登录
1.如图，某男生掷实心球，实心球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{15}{6}x+\frac{4}{3}$，则该男生此次掷实心球的距离为（
A.9 m
B.8 m
C.7 m
D.6 m
B
）A.9 m
B.8 m
C.7 m
D.6 m
答案
1.B
解析
【分析】
要计算掷实心球的距离，实质是求实心球落地（即飞行高度y=0）时对应的水平距离x的正数值，水平距离不能为负数，因此只需将y=0代入给定的二次函数关系式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到最终结果。
【解析】
当实心球落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入关系式$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{15}{6}x+\frac{4}{3}$，可得：
$0=-\frac{1}{3}x^2+\frac{15}{6}x+\frac{4}{3}$
方程两边同时乘6消去分母，整理得：
$2x^2-15x-8=0$
对上述方程因式分解：
$(2x+1)(x-8)=0$
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
由于水平距离不能为负数，因此舍去$x=-\frac{1}{2}$，即该男生此次掷实心球的距离为8m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是明确实际问题中$y=0$的含义，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
要计算掷实心球的距离，实质是求实心球落地（即飞行高度y=0）时对应的水平距离x的正数值，水平距离不能为负数，因此只需将y=0代入给定的二次函数关系式，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到最终结果。
【解析】
当实心球落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入关系式$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{15}{6}x+\frac{4}{3}$，可得：
$0=-\frac{1}{3}x^2+\frac{15}{6}x+\frac{4}{3}$
方程两边同时乘6消去分母，整理得：
$2x^2-15x-8=0$
对上述方程因式分解：
$(2x+1)(x-8)=0$
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
由于水平距离不能为负数，因此舍去$x=-\frac{1}{2}$，即该男生此次掷实心球的距离为8m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是明确实际问题中$y=0$的含义，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
2.某抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，则水面下降1 m时，水面宽度为（
A.$\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(2\sqrt{6}-4)$m
D.$(2\sqrt{6}+4)$m
B
）A.$\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(2\sqrt{6}-4)$m
D.$(2\sqrt{6}+4)$m
答案
2.B
解析
【分析】
解决这类抛物线实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题。我们选择拱顶为坐标原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式为顶点式$y=ax^2$，计算更简便。接下来根据已知的水面宽度和拱顶到水面的距离，确定抛物线上的点坐标，用待定系数法求出解析式。最后将水面下降1m后的纵坐标代入解析式，求出对应横坐标，即可得到此时的水面宽度。
【解析】
以抛物线的拱顶为原点，过原点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点为$(0,0)$，
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上的点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式：
$-2=a× 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降1m时，此时水面对应的纵坐标为$y=-2-1=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=6$，即$x=\pm\sqrt{6}$，
∴此时水面宽度为$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，核心考查学生建立数学模型解决实际问题的能力，只要合理建立平面直角坐标系，准确转化实际条件为函数信息，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这类抛物线实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题。我们选择拱顶为坐标原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式为顶点式$y=ax^2$，计算更简便。接下来根据已知的水面宽度和拱顶到水面的距离，确定抛物线上的点坐标，用待定系数法求出解析式。最后将水面下降1m后的纵坐标代入解析式，求出对应横坐标，即可得到此时的水面宽度。
【解析】
以抛物线的拱顶为原点，过原点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点为$(0,0)$，
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上的点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式：
$-2=a× 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降1m时，此时水面对应的纵坐标为$y=-2-1=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=6$，即$x=\pm\sqrt{6}$，
∴此时水面宽度为$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，核心考查学生建立数学模型解决实际问题的能力，只要合理建立平面直角坐标系，准确转化实际条件为函数信息，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3.某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线形，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落地点，水柱所在抛物线第一象限部分对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$，求CD的长.
答案
3.解:$CD=18\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要计算CD的长度，我们可以先求出右侧落地点D的横坐标：落地点在x轴上，纵坐标为0，因此可以将y=0代入第一象限的抛物线解析式，求解得到x的正数值即为OD的长度。由于四周喷出的水柱形状相同，左右两侧的抛物线关于y轴对称，因此OC与OD长度相等，CD的长度就是2倍的OD长度。
【解析】
当水柱落到地面时，y=0，将y=0代入第一象限抛物线的解析式$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$，得：
$0=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$
移项得：$\frac{1}{5}(x-4)^2=5$
两边同乘5得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得$x_1=9$，$x_2=-1$
因为点D在x轴正半轴，所以x=9，即$OD=9\ \mathrm{m}$。
由于两侧水柱形状相同，关于y轴对称，因此$OC=OD=9\ \mathrm{m}$。
所以$CD=OC+OD=9+9=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
$CD=18\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与x轴交点；抛物线的对称性
【点评】
本题结合生活中的喷水场景考查二次函数的应用，解题的关键是理解落地点纵坐标为0的特点，同时利用抛物线的对称性简化计算，属于二次函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算CD的长度，我们可以先求出右侧落地点D的横坐标：落地点在x轴上，纵坐标为0，因此可以将y=0代入第一象限的抛物线解析式，求解得到x的正数值即为OD的长度。由于四周喷出的水柱形状相同，左右两侧的抛物线关于y轴对称，因此OC与OD长度相等，CD的长度就是2倍的OD长度。
【解析】
当水柱落到地面时，y=0，将y=0代入第一象限抛物线的解析式$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$，得：
$0=-\frac{1}{5}(x-4)^2+5$
移项得：$\frac{1}{5}(x-4)^2=5$
两边同乘5得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得$x_1=9$，$x_2=-1$
因为点D在x轴正半轴，所以x=9，即$OD=9\ \mathrm{m}$。
由于两侧水柱形状相同，关于y轴对称，因此$OC=OD=9\ \mathrm{m}$。
所以$CD=OC+OD=9+9=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
$CD=18\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与x轴交点；抛物线的对称性
【点评】
本题结合生活中的喷水场景考查二次函数的应用，解题的关键是理解落地点纵坐标为0的特点，同时利用抛物线的对称性简化计算，属于二次函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
