登录
知识梳理
1. 多项式:几个单项式的
2. 多项式的项:每个单项式叫作多项式的
3. 多项式的次数:多项式里,次数
1. 多项式:几个单项式的
和
叫作多项式.2. 多项式的项:每个单项式叫作多项式的
项
,不含字母的项叫作常数项
.3. 多项式的次数:多项式里,次数
最高
的项的次数,叫作这个多项式的次数.答案
1. 和 2. 项 常数项 3. 最高
解析
【分析】
本题考查多项式相关的基础概念，属于识记类题型，解题时只需回忆教材中关于多项式、多项式的项、多项式次数的定义，直接对应填空即可。
【解析】
1. 根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此第一个空填“和”；
2. 根据多项式的项的相关定义：组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项数值固定不变，叫作常数项，因此这两个空依次填“项”“常数项”；
3. 根据多项式次数的定义：多项式里次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，因此第三个空填“最高”。
【答案】
1. 和 2. 项 常数项 3. 最高
【知识点】
多项式的定义；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题是对多项式核心基础概念的直接考查，难度较低，熟练掌握教材中的基础定义就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式相关的基础概念，属于识记类题型，解题时只需回忆教材中关于多项式、多项式的项、多项式次数的定义，直接对应填空即可。
【解析】
1. 根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此第一个空填“和”；
2. 根据多项式的项的相关定义：组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项数值固定不变，叫作常数项，因此这两个空依次填“项”“常数项”；
3. 根据多项式次数的定义：多项式里次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，因此第三个空填“最高”。
【答案】
1. 和 2. 项 常数项 3. 最高
【知识点】
多项式的定义；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题是对多项式核心基础概念的直接考查，难度较低，熟练掌握教材中的基础定义就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
例1 指出下列各代数式中的多项式：
$ab - c, ax^2 + bx + c, -5, -3π xy, \dfrac{a - 2b}{3}, \dfrac{x}{5}, \dfrac{4}{x}, \dfrac{5}{y + 2}.$
解:
例2 写出下列各式是几次几项式,并写出次数最高的项、次数最高的项的系数以及常数项.
(1) $7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1;$
(2) $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4.$
解:
【规律方法】
确定多项式的项及次数的注意事项
(1)多项式的每一项都包含它前面的正负号.
(2)在多项式中,次数最高的项的次数是多项式的次数.
(3)在一个多项式中,次数最高的项可以不唯一.
$ab - c, ax^2 + bx + c, -5, -3π xy, \dfrac{a - 2b}{3}, \dfrac{x}{5}, \dfrac{4}{x}, \dfrac{5}{y + 2}.$
解:
例2 写出下列各式是几次几项式,并写出次数最高的项、次数最高的项的系数以及常数项.
(1) $7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1;$
(2) $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4.$
解:
【规律方法】
确定多项式的项及次数的注意事项
(1)多项式的每一项都包含它前面的正负号.
(2)在多项式中,次数最高的项的次数是多项式的次数.
(3)在一个多项式中,次数最高的项可以不唯一.
答案
例1 解:多项式有 $ab-c,ax^2+bx+c,\dfrac{a-2b}{3}.$
例2 解:(1) $7x^2-3x^5y-y^3+6x-3y^2+1$ 是六次六项式,次数最高的项是$-3x^5y$,次数最高的项的系数是-3,常数项是1;
(2) $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}x^2y^2-1+x^4$ 是四次四项式,次数最高的项是$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$ 和 $x^4$,次数最高的项的系数分别是$-\dfrac{1}{3}$和1,常数项是-1.
例2 解:(1) $7x^2-3x^5y-y^3+6x-3y^2+1$ 是六次六项式,次数最高的项是$-3x^5y$,次数最高的项的系数是-3,常数项是1;
(2) $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}x^2y^2-1+x^4$ 是四次四项式,次数最高的项是$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$ 和 $x^4$,次数最高的项的系数分别是$-\dfrac{1}{3}$和1,常数项是-1.
