4. 如图29.2-10，在$\odot O$中，点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ A=50°$，则$∠ BOC$的度数为（）.


A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

4. A

【分析】
解题时首先从圆的基本性质入手：①OA、OB都是圆O的半径，因此OA=OB，可判定△OAB为等腰三角形，结合已知∠A=50°，可先求出顶角∠AOB的度数；②再根据“C是弧AB的中点”这一条件，可知弧AC与弧BC相等，依据等弧对应的圆心角相等，可得OC平分∠AOB，因此∠BOC为∠AOB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB，即△OAB为等腰三角形
∴∠B=∠A=50°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°
∵点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×80°=40°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题目，解题的关键是先利用等腰三角形性质求出大圆心角∠AOB的度数，再结合弧中点与圆心角的对应关系求解，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 如图29.2-11，已知A，B，C，D四点在$\odot O$上，且$AB=CD$. 求证：$∠ AOC=∠ DOB$.

图29.2-11

5. 证明：$\because AB=CD$，$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
$\therefore\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$.
$\therefore∠AOC=∠DOB$.

【分析】
要证明两个圆心角∠AOC=∠DOB，可依据“同圆中相等的弧对应的圆心角相等”，先证明二者对应的弧$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{DB}$相等。已知弦AB=CD，根据同圆中相等的弦对应的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察图形可知$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$含有公共弧$\overset{\frown}{BC}$，将两个相等的弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，即可得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$，进而推出对应的圆心角相等。
【解析】
证明：$\because$ 在$\odot O$中，$AB=CD$，
$\therefore$ 同圆中相等的弦所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
根据等式的性质，得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$，
又$\because$ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
$\therefore ∠AOC=∠DOB$。
【答案】
证明：$\because AB=CD$，$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
$\therefore\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$.
$\therefore∠AOC=∠DOB$.
【知识点】
1.弦与弧的对应关系
2.弧与圆心角的对应关系
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题关键是熟练掌握同圆中弦、弧、圆心角三者的等量转化关系，通过弧的加减运算得到待证角对应的弧相等即可得证，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 如图29.2-12，在$\odot O$中，$AD=BC$，且$AC$与$BD$交于点$E$. 求证：$AC=BD$，$DE=EC$.

6. 证明：$\because AD=BC$，$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$.
$\therefore AC=BD$.
连接$CD$(图略)，
$\because AD=BC$，$AC=BD$，$DC=CD$，
$\therefore△ ACD≌△ BDC$. $\therefore∠ACD=∠BDC$.
$\therefore DE=EC$.

【分析】
要证明$AC=BD$，可利用同圆中“等弧对等弦”的性质，先推导$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$：已知弦$AD=BC$，由同圆中等弦对等弧得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两段弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AB}$即可得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，进而得到$AC=BD$。要证明$DE=EC$，可转化为证明$△ EDC$为等腰三角形，即证$∠ EDC=∠ ECD$，因此连接$CD$构造$△ ACD$和$△ BDC$，结合已知的$AD=BC$、已证的$AC=BD$和公共边$CD$，可通过SSS判定两三角形全等，得到对应角相等，再由等角对等边即可得$DE=EC$。
【解析】
证明：$\because AD=BC$，$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中相等的弦所对的弧相等）。
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$。
$\therefore AC=BD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
连接$CD$，
$\because AD=BC$，$AC=BD$，$DC=CD$，
$\therefore△ ACD≌△ BDC$（SSS）。
$\therefore∠ACD=∠BDC$（全等三角形的对应角相等）。
$\therefore DE=EC$（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because AD=BC$，$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
$\therefore\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$.
$\therefore AC=BD$.
连接$CD$，
$\because AD=BC$，$AC=BD$，$DC=CD$，
$\therefore△ ACD≌△ BDC$. $\therefore∠ACD=∠BDC$.
$\therefore DE=EC$.
【知识点】
1. 同圆弧弦的关系
2. 全等三角形判定与性质
3. 等角对等边
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形知识结合的典型证明题，解题核心是熟练掌握同圆内弦和弧的相互转化，以及通过构造辅助线搭建边、角等量关系的证明思路，有助于巩固几何证明的常规逻辑。
【难度系数】
0.75

7. 如图29.2-13，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，下列结论中，正确的有（）.
①$AB=CD$；②$AC=BD$；③$∠ AOC=∠ BOD$；④$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

7. D

【分析】
本题考查同圆中弧、弦、圆心角的对应关系，解题思路如下：首先根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，利用同圆中等弧对等弦判断结论①；再将两条等弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，推导得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，判断结论④；最后根据等弧对应的弦相等、等弧对应的圆心角相等，依次判断结论②和③即可。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据“同圆中相等的弧所对的弦相等”，可得$AB=CD$，故①正确；
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故④正确；
3. 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据“同圆中相等的弧所对的弦相等”，可得$AC=BD$，故②正确；
4. 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”，可得$∠ AOC=∠ BOD$，故③正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系、弧的和差运算、同圆的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用类题目，解题的关键是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，注意利用公共弧进行和差转化即可快速解题。
【难度系数】
0.8