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10. [教材P158练习第2题改编]下列角度:①$15°$,②$65°$,③$75°$,④$115°$,⑤$135°$,其中可以用一副三角板拼出来的是 （
A.②④⑤
B.①②④
C.①③⑤
D.①③④
C
）A.②④⑤
B.①②④
C.①③⑤
D.①③④
答案
10.C
解析
【分析】
要判断哪些角度可以用一副三角板拼出来，首先要明确一副三角板包含的角度分别为30°、45°、60°、90°，能拼出的角度都是这几个角度的和或者差，接下来我们逐个验证给出的角度是否符合这一规律即可。
【解析】
一副三角板的角的度数分别为：30°、45°、60°、90°，我们逐一分析各角度：
①$15°$：$45°-30°=15°$，可以拼出；
②$65°$：无法通过上述角度的和或差得到，不能拼出；
③$75°$：$30°+45°=75°$，可以拼出；
④$115°$：无法通过上述角度的和或差得到，不能拼出；
⑤$135°$：$90°+45°=135°$，可以拼出。
因此可以拼出的是①③⑤，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角板的角度特征；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，考查用三角板拼角的相关知识，解题核心是熟记三角板的各个角度，通过角的和差运算快速判断符合要求的角度。
【难度系数】
0.8
要判断哪些角度可以用一副三角板拼出来，首先要明确一副三角板包含的角度分别为30°、45°、60°、90°，能拼出的角度都是这几个角度的和或者差，接下来我们逐个验证给出的角度是否符合这一规律即可。
【解析】
一副三角板的角的度数分别为：30°、45°、60°、90°，我们逐一分析各角度：
①$15°$：$45°-30°=15°$，可以拼出；
②$65°$：无法通过上述角度的和或差得到，不能拼出；
③$75°$：$30°+45°=75°$，可以拼出；
④$115°$：无法通过上述角度的和或差得到，不能拼出；
⑤$135°$：$90°+45°=135°$，可以拼出。
因此可以拼出的是①③⑤，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角板的角度特征；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，考查用三角板拼角的相关知识，解题核心是熟记三角板的各个角度，通过角的和差运算快速判断符合要求的角度。
【难度系数】
0.8
11.如图，点A，O，B在同一条直线上，$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC$，OE平分$∠ BOD$.若$∠ COD=10°$，则$∠ COE$的度数为 （
A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
A
）A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时首先结合已知的∠COD与∠AOC的数量关系求出∠AOC的度数，再结合平角为180°的性质求出∠BOD的度数，利用角平分线的定义得到∠DOE的度数，最后通过角的和差关系计算出∠COE的度数即可。
【解析】
解：
1. 已知$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC$，且$∠ COD=10°$，因此$∠ AOC=3∠ COD=3×10°=30°$。
2. 计算$∠ AOD$的度数：$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=30°+10°=40°$。
3. 因为点A，O，B在同一条直线上，所以$∠ AOB=180°$，因此$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-40°=140°$。
4. 因为OE平分$∠ BOD$，根据角平分线的定义，$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×140°=70°$。
5. 最后计算$∠ COE$：$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=10°+70°=80°$。
【答案】
A
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是梳理清楚图中各角的位置关系与数量关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，能够有效检验学生对角的相关基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的∠COD与∠AOC的数量关系求出∠AOC的度数，再结合平角为180°的性质求出∠BOD的度数，利用角平分线的定义得到∠DOE的度数，最后通过角的和差关系计算出∠COE的度数即可。
【解析】
解：
1. 已知$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC$，且$∠ COD=10°$，因此$∠ AOC=3∠ COD=3×10°=30°$。
2. 计算$∠ AOD$的度数：$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=30°+10°=40°$。
3. 因为点A，O，B在同一条直线上，所以$∠ AOB=180°$，因此$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-40°=140°$。
