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11.若函数$y=(k+3)x^{k^2 +k -4}$是关于x的二次函数，则k=
2
.答案
11.2
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣二次函数的两个核心要求：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0，两个条件需同时满足。解题时先根据x的次数要求列方程求出k的所有可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$k^2 + k -4 = 2$
整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
2. 二次项系数不为0：
$k+3≠0$，即$k≠-3$。
舍去不符合要求的$k=-3$，最终得$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法；不等式求解
【点评】
本题属于二次函数定义的基础应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致错填-3，牢记定义的全部隐含要求即可正确解答。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需紧扣二次函数的两个核心要求：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0，两个条件需同时满足。解题时先根据x的次数要求列方程求出k的所有可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$k^2 + k -4 = 2$
整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
2. 二次项系数不为0：
$k+3≠0$，即$k≠-3$。
舍去不符合要求的$k=-3$，最终得$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法；不等式求解
【点评】
本题属于二次函数定义的基础应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致错填-3，牢记定义的全部隐含要求即可正确解答。
【难度系数】
0.7
12. (本课时 T11 变式)若函数 $y=(m+3)x^{|m+1|}+5x-5$ 是关于 $x$ 的二次函数，则 $m=$
1
.答案
12.1
解析
【分析】
要解决本题，需依据二次函数的定义分析求解：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可先根据最高次数的要求列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到最终的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量的最高次数为2，即$|m+1|=2$
解绝对值方程：
当$m+1=2$时，$m=1$；
当$m+1=-2$时，$m=-3$。
2. 二次项系数不为0，即$m+3≠0$，解得$m≠-3$。
结合以上两个条件，排除$m=-3$，因此$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题考查二次函数定义的应用，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致出现多解的错误，解题时需注意对求出的参数值进行验证。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需依据二次函数的定义分析求解：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可先根据最高次数的要求列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到最终的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量的最高次数为2，即$|m+1|=2$
解绝对值方程：
当$m+1=2$时，$m=1$；
当$m+1=-2$时，$m=-3$。
2. 二次项系数不为0，即$m+3≠0$，解得$m≠-3$。
结合以上两个条件，排除$m=-3$，因此$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题考查二次函数定义的应用，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致出现多解的错误，解题时需注意对求出的参数值进行验证。
【难度系数】
0.7
13. 下列函数:①$y=1-x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(x-3)$；④$y=ax^2+bx+c$；⑤$y=(m^2+1)x^2$（$m$为常数）；⑥$y=-4x^2+(1-2x)^2$. 其中一定是二次函数的是
①③⑤
.(填序号)答案
13.①③⑤
解析
【分析】
解题的核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需同时满足三个条件：1. 函数表达式是整式；2. 自变量的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。解题时先对每个函数表达式进行化简，再对照三个条件逐一判断即可得出结论。
【解析】
先明确二次函数的判定标准，再逐个分析所给函数：
①$y=1-x^2$：是整式，自变量最高次数为2，二次项系数为$-1≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
②$y=\frac{2}{x^2}$：表达式分母含自变量，属于分式函数，不是整式，因此不是二次函数；