解析
【分析】
例1解题思路
判断代数式是否为多项式，首先要明确相关定义：①分母中含有字母的代数式不属于整式，必然不是多项式；②多项式是几个单项式的和，单独的1个单项式不属于多项式。解题时逐个排查给出的代数式，先排除分母含字母的式子，再排除单独的单项式，剩余的就是多项式。
例2解题思路
要确定多项式是几次几项式，分两步操作：第一步统计多项式包含的项的个数（注意每一项都要包含前面的正负号），确定是几项式；第二步计算每一项的次数（次数为该项所有字母的指数和），找到最高的次数即为多项式的次数，再根据结果找出次数最高的项、对应系数和不含字母的常数项即可。
【解析】
例1解析
结合多项式定义逐个判断：
1. $ab - c$是单项式$ab$与$-c$的和，属于多项式；
2. $ax^2 + bx + c$是单项式$ax^2$、$bx$、$c$的和，属于多项式；
3. $-5$是单独的常数，属于单项式，不是多项式；
4. $-3π xy$是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
5. $\dfrac{a - 2b}{3}$可变形为$\dfrac{a}{3}-\dfrac{2b}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式；
6. $\dfrac{x}{5}$是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
7. $\dfrac{4}{x}$分母含字母，不是整式，不属于多项式；
8. $\dfrac{5}{y + 2}$分母含字母，不是整式，不属于多项式。
例2解析
(1) 分析$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$
该式的项依次为$7x^2$、$-3x^5y$、$-y^3$、$6x$、$-3y^2$、$1$，共6个项；计算各项次数得：$-3x^5y$的次数为$5+1=6$，是最高次数，因此该式为六次六项式；次数最高的项为$-3x^5y$，系数是$-3$，常数项为$1$。
(2) 分析$\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$
该式的项依次为$\dfrac{1}{2}x$、$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$、$-1$、$x^4$，共4个项；计算各项次数得：$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$的次数为$2+2=4$，$x^4$的次数为4，最高次数为4，因此该式为四次四项式；次数最高的项为$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$和$x^4$，对应系数分别为$-\dfrac{1}{3}$和$1$，常数项为$-1$。
【答案】
例1 多项式有 $ab-c,ax^2+bx+c,\dfrac{a-2b}{3}.$
例2 (1) $7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$ 是六次六项式,次数最高的项是$-3x^5y$,次数最高的项的系数是-3,常数项是1;
(2) $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$ 是四次四项式,次数最高的项是$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$ 和 $x^4$,次数最高的项的系数分别是$-\dfrac{1}{3}$和1,常数项是-1.
【知识点】
多项式的判定，多项式的项与次数，整式的概念
【点评】
这两道题是多项式相关的基础题型，核心考查对多项式相关概念的理解与应用，解题时需注意：①分母含字母的代数式不属于整式，更不是多项式；②多项式的项需包含前面的正负号，计算项的次数时要累加所有字母的指数，避免漏算。
【难度系数】
0.8
例1解题思路
判断代数式是否为多项式，首先要明确相关定义：①分母中含有字母的代数式不属于整式，必然不是多项式；②多项式是几个单项式的和，单独的1个单项式不属于多项式。解题时逐个排查给出的代数式，先排除分母含字母的式子，再排除单独的单项式，剩余的就是多项式。
例2解题思路
要确定多项式是几次几项式，分两步操作：第一步统计多项式包含的项的个数（注意每一项都要包含前面的正负号），确定是几项式；第二步计算每一项的次数（次数为该项所有字母的指数和），找到最高的次数即为多项式的次数，再根据结果找出次数最高的项、对应系数和不含字母的常数项即可。
【解析】
例1解析
结合多项式定义逐个判断：
1. $ab - c$是单项式$ab$与$-c$的和，属于多项式；
2. $ax^2 + bx + c$是单项式$ax^2$、$bx$、$c$的和，属于多项式；
3. $-5$是单独的常数，属于单项式，不是多项式；
4. $-3π xy$是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
5. $\dfrac{a - 2b}{3}$可变形为$\dfrac{a}{3}-\dfrac{2b}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式；
6. $\dfrac{x}{5}$是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
7. $\dfrac{4}{x}$分母含字母，不是整式，不属于多项式；