4. 因为OE平分$∠ BOD$，根据角平分线的定义，$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×140°=70°$。
5. 最后计算$∠ COE$：$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=10°+70°=80°$。
【答案】
A
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是梳理清楚图中各角的位置关系与数量关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，能够有效检验学生对角的相关基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
12. 将一张长方形纸片ABCD按如图所示折叠，OE和OF为折痕，点B落在点B'处，点C落在点C'处。若∠BOE=35°，∠C'OF=30°，则∠B'OC'的度数为
50°
。答案
12.50°
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质，可得折叠前后对应角相等，即∠B'OE=∠BOE，∠COF=∠C'OF；再根据点B、O、C在同一直线上，可知∠BOC为180°的平角；最后用平角的度数减去两个∠BOE的度数、两个∠C'OF的度数，即可求出∠B'OC'的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
$∠ B'OE = ∠ BOE = 35°$，$∠ COF = ∠ C'OF = 30°$
∵ 点B、O、C共线，
∴ $∠ BOC = 180°$
∴ $∠ B'OC' = 180° - ∠ BOE - ∠ B'OE - ∠ COF - ∠ C'OF$
$= 180° - 35° - 35° - 30° - 30°$
$= 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，核心考查折叠变换中角的等量关系，结合平角的性质即可求解，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合折叠的性质，可得折叠前后对应角相等，即∠B'OE=∠BOE，∠COF=∠C'OF；再根据点B、O、C在同一直线上，可知∠BOC为180°的平角；最后用平角的度数减去两个∠BOE的度数、两个∠C'OF的度数，即可求出∠B'OC'的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：
$∠ B'OE = ∠ BOE = 35°$，$∠ COF = ∠ C'OF = 30°$
∵ 点B、O、C共线，
∴ $∠ BOC = 180°$
∴ $∠ B'OC' = 180° - ∠ BOE - ∠ B'OE - ∠ COF - ∠ C'OF$
$= 180° - 35° - 35° - 30° - 30°$
$= 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，核心考查折叠变换中角的等量关系，结合平角的性质即可求解，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13. 已知$∠ AOB=60°$,射线$OC$平分$∠ AOB$,以$OC$为一边作$∠ COP=15°$,则$∠ BOP$的度数为________.
答案
13.15°或45°
解析
【分析】
解决本题首先需要利用角平分线的定义求出∠BOC的度数，由于题目没有明确射线OP的位置，因此需要分两种情况讨论：①OP在∠BOC内部；②OP在∠AOC内部，再结合角的和差关系分别计算∠BOP的度数即可。
【解析】
解：
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
分两种情况讨论：
①当OP在∠BOC内部时，
$∠ BOP=∠ BOC-∠ COP=30°-15°=15°$；
②当OP在∠AOC内部时，
$∠ BOP=∠ BOC+∠ COP=30°+15°=45°$。
综上，∠BOP的度数为15°或45°。
【答案】
15°或45°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是考虑到射线OP位置的不确定性，避免因只考虑一种情况导致漏解，需熟练掌握角平分线的性质以及角的和差运算方法。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要利用角平分线的定义求出∠BOC的度数，由于题目没有明确射线OP的位置，因此需要分两种情况讨论：①OP在∠BOC内部；②OP在∠AOC内部，再结合角的和差关系分别计算∠BOP的度数即可。
【解析】
解：
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
分两种情况讨论：
①当OP在∠BOC内部时，
$∠ BOP=∠ BOC-∠ COP=30°-15°=15°$；
②当OP在∠AOC内部时，
$∠ BOP=∠ BOC+∠ COP=30°+15°=45°$。
综上，∠BOP的度数为15°或45°。
【答案】
15°或45°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是考虑到射线OP位置的不确定性，避免因只考虑一种情况导致漏解，需熟练掌握角平分线的性质以及角的和差运算方法。
【难度系数】
0.6
14.如图，A，O，B三点在同一条直线上，OC平分$∠ AOD$，OE在$∠ BOD$内，$∠ BOD = 3∠ DOE$，且$∠ COE=72°$，求$∠ DOE$的度数.
答案
14.∠DOE=36°.