③$y=x(x-3)$：先化简得$y=x^2-3x$，是整式，自变量最高次数为2，二次项系数为$1≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
④$y=ax^2+bx+c$：未注明$a≠0$，若$a=0$时函数最高次数小于2，因此不一定是二次函数；
⑤$y=(m^2+1)x^2$（$m$为常数）：由$m^2≥0$可得$m^2+1≥1≠0$，二次项系数恒不为0，且是整式、自变量最高次数为2，因此一定是二次函数；
⑥$y=-4x^2+(1-2x)^2$：展开化简得$y=-4x^2+1-4x+4x^2=1-4x$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
综上，一定是二次函数的是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判断，解题关键是熟记二次函数的定义，尤其要注意二次项系数不为0的隐含要求，对于结构复杂的函数要先化简再判断，避免因未化简直接判断出现错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需同时满足三个条件：1. 函数表达式是整式；2. 自变量的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。解题时先对每个函数表达式进行化简，再对照三个条件逐一判断即可得出结论。
【解析】
先明确二次函数的判定标准，再逐个分析所给函数：
①$y=1-x^2$：是整式，自变量最高次数为2，二次项系数为$-1≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
②$y=\frac{2}{x^2}$：表达式分母含自变量，属于分式函数，不是整式，因此不是二次函数；
③$y=x(x-3)$：先化简得$y=x^2-3x$，是整式，自变量最高次数为2，二次项系数为$1≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
④$y=ax^2+bx+c$：未注明$a≠0$，若$a=0$时函数最高次数小于2，因此不一定是二次函数；
⑤$y=(m^2+1)x^2$（$m$为常数）：由$m^2≥0$可得$m^2+1≥1≠0$，二次项系数恒不为0，且是整式、自变量最高次数为2，因此一定是二次函数；
⑥$y=-4x^2+(1-2x)^2$：展开化简得$y=-4x^2+1-4x+4x^2=1-4x$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
综上，一定是二次函数的是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判断，解题关键是熟记二次函数的定义，尤其要注意二次项系数不为0的隐含要求，对于结构复杂的函数要先化简再判断，避免因未化简直接判断出现错误。
【难度系数】
0.8
14. 社会热点·全国马拉松锦标赛一切运动的物体都具有动能$E_{\mathrm{k}}$(单位:焦耳),其大小由物体的质量$m$(单位:千克)和运动速度$v$(单位:米/秒)决定,计算公式为$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2$.在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上,若某长跑运动员在匀速跑步,她的质量是60千克,她某时的动能是1 350焦耳,则该运动员此时的跑步速度为
$3\sqrt{5}$
米/秒.(结果保留根号)答案
14.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
题目给出了动能的计算公式，已知动能$E_{\mathrm{k}}$和质量$m$的数值，要求跑步速度$v$，解题时先将已知量代入动能公式，得到关于$v$的一元二次方程，结合速度为正数的实际意义，求解方程并化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：将$E_{\mathrm{k}}=1350$，$m=60$代入公式$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2$，得：
$1350=\frac{1}{2}×60× v^2$
化简得：$1350=30v^2$
两边同时除以30，得：$v^2=45$
因为速度为正数，所以$v=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$（米/秒）
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
公式代入求值；二次根式化简；解一元二次方程
【点评】
本题结合体育热点场景考查基础运算，解题关键是准确代入已知量，注意结果要化简为最简二次根式，同时结合实际意义舍去负根。
【难度系数】
0.8
题目给出了动能的计算公式，已知动能$E_{\mathrm{k}}$和质量$m$的数值，要求跑步速度$v$，解题时先将已知量代入动能公式，得到关于$v$的一元二次方程，结合速度为正数的实际意义，求解方程并化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：将$E_{\mathrm{k}}=1350$，$m=60$代入公式$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2$，得：
$1350=\frac{1}{2}×60× v^2$
化简得：$1350=30v^2$
两边同时除以30，得：$v^2=45$
因为速度为正数，所以$v=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$（米/秒）
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