8. $\dfrac{5}{y + 2}$分母含字母，不是整式，不属于多项式。
例2解析
(1) 分析$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$
该式的项依次为$7x^2$、$-3x^5y$、$-y^3$、$6x$、$-3y^2$、$1$，共6个项；计算各项次数得：$-3x^5y$的次数为$5+1=6$，是最高次数，因此该式为六次六项式；次数最高的项为$-3x^5y$，系数是$-3$，常数项为$1$。
(2) 分析$\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$
该式的项依次为$\dfrac{1}{2}x$、$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$、$-1$、$x^4$，共4个项；计算各项次数得：$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$的次数为$2+2=4$，$x^4$的次数为4，最高次数为4，因此该式为四次四项式；次数最高的项为$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$和$x^4$，对应系数分别为$-\dfrac{1}{3}$和$1$，常数项为$-1$。
【答案】
例1 多项式有 $ab-c,ax^2+bx+c,\dfrac{a-2b}{3}.$
例2 (1) $7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$ 是六次六项式,次数最高的项是$-3x^5y$,次数最高的项的系数是-3,常数项是1;
(2) $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$ 是四次四项式,次数最高的项是$-\dfrac{1}{3}x^2y^2$ 和 $x^4$,次数最高的项的系数分别是$-\dfrac{1}{3}$和1,常数项是-1.
【知识点】
多项式的判定，多项式的项与次数，整式的概念
【点评】
这两道题是多项式相关的基础题型，核心考查对多项式相关概念的理解与应用，解题时需注意：①分母含字母的代数式不属于整式，更不是多项式；②多项式的项需包含前面的正负号，计算项的次数时要累加所有字母的指数，避免漏算。
【难度系数】
0.8
1. 有下列代数式:①$\frac{1}{2}ab$；②$\frac{a+b}{2}$；③$ab+b^2+1$；④$\frac{2}{a}+3b-5$. 其中是多项式的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆相关概念，按照两步法判断：第一步，多项式属于整式，所以分母含字母的代数式一定不是多项式，先排除这类式子；第二步，多项式是几个单项式的和，单独的单项式不属于多项式。我们逐个分析给出的4个代数式即可得出结果。
【解析】
首先明确相关定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式属于整式，整式的分母中不含字母；单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也属于单项式。
逐个判断：
①$\frac{1}{2}ab$是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
②$\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
③$ab+b^2+1$是$ab$、$b^2$、$1$三个单项式的和，属于多项式；
④$\frac{2}{a}+3b-5$中$\frac{2}{a}$的分母含有字母，不是单项式，因此该式子不是整式，也不是多项式。
综上，是多项式的有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义，整式的概念，单项式的定义
【点评】
本题核心考查整式分类中多项式的判定，解题关键是清晰区分单项式、多项式、非整式的边界，易错点是容易误将分母含字母的式子或者单独的单项式判定为多项式，牢记基础概念即可正确解题。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要回忆相关概念，按照两步法判断：第一步，多项式属于整式，所以分母含字母的代数式一定不是多项式，先排除这类式子；第二步，多项式是几个单项式的和，单独的单项式不属于多项式。我们逐个分析给出的4个代数式即可得出结果。
【解析】
首先明确相关定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式属于整式，整式的分母中不含字母；单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也属于单项式。
逐个判断：
①$\frac{1}{2}ab$是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
②$\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
③$ab+b^2+1$是$ab$、$b^2$、$1$三个单项式的和，属于多项式；
④$\frac{2}{a}+3b-5$中$\frac{2}{a}$的分母含有字母，不是单项式，因此该式子不是整式，也不是多项式。
综上，是多项式的有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义，整式的概念，单项式的定义
【点评】