解析
【分析】
首先由A、O、B共线可得∠AOB为180°平角，本题存在明确的角的倍数关系和固定角的度数，适合采用设未知数列方程的方法求解：第一步设∠DOE度数为x，根据∠BOD=3∠DOE表示出∠BOD，再结合平角定义表示出∠AOD；第二步根据OC平分∠AOD，用含x的式子表示出∠COD；第三步结合∠COE=∠COD+∠DOE=72°的等量关系列方程，解方程即可得到∠DOE的度数。
【解析】
设∠DOE的度数为$ x $。
1. 根据$ ∠BOD = 3∠DOE $，可得$ ∠BOD=3x $；
2. 因为A、O、B三点共线，$ ∠AOB=180° $，所以$ ∠AOD=180° - ∠BOD=180° - 3x $；
3. 因为OC平分$ ∠AOD $，根据角平分线的定义，可得$ ∠COD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}(180° - 3x)=90° - 1.5x $；
4. 已知$ ∠COE=72° $，且$ ∠COE=∠COD + ∠DOE $，代入得：
$ 90° - 1.5x + x = 72° $
化简得：$ 90° - 0.5x =72° $
解得：$ 0.5x=18° $，$ x=36° $。
【答案】
$ ∠DOE=36° $
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础应用题型，核心是理清图中各角的数量关系，通过设未知数建立方程求解，是方程思想在几何计算中的典型应用，掌握角的相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先由A、O、B共线可得∠AOB为180°平角，本题存在明确的角的倍数关系和固定角的度数，适合采用设未知数列方程的方法求解：第一步设∠DOE度数为x，根据∠BOD=3∠DOE表示出∠BOD，再结合平角定义表示出∠AOD；第二步根据OC平分∠AOD，用含x的式子表示出∠COD；第三步结合∠COE=∠COD+∠DOE=72°的等量关系列方程，解方程即可得到∠DOE的度数。
【解析】
设∠DOE的度数为$ x $。
1. 根据$ ∠BOD = 3∠DOE $，可得$ ∠BOD=3x $；
2. 因为A、O、B三点共线，$ ∠AOB=180° $，所以$ ∠AOD=180° - ∠BOD=180° - 3x $；
3. 因为OC平分$ ∠AOD $，根据角平分线的定义，可得$ ∠COD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}(180° - 3x)=90° - 1.5x $；
4. 已知$ ∠COE=72° $，且$ ∠COE=∠COD + ∠DOE $，代入得：
$ 90° - 1.5x + x = 72° $
化简得：$ 90° - 0.5x =72° $
解得：$ 0.5x=18° $，$ x=36° $。
【答案】
$ ∠DOE=36° $
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础应用题型，核心是理清图中各角的数量关系，通过设未知数建立方程求解，是方程思想在几何计算中的典型应用，掌握角的相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
15. [新课标—综合与实践题]已知∠AOB=150°,三角形纸板COD(∠COD=60°)可以绕点O在∠AOB内任意旋转,且始终保持OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.
(1)如图1,当OC与OB重合时,求∠MON的度数.
(2)如图2,当三角形纸板COD绕点O在∠AOB内旋转时,请判断∠MON的大小是否会随∠COD的位置的变化而发生改变,并说明理由.
(3)在三角形纸板COD旋转的过程中,当∠DOM=$\frac{1}{5}$∠MON时,请直接写出∠AOD的度数.
备用图
(1)如图1,当OC与OB重合时,求∠MON的度数.
(2)如图2,当三角形纸板COD绕点O在∠AOB内旋转时,请判断∠MON的大小是否会随∠COD的位置的变化而发生改变,并说明理由.
(3)在三角形纸板COD旋转的过程中,当∠DOM=$\frac{1}{5}$∠MON时,请直接写出∠AOD的度数.
备用图
答案
15.(1)∠MON=45°.
(2)∠MON 的大小不会随∠COD 的位置的变化而发生改变.理由如下：
因为 OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠BOC)=75°−$\frac{1}{2}$∠BOC.
因为 ON 平分∠BOD，
所以∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠COD)=$\frac{1}{2}$∠BOC+30°,
所以∠MON = ∠AOB − ∠AOM − ∠BON = 150° − $(75°-\frac{1}{2}∠BOC)-(\frac{1}{2}∠BOC+30°)=45°$.
(3)∠AOD 的度数为 78°或 42°.
(2)∠MON 的大小不会随∠COD 的位置的变化而发生改变.理由如下：
因为 OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠BOC)=75°−$\frac{1}{2}$∠BOC.
因为 ON 平分∠BOD，
所以∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠COD)=$\frac{1}{2}$∠BOC+30°,
所以∠MON = ∠AOB − ∠AOM − ∠BON = 150° − $(75°-\frac{1}{2}∠BOC)-(\frac{1}{2}∠BOC+30°)=45°$.
(3)∠AOD 的度数为 78°或 42°.