公式代入求值；二次根式化简；解一元二次方程
【点评】
本题结合体育热点场景考查基础运算，解题关键是准确代入已知量，注意结果要化简为最简二次根式，同时结合实际意义舍去负根。
【难度系数】
0.8
15. 如图,一面圆形的镜子,其周边镶有宽为5 cm的边框.已知镜面的价格是每平方米180元,边框的价格是每平方米100元,则这面镜子的价格y(单位:元)与镜面的半径x(单位:m)之间的函数关系式是
$y=180π x^2+10π x+0.25π$
.(结果保留π)答案
15.$y=180π x^2+10π x+0.25π$
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，将边框宽度的单位cm换算为m；其次明确总价格由镜面费用和边框费用两部分组成：①镜面费用=镜面单价×镜面面积，镜面是半径为x m的圆，按圆面积公式计算即可；②边框是环形，面积等于外圆面积减去镜面面积，外圆半径为镜面半径加边框宽度，边框费用=边框单价×边框面积；最后将两部分费用相加，化简代数式即可得到函数关系式。
【解析】
首先进行单位换算：$5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$。
1. 计算镜面的费用：
镜面是半径为$x\ \mathrm{m}$的圆，面积$S_{\mathrm{镜}}=π x^2\ \mathrm{m}^2$，
镜面费用为$180× π x^2=180π x^2$元。
2. 计算边框的费用：
边框所在外圆的半径为$(x+0.05)\ \mathrm{m}$，边框为环形，面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{边}}&=π(x+0.05)^2 - π x^2\\&=π(x^2+0.1x+0.0025) - π x^2\\&=0.1π x + 0.0025π\ \mathrm{m}^2\end{aligned}$
边框费用为$100×(0.1π x + 0.0025π)=10π x + 0.25π$元。
3. 总价格为两部分费用之和：
$y=180π x^2 + 10π x + 0.25π$
【答案】
$y=180π x^2+10π x+0.25π$
【知识点】
二次函数实际应用，圆环面积计算，代数式化简
【点评】
本题结合生活场景考查函数关系式的列写，解题关键是理清总费用的组成部分，注意计算前统一单位，环形面积计算时不要混淆内外圆半径，化简代数式时注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要统一单位，将边框宽度的单位cm换算为m；其次明确总价格由镜面费用和边框费用两部分组成：①镜面费用=镜面单价×镜面面积，镜面是半径为x m的圆，按圆面积公式计算即可；②边框是环形，面积等于外圆面积减去镜面面积，外圆半径为镜面半径加边框宽度，边框费用=边框单价×边框面积；最后将两部分费用相加，化简代数式即可得到函数关系式。
【解析】
首先进行单位换算：$5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$。
1. 计算镜面的费用：
镜面是半径为$x\ \mathrm{m}$的圆，面积$S_{\mathrm{镜}}=π x^2\ \mathrm{m}^2$，
镜面费用为$180× π x^2=180π x^2$元。
2. 计算边框的费用：
边框所在外圆的半径为$(x+0.05)\ \mathrm{m}$，边框为环形，面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{边}}&=π(x+0.05)^2 - π x^2\\&=π(x^2+0.1x+0.0025) - π x^2\\&=0.1π x + 0.0025π\ \mathrm{m}^2\end{aligned}$
边框费用为$100×(0.1π x + 0.0025π)=10π x + 0.25π$元。
3. 总价格为两部分费用之和：
$y=180π x^2 + 10π x + 0.25π$
【答案】
$y=180π x^2+10π x+0.25π$
【知识点】
二次函数实际应用，圆环面积计算，代数式化简
【点评】
本题结合生活场景考查函数关系式的列写，解题关键是理清总费用的组成部分，注意计算前统一单位，环形面积计算时不要混淆内外圆半径，化简代数式时注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
16. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形垂直于地面的一边长为2.5 m.
(1)求隧道截面的面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)与上部半圆的半径$r$(单位:$\mathrm{m}$)之间的函数关系式.
(2)当上部半圆的半径为2 m时，截面面积是多少(结果保留$π$)?
(1)求隧道截面的面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)与上部半圆的半径$r$(单位:$\mathrm{m}$)之间的函数关系式.
(2)当上部半圆的半径为2 m时，截面面积是多少(结果保留$π$)?
答案
16.解:(1)
∵上部半圆的半径为$r$ m,
∴矩形的另一边长为$2r$ m.
∴隧道截面的面积$S=S_{半圆}+S_{矩形}=\frac{1}{2}π r^2+2r· 2.5=\frac{1}{2}π r^2+5r$.
∴$S$与$r$之间的函数关系式为$S=\frac{1}{2}π r^2+5r$.
(2)当$r=2$时,$S=\frac{1}{2}π×2^2+5×2=2π+10$.答:当上部半圆的半径为2 m时,截面面积是$(2π+10)\mathrm{m}^2$。
∵上部半圆的半径为$r$ m,
∴矩形的另一边长为$2r$ m.
∴隧道截面的面积$S=S_{半圆}+S_{矩形}=\frac{1}{2}π r^2+2r· 2.5=\frac{1}{2}π r^2+5r$.
