1. 已知$∠ AOB = 50°$，过点$O$在$∠ AOB$内部作射线$OC$，$OM$平分$∠ AOC$。
如果$3∠ AOC = 2∠ BOC$，那么$∠ BOM =$。

1. 40°

【分析】
首先根据角的和差关系，可知∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 50°，结合题目给出的3∠AOC = 2∠BOC的倍数关系，可先求出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义，计算出OM平分∠AOC得到的∠AOM的度数；最后用∠AOB的度数减去∠AOM的度数，即可求出∠BOM的大小。
【解析】
解：
∵ OC在∠AOB内部
∴ ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 50°
又
∵ 3∠AOC = 2∠BOC
∴ ∠BOC = $\frac{3}{2}$∠AOC
将其代入∠AOC + ∠BOC = 50°得：
∠AOC + $\frac{3}{2}$∠AOC = 50°
$\frac{5}{2}$∠AOC = 50°
解得 ∠AOC = 20°
∵ OM平分∠AOC
∴ ∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×20° = 10°
∴ ∠BOM = ∠AOB - ∠AOM = 50° - 10° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是梳理清楚各个角之间的和差、倍数关系，结合角平分线的性质逐步计算即可，掌握基础的角的运算规则是解题的前提。
【难度系数】
0.8

2. 已知$∠ AOD=120°$，射线$OB$，$OC$均为$∠ AOD$内的射线.
(1)如图1，若$OB$，$OC$为$∠ AOD$的三等分线，则$∠ BOD=$.
(2)如图2，若$∠ BOC=60°$，$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOD$，求$∠ MON$的大小.
(3)在(1)的条件下，射线$OB$以每秒$10°$的速度沿顺时针方向旋转，射线$OC$以每秒$8°$的速度沿顺时针方向旋转，射线$OM$始终平分$∠ AOC$，两条射线同时从图①的位置出发，当$OB$到达$OA$反向延长线的位置时两条射线同时停止运动. 设运动的时间为$t$ s，求当$t$为何值时，$∠ AOB - ∠ DOM=20°$.

2. (1)80° (2)设$∠BOA=x°$，则$∠COD=(60−x)°$，$∠COA=(60+x)°$，$∠BOD=(120−x)°$. 因为OM平分$∠AOC$，ON平分$∠BOD$，所以$∠COM=\frac{1}{2}∠COA=(30+\frac{1}{2}x)°$，$∠DON=\frac{1}{2}∠BOD=(60−\frac{1}{2}x)°$. 所以$∠CON=∠DON−∠COD=(\frac{1}{2}x)°$，所以$∠MON=∠COM−∠CON=30+\frac{1}{2}x−\frac{1}{2}x=30$. (3)如图1，当$0≤t≤5$时，$∠AOB=(40+10t)°$，$∠AOC=(80+8t)°$，$∠COD=(40−8t)°$. 因为射线OM平分$∠AOC$，所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=(40+4t)°$，$∠DOM=∠COM+∠COD=(80−4t)°$，所以$∠AOB−∠DOM=40+10t−80+4t=20$，解得$t=\frac{30}{7}$；如图2，当$5＜t≤\frac{25}{2}$时，$∠AOB=(40+10t)°$，$∠AOC=(80+8t)°$，$∠COD=(8t−40)°$. 因为射线OM平分$∠AOC$，所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=(40+4t)°$，$∠DOM=∠COM−∠COD=(80−4t)°$，所以$∠AOB−∠DOM=40+10t−80+4t=20$，解得$t=\frac{30}{7}$(舍去)；如图3，当$\frac{25}{2}＜t≤14$时，$∠AOB=(40+10t)°$，$∠AOC=(280−8t)°$，$∠COD=(8t−40)°$. 因为射线OM平分$∠AOC$，所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=(140−4t)°$，$∠DOM=∠COM+∠COD=(100+4t)°$，所以$∠AOB−∠DOM=40+10t−100−4t=20$，解得$t=\frac{40}{3}$. 综上，$t=\frac{30}{7}$或$\frac{40}{3}$.

