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例 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,其周长为$24$,$\odot I$是$△ ABC$的内切圆,其半径为$\sqrt{3}$,则$△ ABC$的外接圆的半径长为.
分析:如图,设$\odot I$与$△ ABC$三边的切点分别为$D,E,F$,连接$ID,IE,IF,IA$,则$IE ⊥ BC$,$ID ⊥ AB$,$IF ⊥ AC$,$AD=AF$,$BD=BE$,$CE=CF$.
$\because ∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ FAI=30°$.
$\therefore AI=2IF=2\sqrt{3}$.
$\therefore AF=\sqrt{AI^2 - IF^2}=3$.
$\therefore AD=3$.
$\because △ ABC$的周长为$24$,
$\therefore 2BE + 2CE=24 - 6=18$.
$\therefore BC=9$.
如图,设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$,作直径$BG$,连接$CG$,
$\therefore ∠ BCG=90°$.
$\because ∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ BGC=60°$.
$\therefore ∠ GBC=30°$.
$\therefore CG=\dfrac{1}{2}BG$.
$\because CG^2 + BC^2=BG^2$,$BC=9$,
$\therefore CG=3\sqrt{3}$.
$\therefore BG=6\sqrt{3}$.
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径为$3\sqrt{3}$.
答案:$3\sqrt{3}$
方法点拨 三角形的内切圆、外接圆结合,设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$,作直径$BG$,构造直角三角形即可求解.
分析:如图,设$\odot I$与$△ ABC$三边的切点分别为$D,E,F$,连接$ID,IE,IF,IA$,则$IE ⊥ BC$,$ID ⊥ AB$,$IF ⊥ AC$,$AD=AF$,$BD=BE$,$CE=CF$.
$\because ∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ FAI=30°$.
$\therefore AI=2IF=2\sqrt{3}$.
$\therefore AF=\sqrt{AI^2 - IF^2}=3$.
$\therefore AD=3$.
$\because △ ABC$的周长为$24$,
$\therefore 2BE + 2CE=24 - 6=18$.
$\therefore BC=9$.
如图,设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$,作直径$BG$,连接$CG$,
$\therefore ∠ BCG=90°$.
$\because ∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ BGC=60°$.
$\therefore ∠ GBC=30°$.
$\therefore CG=\dfrac{1}{2}BG$.
$\because CG^2 + BC^2=BG^2$,$BC=9$,
$\therefore CG=3\sqrt{3}$.
$\therefore BG=6\sqrt{3}$.
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径为$3\sqrt{3}$.
答案:$3\sqrt{3}$
方法点拨 三角形的内切圆、外接圆结合,设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$,作直径$BG$,构造直角三角形即可求解.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确解题的两个核心步骤：第一步先求出边$BC$的长度，第二步结合$BC$的长度和已知的$∠ BAC$的度数求外接圆半径。首先利用三角形内切圆的性质：内切圆圆心是三角形角平分线的交点，到三边距离等于内切圆半径，且顶点到内切圆的两条切线长相等，结合$∠ BAC=60°$可算出切线长$AF=AD$的长度，再结合三角形周长即可求出$BC$的长。得到$BC$的长度后，通过构造外接圆直径，利用“直径所对的圆周角是直角”“同弧所对的圆周角相等”得到含特殊角的直角三角形，再用勾股定理求出直径，即可得到外接圆半径。
【解析】
1. 求$BC$的长度：
设$\odot I$与$△ ABC$三边$AB、BC、AC$的切点分别为$D、E、F$，连接$ID、IF$。
根据内切圆的性质可得：$ID⊥ AB$，$IF⊥ AC$，$ID=IF=\sqrt{3}$，$AI$平分$∠ BAC$，且切线长$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ IAF=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
在$Rt△ AIF$中，$30°$角对的直角边等于斜边的一半，$\therefore AI=2IF=2\sqrt{3}$。
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AI^2-IF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$，$\therefore AD=AF=3$。
已知$△ ABC$周长为24，即$AB+BC+AC=24$，代入$AB=AD+BD$，$AC=AF+CF$可得：
$AD+BD+BC+AF+CF=3+BE+BC+3+CE=6+2BC=24$，解得$BC=9$。
2. 求外接圆半径：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，作直径$BG$，连接$CG$。
根据直径的性质，得$∠ BCG=90°$。
由同弧所对的圆周角相等，得$∠ BGC=∠ BAC=60°$。
在$Rt△ BCG$中，$∠ GBC=90°-60°=30°$，$\therefore CG=\frac{1}{2}BG$。
设$CG=x$，则$BG=2x$，由勾股定理得：
$x^2+9^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2=81$，解得$x=3\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
$\therefore BG=2x=6\sqrt{3}$，外接圆半径为$\frac{1}{2}BG=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于三角形与圆结合的综合题型，解题关键是先利用内切圆的切线长性质求出$BC$的长度，再通过构造外接圆直径的辅助线，将外接圆半径的求解转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握圆与三角形结合的常见辅助线作法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确解题的两个核心步骤：第一步先求出边$BC$的长度，第二步结合$BC$的长度和已知的$∠ BAC$的度数求外接圆半径。首先利用三角形内切圆的性质：内切圆圆心是三角形角平分线的交点，到三边距离等于内切圆半径，且顶点到内切圆的两条切线长相等，结合$∠ BAC=60°$可算出切线长$AF=AD$的长度，再结合三角形周长即可求出$BC$的长。得到$BC$的长度后，通过构造外接圆直径，利用“直径所对的圆周角是直角”“同弧所对的圆周角相等”得到含特殊角的直角三角形，再用勾股定理求出直径，即可得到外接圆半径。