解析
【分析】
(1) 当OC与OB重合时，先确定此时∠AOC=∠AOB=150°，∠BOD=∠COD=60°，再根据角平分线的定义分别求出∠MOC和∠NOC的度数，最后利用角的差的关系计算∠MON即可。
(2) 判断∠MON是否变化，只需将其用固定角∠AOB、∠COD表示，消去随旋转变化的角即可。先根据角平分线性质分别表示出∠AOM和∠BON，再代入∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON化简，若结果为定值则角度不变。
(3) 先由∠MON=45°求出∠DOM=9°，再分两种情况讨论：OM在∠COD内部、OM在∠COD外部，结合角平分线性质和角的和差关系分别计算∠AOD，避免漏解。
【解析】
(1) 当OC与OB重合时：
∵ ∠AOB=150°，
∴ ∠AOC=∠AOB=150°
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°
∵ ∠COD=60°，ON平分∠BOD（此时∠BOD=∠COD）
∴ ∠NOC=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴ ∠MON=∠MOC - ∠NOC=75° - 30°=45°
(2) ∠MON的大小不会随∠COD的位置变化而改变，理由如下：
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB - ∠BOC)=75° - $\frac{1}{2}$∠BOC
∵ ON平分∠BOD，
∴ ∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠BOC + ∠COD)=$\frac{1}{2}$∠BOC + 30°
∴ ∠MON=∠AOB - ∠AOM - ∠BON
=150° - (75° - $\frac{1}{2}$∠BOC) - ($\frac{1}{2}$∠BOC + 30°)
=150° - 75° + $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠BOC - 30°
=45°
故∠MON恒为45°，大小不变。
(3) 由(2)可知∠MON=45°，
∴ ∠DOM=$\frac{1}{5}$×45°=9°，分两种情况：
① 当OM在∠COD内部时，∠COM=∠COD - ∠DOM=60° - 9°=51°
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=∠COM=51°
∴ ∠AOD=∠AOM - ∠DOM=51° - 9°=42°
② 当OM在∠COD外部时，∠COM=∠COD + ∠DOM=60° + 9°=69°
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=∠COM=69°
∴ ∠AOD=∠AOM + ∠DOM=69° + 9°=78°
综上，∠AOD的度数为42°或78°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；
(2) 不会发生改变，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{42°}$或$\boldsymbol{78°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合角的旋转场景考查角的运算，核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，第二问通过消元证明角度定值的思路是动态角问题的常用方法，第三问需注意考虑射线的不同位置关系，避免漏解，能有效提升角的运算能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 当OC与OB重合时，先确定此时∠AOC=∠AOB=150°，∠BOD=∠COD=60°，再根据角平分线的定义分别求出∠MOC和∠NOC的度数，最后利用角的差的关系计算∠MON即可。
(2) 判断∠MON是否变化，只需将其用固定角∠AOB、∠COD表示，消去随旋转变化的角即可。先根据角平分线性质分别表示出∠AOM和∠BON，再代入∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON化简，若结果为定值则角度不变。
(3) 先由∠MON=45°求出∠DOM=9°，再分两种情况讨论：OM在∠COD内部、OM在∠COD外部，结合角平分线性质和角的和差关系分别计算∠AOD，避免漏解。
【解析】
(1) 当OC与OB重合时：
∵ ∠AOB=150°，
∴ ∠AOC=∠AOB=150°
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°
∵ ∠COD=60°，ON平分∠BOD（此时∠BOD=∠COD）
∴ ∠NOC=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴ ∠MON=∠MOC - ∠NOC=75° - 30°=45°
(2) ∠MON的大小不会随∠COD的位置变化而改变，理由如下：
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB - ∠BOC)=75° - $\frac{1}{2}$∠BOC
∵ ON平分∠BOD，
∴ ∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠BOC + ∠COD)=$\frac{1}{2}$∠BOC + 30°
∴ ∠MON=∠AOB - ∠AOM - ∠BON
=150° - (75° - $\frac{1}{2}$∠BOC) - ($\frac{1}{2}$∠BOC + 30°)
=150° - 75° + $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠BOC - 30°
=45°
故∠MON恒为45°，大小不变。
(3) 由(2)可知∠MON=45°，
∴ ∠DOM=$\frac{1}{5}$×45°=9°，分两种情况：
① 当OM在∠COD内部时，∠COM=∠COD - ∠DOM=60° - 9°=51°
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=∠COM=51°
∴ ∠AOD=∠AOM - ∠DOM=51° - 9°=42°
② 当OM在∠COD外部时，∠COM=∠COD + ∠DOM=60° + 9°=69°
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=∠COM=69°
∴ ∠AOD=∠AOM + ∠DOM=69° + 9°=78°
综上，∠AOD的度数为42°或78°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；
(2) 不会发生改变，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{42°}$或$\boldsymbol{78°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合角的旋转场景考查角的运算，核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，第二问通过消元证明角度定值的思路是动态角问题的常用方法，第三问需注意考虑射线的不同位置关系，避免漏解，能有效提升角的运算能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6
