8. 如图29.2-14，已知OA，OB是$\odot O$的半径，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CN ⊥ OB$，垂足为N，$CD ⊥ OA$，垂足为M，交$\odot O$于点D，$CD=4\ \mathrm{cm}$，求CN的长。

图29.2-14

解：如图，连接OC.

$\because AO$是$\odot O$的半径，$OA⊥ CD$，
$\therefore CM=\frac{1}{2}CD=2\ \mathrm{cm}.$
$\because C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}.$
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC.$
$\because CM⊥ OA$，$CN⊥ OB$，
$\therefore CN=CM=2\ \mathrm{cm}.$

【分析】
解题可按以下思路推导：①已知OA是⊙O的半径且OA垂直弦CD，根据垂径定理可直接求出CM的长度；②C为弧AB的中点，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得OC是∠AOB的角平分线；③已知CM⊥OA、CN⊥OB，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可推出CN=CM，进而得到CN的长度。
【解析】
连接OC，如图所示：
∵AO是$\odot O$的半径，$OA⊥ CD$，
∴根据垂径定理，$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴同圆中等弧对等圆心角，$∠ AOC=∠ BOC$，即OC平分∠AOB。
又
∵$CM⊥ OA$，$CN⊥ OB$，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CN=CM=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
CN的长为$\boxed{2\ \mathrm{cm}}$，辅助线如图：
【知识点】
垂径定理；弧与圆心角的关系；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和角平分线性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线OC，理清各条件之间的关联，侧重对基础知识点融合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7

9. 如图29.2-15，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB长为半径作$\odot A$，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，判断$\overset{\frown}{EF}$和$\overset{\frown}{FG}$是否相等，并说明理由。

图29.2-15

解：$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}.$ 理由如下：
如图，连接AE.

$\because AB=AE$，$\therefore ∠ B=∠ AEB.$
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AD// BC.$
$\therefore ∠ B=∠ GAF$，$∠ FAE=∠ AEB.$
$\therefore ∠ GAF=∠ FAE.$
$\therefore$ 在$\odot A$中，$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}.$

【分析】
要判断同一个圆中两段弧是否相等，依据圆的基本性质：同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只需证明$\overset{\frown}{EF}$和$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角$∠FAE$和$∠GAF$相等即可。我们可以通过连接辅助线AE，构造等腰$△ ABE$，利用等腰三角形等边对等角的性质得到角相等，再结合平行四边形对边平行的性质，通过平行线的同位角、内错角相等进行等量代换，即可证明两个圆心角相等，进而得到两段弧相等。
【解析】
解：$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$，理由如下：
如图，连接AE.

$\because AB、AE$都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AE$，根据等边对等角可得$∠B=∠AEB$.
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得$AD// BC$.
根据两直线平行，同位角相等可得$∠B=∠GAF$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠FAE=∠AEB$.
通过等量代换可得$∠GAF=∠FAE$.
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得在$\odot A$中，$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.
【答案】
$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$，理由如下：
如图，连接AE.

$\because AB=AE$，$\therefore ∠ B=∠ AEB.$
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AD// BC.$
$\therefore ∠ B=∠ GAF$，$∠ FAE=∠ AEB.$
$\therefore ∠ GAF=∠ FAE.$
$\therefore$ 在$\odot A$中，$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}.$
【知识点】
平行四边形的性质，圆心角与弧的关系，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合应用题，解题核心是合理添加辅助线AE，将平行四边形、等腰三角形和圆的性质结合起来推导角的关系，能帮助学生掌握不同几何图形性质的综合运用方法。
【难度系数】
0.7

10. 如图29.2-16，在$\odot O$中，C，D是直径AB上的两点，且$AC=BD$，$MC⊥ AB$，$ND⊥ AB$，点M，N在$\odot O$上.（1）求证$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$；（2）若C，D分别为OA，OB的中点，则$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立吗？请说明理由. 图29.2-16

10. （1）证明：如图，连接OM，ON.
∵OA=OB，AC=BD，
∴OA−AC=OB−BD，即OC=OD.
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°.
在Rt△OCM和Rt△ODN中，$\begin{cases} OC=OD, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴Rt△OCM≌Rt△ODN.
∴∠AOM=∠BON.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
（2）解：$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立. 理由如下：
∵C为OA的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OM.
∴∠OMC=30°.
∵∠MCO=90°.
∴∠AOM=60°.
同理∠BON=60°.
∴∠MON=180°−∠AOM−∠BON=60°.
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BN}$.

【分析】
（1）要证明弧相等，可利用同圆中相等的圆心角对应相等弧的性质，将证明弧相等转化为证明两段弧对应的圆心角相等。首先连接OM、ON两条半径，结合已知OA=OB、AC=BD推出OC=OD，再结合垂直条件得到两个直角三角形，通过HL判定全等得到圆心角相等，即可证得弧相等。
（2）要判断三段弧相等，只需证明三段弧对应的三个圆心角相等即可。利用C、D是OA、OB中点的条件，得到直角边OC是斜边OM的一半，推出∠AOM=60°，同理得∠BON=60°，再计算得到∠MON也为60°，三个圆心角相等即可得三段弧相等。
【解析】
（1）证明：连接OM，ON。
∵OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
又
∵$AC=BD$，
∴$OA-AC=OB-BD$，即$OC=OD$。
∵$MC⊥AB$，$ND⊥AB$，
∴$∠ OCM=∠ ODN=90°$，$△ OCM$和$△ ODN$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ ODN$中，
$\begin{cases} OC=OD \\ OM=ON（均为\odot O的半径） \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ OCM≌\mathrm{Rt}△ ODN（\mathrm{HL}）$，
∴$∠ AOM=∠ BON$，
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
（2）$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立，理由如下：
∵C为OA的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OA$，
又
∵$OA=OM$，
∴$OC=\frac{1}{2}OM$，
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，$∠ OCM=90°$，直角边OC等于斜边OM的一半，
∴$∠ OMC=30°$，
∴$∠ AOM=90°-30°=60°$，
同理可得$∠ BON=60°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ MON=180°-∠ AOM-∠ BON=180°-60°-60°=60°$，
∴$∠ AOM=∠ MON=∠ BON=60°$，
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
（1）证明：如图，连接OM，ON.
∵OA=OB，AC=BD，
∴OA−AC=OB−BD，即OC=OD.
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°.
在Rt△OCM和Rt△ODN中，$\begin{cases} OC=OD, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴Rt△OCM≌Rt△ODN.
∴∠AOM=∠BON.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
（2）解：$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立. 理由如下：
∵C为OA的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OM.
∴∠OMC=30°.
∵∠MCO=90°.
∴∠AOM=60°.
同理∠BON=60°.
∴∠MON=180°−∠AOM−∠BON=60°.
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BN}$.
【知识点】
圆心角与弧的关系；全等三角形判定；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，结合了全等三角形证明、直角三角形边角关系的知识点，解题核心是通过连接半径构造全等三角形和特殊直角三角形，将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，有助于加深对圆的基本性质的理解。
【难度系数】
0.7