∴$S$与$r$之间的函数关系式为$S=\frac{1}{2}π r^2+5r$.
(2)当$r=2$时,$S=\frac{1}{2}π×2^2+5×2=2π+10$.答:当上部半圆的半径为2 m时,截面面积是$(2π+10)\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 隧道截面由上部半圆和下部矩形组成，求总面积只需将两部分面积相加。首先根据半圆半径r可得半圆直径为2r，即下部矩形的长，矩形的宽已知为2.5m，分别计算半圆面积、矩形面积后求和，即可得到S与r的函数关系式。
(2) 求r=2时的截面面积，只需将r=2代入第一问得到的函数关系式中，按运算规则计算，注意结果保留π即可。
【解析】
(1)
∵上部半圆的半径为r m，
∴矩形的长等于半圆的直径，为2r m，
隧道截面的面积 = 半圆面积 + 矩形面积，
即$S=\frac{1}{2}π r^2 + 2r×2.5=\frac{1}{2}π r^2 +5r$，
∴S与r之间的函数关系式为$S=\frac{1}{2}π r^2 +5r$。
(2) 当r=2时，将其代入上述函数式得：
$S=\frac{1}{2}π×2^2 +5×2=2π +10$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}π r^2 +5r$
(2) $(2π+10)\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，组合图形面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的隧道截面场景考查基础的面积计算与函数关系式建立，解题的关键是明确半圆半径和矩形边长的对应关系，计算时注意按要求保留π，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
(1) 隧道截面由上部半圆和下部矩形组成，求总面积只需将两部分面积相加。首先根据半圆半径r可得半圆直径为2r，即下部矩形的长，矩形的宽已知为2.5m，分别计算半圆面积、矩形面积后求和，即可得到S与r的函数关系式。
(2) 求r=2时的截面面积，只需将r=2代入第一问得到的函数关系式中，按运算规则计算，注意结果保留π即可。
【解析】
(1)
∵上部半圆的半径为r m，
∴矩形的长等于半圆的直径，为2r m，
隧道截面的面积 = 半圆面积 + 矩形面积，
即$S=\frac{1}{2}π r^2 + 2r×2.5=\frac{1}{2}π r^2 +5r$，
∴S与r之间的函数关系式为$S=\frac{1}{2}π r^2 +5r$。
(2) 当r=2时，将其代入上述函数式得：
$S=\frac{1}{2}π×2^2 +5×2=2π +10$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}π r^2 +5r$
(2) $(2π+10)\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，组合图形面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的隧道截面场景考查基础的面积计算与函数关系式建立，解题的关键是明确半圆半径和矩形边长的对应关系，计算时注意按要求保留π，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
17.(教材习题变式)如图,钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动,且钢球滚动的速度每秒增加1.5 m/s.
(1)求钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动的距离$l$(单位:m)与滚动的时间$t$(单位:s)之间的函数关系式.(提示:本题中,距离$l=$平均速度$\bar{v} ×$时间$t$, $\bar{v}=\frac{v_0 + v_t}{2}$,其中,$v_0$是开始时的速度,$v_t$是运动$t$ s时的速度)
(2)如果斜面的长是3 m,那么钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动到底端要用多长时间?
(1)求钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动的距离$l$(单位:m)与滚动的时间$t$(单位:s)之间的函数关系式.(提示:本题中,距离$l=$平均速度$\bar{v} ×$时间$t$, $\bar{v}=\frac{v_0 + v_t}{2}$,其中,$v_0$是开始时的速度,$v_t$是运动$t$ s时的速度)
(2)如果斜面的长是3 m,那么钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动到底端要用多长时间?
答案
17.解:(1)由题意,得$v_0=0$,$v_t=1.5t$,$\therefore \bar{v}=\frac{v_0 + v_t}{2}=\frac{1.5t}{2}=\frac{3t}{4}$. $\therefore l=\bar{v}t=\frac{v_0 + v_t}{2} · t=\frac{3t}{4} · t=\frac{3}{4}t^2$,即$l=\frac{3}{4}t^2$.
