∠MAB=∠MBA$.
因为$∠BAC=22.5°$，
所以 $∠MAB = ∠MAC - ∠BAC =90°-22.5°=67.5°$.
所以$∠MAB=∠MBA=67.5°$.
所 以 $∠AMB = 180° - ∠MAB -∠MBA=180°-67.5°-67.5°=45°$.
（2）如图，连接 AD，AB.
因为 $MA⊥ AC$，$BD⊥ AC$，
所以 $BD// MA$.
又因为 $BD=MA$，所以四边形 MADB
是平行四边形. 因为 $MA=MB$，
所以四边形 MADB 是菱形.
所以 $AD=BD$.
因为 AC 为$\odot O$ 的直径，$AC⊥ BD$，
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$. 所以 $AB=AD$.
所以 $AB=AD=BD$.
所以$△ ABD$ 是等边三角形.
所以$∠D=60°$.
所以在菱形 MADB 中，$∠AMB =∠D=60°$.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，得$MA⊥AC$，再由切线长定理可得$MA=MB$，即$△ MAB$为等腰三角形；已知$∠BAC=22.5°$，可先求出$∠MAB$的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$即可求出$∠AMB$的度数。
（2）求解第二问时，先由$MA⊥AC$、$BD⊥AC$可推出$BD// MA$，结合$BD=MA$可判定四边形$MADB$是平行四边形，再根据切线长定理$MA=MB$，可判定平行四边形$MADB$是菱形，得$AD=BD$；再根据垂径定理，直径垂直于弦则平分弦所对的弧，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，即$AB=AD$，进而推出$△ ABD$为等边三角形，得到$∠D=60°$，最后根据菱形对角相等即可求出$∠AMB$的度数。
【解析】
（1）$\because$ MA，MB分别切$\odot O$于点A，B，
$\therefore$ $MA⊥ AC$，$MA=MB$，
$\therefore$ $∠MAC=90°$，$∠MAB=∠MBA$，
$\because$ $∠BAC=22.5°$，
$\therefore$ $∠MAB = ∠MAC - ∠BAC =90°-22.5°=67.5°$，
$\therefore$ $∠MAB=∠MBA=67.5°$，
$\therefore$ $∠AMB = 180° - ∠MAB -∠MBA=180°-67.5°-67.5°=45°$。
（2）连接AD、AB，
$\because$ $MA⊥ AC$，$BD⊥ AC$，
$\therefore$ $BD// MA$，
又$\because$ $BD=MA$，
$\therefore$ 四边形MADB是平行四边形，
$\because$ $MA=MB$，
$\therefore$ 四边形MADB是菱形，
$\therefore$ $AD=BD$，
$\because$ AC为$\odot O$的直径，$AC⊥ BD$，
$\therefore$ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore$ $AB=AD$，
$\therefore$ $AB=AD=BD$，即$△ ABD$是等边三角形，
$\therefore$ $∠D=60°$，
$\therefore$ 在菱形MADB中，$∠AMB =∠D=60°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠AMB=45°}$；
（2）$\boldsymbol{∠AMB=60°}$，辅助线如下：
【知识点】
切线的性质，垂径定理，菱形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的相关性质与特殊四边形、等边三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握各性质定理，梳理清楚边角之间的等量转化关系。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，首先根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，得$MA⊥AC$，再由切线长定理可得$MA=MB$，即$△ MAB$为等腰三角形；已知$∠BAC=22.5°$，可先求出$∠MAB$的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$即可求出$∠AMB$的度数。
（2）求解第二问时，先由$MA⊥AC$、$BD⊥AC$可推出$BD// MA$，结合$BD=MA$可判定四边形$MADB$是平行四边形，再根据切线长定理$MA=MB$，可判定平行四边形$MADB$是菱形，得$AD=BD$；再根据垂径定理，直径垂直于弦则平分弦所对的弧，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，即$AB=AD$，进而推出$△ ABD$为等边三角形，得到$∠D=60°$，最后根据菱形对角相等即可求出$∠AMB$的度数。
【解析】
（1）$\because$ MA，MB分别切$\odot O$于点A，B，
$\therefore$ $MA⊥ AC$，$MA=MB$，
$\therefore$ $∠MAC=90°$，$∠MAB=∠MBA$，
$\because$ $∠BAC=22.5°$，