本题核心考查整式分类中多项式的判定，解题关键是清晰区分单项式、多项式、非整式的边界，易错点是容易误将分母含字母的式子或者单独的单项式判定为多项式，牢记基础概念即可正确解题。
【难度系数】
0.7
2. 多项式$-\frac{1}{2}x + 3x^2 -5$的各项分别为
$-\frac{1}{2}x,3x^2,-5$
，次数最高的项是 $3x^2$
，次数是 2
，常数项是 -5
。答案
2. $-\frac{1}{2}x,3x^2,-5 \quad 3x^2 \quad 2 \quad -5$
解析
【分析】
解决本题需要先回忆多项式的相关概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要包含它前面的正负号；②多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；③常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。解题步骤如下：第一步先拆分多项式得到所有的项，第二步分别计算每个项的次数，找到次数最高的项和多项式的次数，第三步找出不含字母的常数项。
【解析】
1. 确定多项式的各项：
多项式$-\frac{1}{2}x + 3x^2 -5$是$-\frac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$这三个单项式的和，所以各项分别为$-\frac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$。
2. 找次数最高的项和多项式的次数：
分别计算各项的次数：$-\frac{1}{2}x$中字母x的指数是1，次数为1；$3x^2$中字母x的指数是2，次数为2；$-5$是常数，次数为0。对比可知次数最高的项是$3x^2$，该多项式的次数为2。
3. 确定常数项：
不含字母的项是$-5$，即常数项为$-5$。
【答案】
$-\frac{1}{2}x,3x^2,-5$；$3x^2$；$2$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题是整式相关概念的基础考查题，解题的易错点是拆分多项式的项时容易遗漏项前面的负号，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先回忆多项式的相关概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要包含它前面的正负号；②多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；③常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。解题步骤如下：第一步先拆分多项式得到所有的项，第二步分别计算每个项的次数，找到次数最高的项和多项式的次数，第三步找出不含字母的常数项。
【解析】
1. 确定多项式的各项：
多项式$-\frac{1}{2}x + 3x^2 -5$是$-\frac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$这三个单项式的和，所以各项分别为$-\frac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$。
2. 找次数最高的项和多项式的次数：
分别计算各项的次数：$-\frac{1}{2}x$中字母x的指数是1，次数为1；$3x^2$中字母x的指数是2，次数为2；$-5$是常数，次数为0。对比可知次数最高的项是$3x^2$，该多项式的次数为2。
3. 确定常数项：
不含字母的项是$-5$，即常数项为$-5$。
【答案】
$-\frac{1}{2}x,3x^2,-5$；$3x^2$；$2$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题是整式相关概念的基础考查题，解题的易错点是拆分多项式的项时容易遗漏项前面的负号，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
知识梳理
单项式
与多项式
统称整式.答案
单项式 多项式
解析
【分析】
这道题考查整式的基础定义类知识点，解题时只需回忆整式的分类相关内容即可，我们在学习整式相关概念时，明确规定了整式的组成类别，准确记忆对应的概念名称就能完成填空。
【解析】
根据整式的定义可知：单项式与多项式统称为整式，因此第一个空填单项式，第二个空填多项式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
整式的概念、单项式、多项式
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对整式相关核心定义的掌握情况，牢记基础概念是解答此类题目的关键。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式的基础定义类知识点，解题时只需回忆整式的分类相关内容即可，我们在学习整式相关概念时，明确规定了整式的组成类别，准确记忆对应的概念名称就能完成填空。
【解析】
根据整式的定义可知：单项式与多项式统称为整式，因此第一个空填单项式，第二个空填多项式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
整式的概念、单项式、多项式
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对整式相关核心定义的掌握情况，牢记基础概念是解答此类题目的关键。
【难度系数】
0.9