【解析】
1. 求$BC$的长度：
设$\odot I$与$△ ABC$三边$AB、BC、AC$的切点分别为$D、E、F$，连接$ID、IF$。
根据内切圆的性质可得：$ID⊥ AB$，$IF⊥ AC$，$ID=IF=\sqrt{3}$，$AI$平分$∠ BAC$，且切线长$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ IAF=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
在$Rt△ AIF$中，$30°$角对的直角边等于斜边的一半，$\therefore AI=2IF=2\sqrt{3}$。
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AI^2-IF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$，$\therefore AD=AF=3$。
已知$△ ABC$周长为24，即$AB+BC+AC=24$，代入$AB=AD+BD$，$AC=AF+CF$可得：
$AD+BD+BC+AF+CF=3+BE+BC+3+CE=6+2BC=24$，解得$BC=9$。
2. 求外接圆半径：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，作直径$BG$，连接$CG$。
根据直径的性质，得$∠ BCG=90°$。
由同弧所对的圆周角相等，得$∠ BGC=∠ BAC=60°$。
在$Rt△ BCG$中，$∠ GBC=90°-60°=30°$，$\therefore CG=\frac{1}{2}BG$。
设$CG=x$，则$BG=2x$，由勾股定理得：
$x^2+9^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2=81$，解得$x=3\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
$\therefore BG=2x=6\sqrt{3}$，外接圆半径为$\frac{1}{2}BG=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于三角形与圆结合的综合题型，解题关键是先利用内切圆的切线长性质求出$BC$的长度，再通过构造外接圆直径的辅助线，将外接圆半径的求解转化为直角三角形的边长计算，熟练掌握圆与三角形结合的常见辅助线作法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是
（
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
（
D
）A.π
B.2π
C.3π
D.4π
答案
D
解析
【分析】
首先观察图形，阴影部分是正方形外接圆和内切圆组成的圆环，圆环面积公式为$ S = π R^2 - π r^2 $，其中$ R $为外圆半径，$ r $为内圆半径。已知内切圆半径$ r=2 $，只需求出外接圆半径$ R $即可计算阴影面积：第一步根据内切圆性质得正方形边长等于内切圆直径，第二步利用勾股定理求出正方形对角线长度，而正方形外接圆直径等于对角线长度，由此得到外圆半径$ R $，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：已知正方形内切圆半径$ r=2 $
1. 求正方形边长：正方形内切圆直径等于正方形边长，因此正方形边长$ a = 2r = 2×2 = 4 $
2. 求外接圆半径：正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$ \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} $，因此外接圆半径$ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $
3. 计算阴影（圆环）面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{外接圆}} - S_{\mathrm{内切圆}} = π R^2 - π r^2 $
代入数值：
$ S_{\mathrm{阴影}} = π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2 = 8π - 4π = 4π $
【答案】
D
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 正方形与圆的位置关系
3. 勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景考查几何图形面积计算，解题核心是理清正方形内切圆、外接圆与正方形边长、对角线的对应关系，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，阴影部分是正方形外接圆和内切圆组成的圆环，圆环面积公式为$ S = π R^2 - π r^2 $，其中$ R $为外圆半径，$ r $为内圆半径。已知内切圆半径$ r=2 $，只需求出外接圆半径$ R $即可计算阴影面积：第一步根据内切圆性质得正方形边长等于内切圆直径，第二步利用勾股定理求出正方形对角线长度，而正方形外接圆直径等于对角线长度，由此得到外圆半径$ R $，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：已知正方形内切圆半径$ r=2 $
1. 求正方形边长：正方形内切圆直径等于正方形边长，因此正方形边长$ a = 2r = 2×2 = 4 $
2. 求外接圆半径：正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$ \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} $，因此外接圆半径$ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $
3. 计算阴影（圆环）面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{外接圆}} - S_{\mathrm{内切圆}} = π R^2 - π r^2 $
代入数值：
$ S_{\mathrm{阴影}} = π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2 = 8π - 4π = 4π $
【答案】
D
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 正方形与圆的位置关系
3. 勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景考查几何图形面积计算，解题核心是理清正方形内切圆、外接圆与正方形边长、对角线的对应关系，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