$\therefore$ $∠MAB = ∠MAC - ∠BAC =90°-22.5°=67.5°$，
$\therefore$ $∠MAB=∠MBA=67.5°$，
$\therefore$ $∠AMB = 180° - ∠MAB -∠MBA=180°-67.5°-67.5°=45°$。
（2）连接AD、AB，
$\because$ $MA⊥ AC$，$BD⊥ AC$，
$\therefore$ $BD// MA$，
又$\because$ $BD=MA$，
$\therefore$ 四边形MADB是平行四边形，
$\because$ $MA=MB$，
$\therefore$ 四边形MADB是菱形，
$\therefore$ $AD=BD$，
$\because$ AC为$\odot O$的直径，$AC⊥ BD$，
$\therefore$ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore$ $AB=AD$，
$\therefore$ $AB=AD=BD$，即$△ ABD$是等边三角形，
$\therefore$ $∠D=60°$，
$\therefore$ 在菱形MADB中，$∠AMB =∠D=60°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠AMB=45°}$；
（2）$\boldsymbol{∠AMB=60°}$，辅助线如下：
【知识点】
切线的性质，垂径定理，菱形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的相关性质与特殊四边形、等边三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握各性质定理，梳理清楚边角之间的等量转化关系。
【难度系数】
0.7
21. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=100°$，$I$是内心，$BI$的延长线交$AC$于点$D$，过$A$，$B$，$D$三点作$\odot O$，交$BC$于点$E$。求证：$BC=BD+AD$。
答案
21. 证明 如图，连接 DE. 在$△ ABC$ 中，
因为 $AB = AC$，$∠A = 100°$，所以
$∠ABC=∠C=\dfrac{1}{2}(180°-∠A)=40°$.
因为 I 是内心，所以 BI 平分$∠ABC$.
所以$∠ABD=∠DBC=\dfrac{1}{2}∠ABC=20°$.
所以$∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°$. 在$\odot O$ 中，$∠A+∠BED=180°$.
所以$∠BED=180°-∠A=80°$.
所 以 $∠BDE = 180° - ∠DBC -∠BED=80°$. 所以$∠BED=∠BDE$. 所以
$BD=BE$.
所以$∠CDE=∠BED-∠C=40°$.
所以$∠C=∠CDE$. 所以$CE=DE$.
因为$∠ABD=∠DBC$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$.
所以 $AD=DE$. 所以 $AD=CE$.
所以 $BC=BE+CE=BD+AD$.
解析
【分析】
要证明$BC=BD+AD$，可采用“截长法”，将$BC$拆分为$BE+CE$，只需分别证明$BD=BE$、$AD=CE$即可。第一步先利用等腰三角形性质和三角形内心的定义，计算出图中各角的度数；第二步连接$DE$，利用圆内接四边形的性质推导$△ BDE$的角度关系，证得$BD=BE$；第三步通过角度推导证得$CE=DE$，再结合同圆中相等的圆周角对应等弧、等弧对应等弦，证得$AD=DE$，进而得到$AD=CE$，最后通过线段和的等量代换即可得证。
【解析】
证明：如图，连接$DE$.
在$△ ABC$ 中，
$\because AB = AC$，$∠ A = 100°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=\dfrac{1}{2}×(180°-100°)=40°$.
$\because I$是三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，
$\therefore BI$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×40°=20°$，
$\therefore ∠ ADB=180°-∠ A-∠ ABD=180°-100°-20°=60°$.
$\because$ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ A+∠ BED=180°$，
$\therefore ∠ BED=180°-∠ A=180°-100°=80°$，
$\therefore ∠ BDE = 180° - ∠ DBC -∠ BED=180°-20°-80°=80°$，
$\therefore ∠ BED=∠ BDE$，
$\therefore BD=BE$.
又$\because ∠ CDE=∠ BED-∠ C=80°-40°=40°$，
$\therefore ∠ C=∠ CDE$，
$\therefore CE=DE$.
$\because ∠ ABD=∠ DBC$，两角为$\odot O$的圆周角，分别对应$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore AD=DE$，
$\therefore AD=CE$.