【分析】
(1) 已知∠AOD=120°，OB、OC是它的三等分线，先求出每个三等分角的度数为120°÷3=40°，∠BOD包含2个三等分角，求和即可得到结果。
(2) 要求∠MON的度数，先设∠BOA为x°，用含x的式子表示出∠AOC、∠BOD的度数，再根据角平分线的性质分别表示出∠COM和∠DON，最后通过角的和差关系推导∠MON，消去x即可得到定值。
(3) 属于动态角问题，首先确定运动总时长：OB初始与OA夹角为40°，顺时针转到OA反向延长线共需转140°，速度为10°/s，故总时长为14s。再根据射线OC的位置变化分三种情况讨论：①OC在∠AOD内部（0≤t≤5）；②OC在OD外侧且∠AOC为劣角（5＜t≤25/2）；③∠AOC为优角（25/2＜t≤14）。每种情况分别用含t的式子表示出∠AOB、∠DOM，代入等式列方程求解，舍去不符合区间的解即可。
【解析】
(1) 因为OB、OC是∠AOD的三等分线，所以$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=120°÷3=40°$，因此$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=40°+40°=80°$。
(2) 设$∠ BOA=x°$，由$∠ AOD=120°$，$∠ BOC=60°$可得：
$∠ COD=∠ AOD-∠ AOB-∠ BOC=120°-x°-60°=(60-x)°$，
$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=(x+60)°$，
$∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB=(120-x)°$。
因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(x+60)°=(30+\frac{1}{2}x)°$；
因为ON平分$∠ BOD$，所以$∠ DON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(120-x)°=(60-\frac{1}{2}x)°$；
则$∠ CON=∠ DON - ∠ COD=(60-\frac{1}{2}x)° - (60-x)°=(\frac{1}{2}x)°$；
因此$∠ MON=∠ COM - ∠ CON=(30+\frac{1}{2}x)° - (\frac{1}{2}x)°=30°$。
(3) 首先确定运动时间范围：OB初始位置与OA夹角为40°，顺时针旋转到OA反向延长线时，共旋转了$180°-40°=140°$，旋转速度为10°/s，故$t≤140÷10=14\ \mathrm{s}$。
分三种情况讨论：
①当$0≤ t≤5$时（初始$∠ COD=40°$，OC转速8°/s，$40÷8=5\ \mathrm{s}$，此时OC还未转过OD）：
$∠ AOB=(40+10t)°$，$∠ AOC=(80+8t)°$，$∠ COD=(40-8t)°$；
因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=(40+4t)°$；
$∠ DOM=∠ COM + ∠ COD=(40+4t)°+(40-8t)°=(80-4t)°$；
代入$∠ AOB - ∠ DOM=20°$得：$40+10t - (80-4t)=20$，解得$t=\frac{30}{7}$，符合$0≤ t≤5$的范围。
②当$5＜t≤\frac{25}{2}$时：
$∠ AOB=(40+10t)°$，$∠ AOC=(80+8t)°$，$∠ COD=(8t-40)°$；
OM平分$∠ AOC$，故$∠ COM=(40+4t)°$；
$∠ DOM=∠ COM - ∠ COD=(40+4t)°-(8t-40)°=(80-4t)°$；
代入等式得：$40+10t - (80-4t)=20$，解得$t=\frac{30}{7}\approx4.29$，不在$5＜t≤12.5$的范围内，舍去。
③当$\frac{25}{2}＜t≤14$时：
此时$∠ AOC$为大于180°的角，故$∠ AOC=360°-(80+8t)°=(280-8t)°$，$∠ COD=(8t-40)°$；
OM平分$∠ AOC$，故$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=(140-4t)°$；
$∠ DOM=∠ COM + ∠ COD=(140-4t)°+(8t-40)°=(100+4t)°$；
代入等式得：$40+10t - (100+4t)=20$，解得$t=\frac{40}{3}\approx13.33$，符合$\frac{25}{2}＜t≤14$的范围。
综上，$t$的值为$\frac{30}{7}$或$\frac{40}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$
(2) $\boldsymbol{30°}$
(3) $\boldsymbol{t=\dfrac{30}{7}}$或$\boldsymbol{t=\dfrac{40}{3}}$

【知识点】
角的等分计算，角平分线的定义，动态角度求解
【点评】
本题综合考查了角的和差运算、角平分线的性质，以及动态几何问题的分类讨论思想，解题时要注意结合运动过程判断角的位置关系，避免漏解，同时求解后要验证结果是否符合对应区间的取值要求。
【难度系数】
0.4