(2)把$l=3$代入$l=\frac{3}{4}t^2$,得$3=\frac{3}{4}t^2$,解得$t=2$或$t=-2$(不符合题意,舍去).
∴钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动到底端要用2 s。
(2)把$l=3$代入$l=\frac{3}{4}t^2$,得$3=\frac{3}{4}t^2$,解得$t=2$或$t=-2$(不符合题意,舍去).
∴钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面向下滚动到底端要用2 s。
解析
【分析】
(1) 要推导距离$l$和时间$t$的函数关系式，首先根据题目给出的速度变化规律，确定初速度$v_0$和$t$秒时的末速度$v_t$，再利用题目给出的平均速度公式算出平均速度$\bar{v}$，最后根据“距离=平均速度×时间”即可得到$l$与$t$的关系式，注意时间$t$的取值为非负数。
(2) 已知斜面长度即$l=3\mathrm{m}$，将其代入第一问得到的函数关系式中，得到关于$t$的一元二次方程，求解方程后，结合时间$t$为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，就能得到滚动到底端的时间。
【解析】
解：(1) 由题意可知，钢球初始速度$v_0=0$，滚动$t$秒时的速度$v_t=1.5t$。
根据平均速度公式$\bar{v}=\frac{v_0 + v_t}{2}$，可得平均速度：
$\bar{v}=\frac{0 + 1.5t}{2}=\frac{3t}{4}$
再根据距离公式$l=\bar{v} · t$，代入得：
$l=\frac{3t}{4} · t=\frac{3}{4}t^2\ (t≥0)$
(2) 已知斜面长$l=3\mathrm{m}$，将$l=3$代入$l=\frac{3}{4}t^2$，得：
$3=\frac{3}{4}t^2$
方程两边同时乘$\frac{4}{3}$，得$t^2=4$，解得$t=2$或$t=-2$。
因为时间$t$不能为负数，所以$t=-2$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $l=\frac{3}{4}t^2\ (t≥0)$
(2) $2\ \mathrm{s}$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 解一元二次方程
3. 平均速度计算
【点评】
本题结合匀加速直线运动的情境考查二次函数的应用，解题关键是正确运用题目给出的公式推导函数关系式，求解后要注意结合实际问题的意义对解进行取舍，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导距离$l$和时间$t$的函数关系式，首先根据题目给出的速度变化规律，确定初速度$v_0$和$t$秒时的末速度$v_t$，再利用题目给出的平均速度公式算出平均速度$\bar{v}$，最后根据“距离=平均速度×时间”即可得到$l$与$t$的关系式，注意时间$t$的取值为非负数。
(2) 已知斜面长度即$l=3\mathrm{m}$，将其代入第一问得到的函数关系式中，得到关于$t$的一元二次方程，求解方程后，结合时间$t$为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，就能得到滚动到底端的时间。
【解析】
解：(1) 由题意可知，钢球初始速度$v_0=0$，滚动$t$秒时的速度$v_t=1.5t$。
根据平均速度公式$\bar{v}=\frac{v_0 + v_t}{2}$，可得平均速度：
$\bar{v}=\frac{0 + 1.5t}{2}=\frac{3t}{4}$
再根据距离公式$l=\bar{v} · t$，代入得：
$l=\frac{3t}{4} · t=\frac{3}{4}t^2\ (t≥0)$
(2) 已知斜面长$l=3\mathrm{m}$，将$l=3$代入$l=\frac{3}{4}t^2$，得：
$3=\frac{3}{4}t^2$
方程两边同时乘$\frac{4}{3}$，得$t^2=4$，解得$t=2$或$t=-2$。
因为时间$t$不能为负数，所以$t=-2$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $l=\frac{3}{4}t^2\ (t≥0)$
(2) $2\ \mathrm{s}$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 解一元二次方程
3. 平均速度计算
【点评】
本题结合匀加速直线运动的情境考查二次函数的应用，解题关键是正确运用题目给出的公式推导函数关系式，求解后要注意结合实际问题的意义对解进行取舍，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