$\therefore BC=BE+CE=BD+AD$，原结论得证。
【答案】
证明 如图，连接 DE. 在$△ ABC$ 中，
因为 $AB = AC$，$∠A = 100°$，所以
$∠ABC=∠C=\dfrac{1}{2}(180°-∠A)=40°$.
因为 I 是内心，所以 BI 平分$∠ABC$.
所以$∠ABD=∠DBC=\dfrac{1}{2}∠ABC=20°$.
所以$∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°$. 在$\odot O$ 中，$∠A+∠BED=180°$.
所以$∠BED=180°-∠A=80°$.
所 以 $∠BDE = 180° - ∠DBC -∠BED=80°$. 所以$∠BED=∠BDE$. 所以
$BD=BE$.
所以$∠CDE=∠BED-∠C=40°$.
所以$∠C=∠CDE$. 所以$CE=DE$.
因为$∠ABD=∠DBC$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$.
所以 $AD=DE$. 所以 $AD=CE$.
所以 $BC=BE+CE=BD+AD$.
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内心的定义、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于几何综合证明题，解题的关键是合理添加辅助线$DE$，把线段和的证明问题转化为两组线段相等的证明，需要熟练掌握角度计算、等腰三角形的判定以及圆的相关性质，能灵活运用等量代换完成推导。
【难度系数】
0.6
要证明$BC=BD+AD$，可采用“截长法”，将$BC$拆分为$BE+CE$，只需分别证明$BD=BE$、$AD=CE$即可。第一步先利用等腰三角形性质和三角形内心的定义，计算出图中各角的度数；第二步连接$DE$，利用圆内接四边形的性质推导$△ BDE$的角度关系，证得$BD=BE$；第三步通过角度推导证得$CE=DE$，再结合同圆中相等的圆周角对应等弧、等弧对应等弦，证得$AD=DE$，进而得到$AD=CE$，最后通过线段和的等量代换即可得证。
【解析】
证明：如图，连接$DE$.
在$△ ABC$ 中，
$\because AB = AC$，$∠ A = 100°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=\dfrac{1}{2}×(180°-100°)=40°$.
$\because I$是三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，
$\therefore BI$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×40°=20°$，
$\therefore ∠ ADB=180°-∠ A-∠ ABD=180°-100°-20°=60°$.
$\because$ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ A+∠ BED=180°$，
$\therefore ∠ BED=180°-∠ A=180°-100°=80°$，
$\therefore ∠ BDE = 180° - ∠ DBC -∠ BED=180°-20°-80°=80°$，
$\therefore ∠ BED=∠ BDE$，
$\therefore BD=BE$.
又$\because ∠ CDE=∠ BED-∠ C=80°-40°=40°$，
$\therefore ∠ C=∠ CDE$，
$\therefore CE=DE$.
$\because ∠ ABD=∠ DBC$，两角为$\odot O$的圆周角，分别对应$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore AD=DE$，
$\therefore AD=CE$.
$\therefore BC=BE+CE=BD+AD$，原结论得证。
【答案】
证明 如图，连接 DE. 在$△ ABC$ 中，
因为 $AB = AC$，$∠A = 100°$，所以
$∠ABC=∠C=\dfrac{1}{2}(180°-∠A)=40°$.
因为 I 是内心，所以 BI 平分$∠ABC$.
所以$∠ABD=∠DBC=\dfrac{1}{2}∠ABC=20°$.
所以$∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°$. 在$\odot O$ 中，$∠A+∠BED=180°$.
所以$∠BED=180°-∠A=80°$.
所 以 $∠BDE = 180° - ∠DBC -∠BED=80°$. 所以$∠BED=∠BDE$. 所以
$BD=BE$.
所以$∠CDE=∠BED-∠C=40°$.
所以$∠C=∠CDE$. 所以$CE=DE$.
因为$∠ABD=∠DBC$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$.
所以 $AD=DE$. 所以 $AD=CE$.
所以 $BC=BE+CE=BD+AD$.
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内心的定义、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于几何综合证明题，解题的关键是合理添加辅助线$DE$，把线段和的证明问题转化为两组线段相等的证明，需要熟练掌握角度计算、等腰三角形的判定以及圆的相关性质，能灵活运用等量代换完成推导。
【难度系数】
0.6
