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8. 能力训练点·批判性思维 在解方程$3x^2 +12x -7=0$时，将方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，下面说法正确的是（
A.两人都正确
B.甲正确，乙不正确
C.甲不正确，乙正确
D.两人都不正确
A
）A.两人都正确
B.甲正确，乙不正确
C.甲不正确，乙正确
D.两人都不正确
答案
8.A
解析
【分析】要判断甲、乙两人的做法是否正确，需结合等式的基本性质和配方法的规则，逐行验证两人的变形过程：配方法的核心是将含未知数的代数式变形为完全平方式，变形过程只要符合等式性质、满足完全平方公式的结构就是正确的，不需要局限于固定的操作顺序。
【解析】我们分别验证两人的解题步骤：
1. 验证甲的做法：
原方程移项得$3x^2+12x=7$，
第一步：等式两边同时乘3，根据等式的性质2，得$9x^2+36x=21$，变形正确；
第二步：等式两边同时加36，左边$9x^2+36x+36=(3x+6)^2$，符合完全平方公式，右边$21+36=57$，即$(3x+6)^2=57$，配方正确，因此甲的做法正确。
2. 验证乙的做法：
原方程移项得$3x^2+12x=7$，
第一步：等式两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2+4x=\frac{7}{3}$，符合等式的性质2，变形正确；
第二步：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，等式两边同时加4，左边$x^2+4x+4=(x+2)^2$，符合完全平方公式，右边$\frac{7}{3}+4=\frac{19}{3}$，即$(x+2)^2=\frac{19}{3}$，配方正确，因此乙的做法正确。
综上，两人的做法都正确。
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】本题考查配方法的灵活应用，配方并不只有“先将二次项系数化为1”这一种路径，可根据式子的特征灵活调整变形方式，只要变形符合规则即可，能够锻炼发散思维和批判性思维。
【难度系数】0.7
【解析】我们分别验证两人的解题步骤：
1. 验证甲的做法：
原方程移项得$3x^2+12x=7$，
第一步：等式两边同时乘3，根据等式的性质2，得$9x^2+36x=21$，变形正确；
第二步：等式两边同时加36，左边$9x^2+36x+36=(3x+6)^2$，符合完全平方公式，右边$21+36=57$，即$(3x+6)^2=57$，配方正确，因此甲的做法正确。
2. 验证乙的做法：
原方程移项得$3x^2+12x=7$，
第一步：等式两边同时除以3，将二次项系数化为1，得$x^2+4x=\frac{7}{3}$，符合等式的性质2，变形正确；
第二步：一次项系数为4，其一半的平方为$2^2=4$，等式两边同时加4，左边$x^2+4x+4=(x+2)^2$，符合完全平方公式，右边$\frac{7}{3}+4=\frac{19}{3}$，即$(x+2)^2=\frac{19}{3}$，配方正确，因此乙的做法正确。
综上，两人的做法都正确。
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】本题考查配方法的灵活应用，配方并不只有“先将二次项系数化为1”这一种路径，可根据式子的特征灵活调整变形方式，只要变形符合规则即可，能够锻炼发散思维和批判性思维。
【难度系数】0.7
9. 整体思想 方程$(x+1)^2 -8(x+1)+17=1$的解为
$x_1=x_2=3$
。答案
9.$x_1=x_2=3$
解析
【分析】
观察方程结构可发现，方程中多次出现$(x+1)$这一整体，结合提示的整体思想，可先将方程右侧的常数项移到左侧，把$(x+1)$看作一个整体进行配方，既能简化计算，又能避免展开原方程带来的运算量，符合配方法解方程的思路。
【解析】
解：先对原方程移项，得：
$(x+1)^2 -8(x+1)+17-1=0$
整理得：
$(x+1)^2 -8(x+1)+16=0$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将左侧配方，此处$a=x+1$，$b=4$，可得：
$[(x+1)-4]^2=0$
化简得：
$(x-3)^2=0$
开方得$x-3=0$，因此方程的解为$x_1=x_2=3$。
【答案】
$x_1=x_2=3$
【知识点】
整体思想、配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解方程的典型应用，重点考查整体代换的数学思想，熟练掌握完全平方公式的结构特征可快速定位解题思路，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.8
观察方程结构可发现，方程中多次出现$(x+1)$这一整体，结合提示的整体思想，可先将方程右侧的常数项移到左侧，把$(x+1)$看作一个整体进行配方，既能简化计算，又能避免展开原方程带来的运算量，符合配方法解方程的思路。
【解析】
解：先对原方程移项，得：
$(x+1)^2 -8(x+1)+17-1=0$
整理得：
$(x+1)^2 -8(x+1)+16=0$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将左侧配方，此处$a=x+1$，$b=4$，可得：
$[(x+1)-4]^2=0$
化简得：
$(x-3)^2=0$
开方得$x-3=0$，因此方程的解为$x_1=x_2=3$。
【答案】
$x_1=x_2=3$
【知识点】
整体思想、配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解方程的典型应用，重点考查整体代换的数学思想，熟练掌握完全平方公式的结构特征可快速定位解题思路，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.8
10.用配方法解下列方程：
(1)$3x^2 + 2x + 1 = 8x - 1$；
(2)$(2x - 1)^2 = x(3x + 2) - 7$。
(1)$3x^2 + 2x + 1 = 8x - 1$；
(2)$(2x - 1)^2 = x(3x + 2) - 7$。
答案
10.解: (1)$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}.$(2)$x_1=2,x_2=4.$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，再通过开平方求解。解题统一按以下步骤操作：①将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$；②把二次项系数化为1；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；⑤开平方求解，两个小题均按此步骤计算即可。
【解析】
(1) 整理并解方程：
移项得$3x^2 + 2x +1 -8x +1=0$，合并同类项得$3x^2 -6x +2=0$
二次项系数化为1：$x^2 -2x + \frac{2}{3}=0$
移项得：$x^2 -2x = -\frac{2}{3}$
配方：两边同时加$(-2÷2)^2=1$，得$x^2 -2x +1 = -\frac{2}{3} +1$
即$(x-1)^2 = \frac{1}{3}$
开平方得：$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 展开整理并解方程：
左边展开得$4x^2 -4x +1$，右边展开得$3x^2 +2x -7$
移项合并同类项：$4x^2 -4x +1 -3x^2 -2x +7=0$，即$x^2 -6x +8=0$
移项得：$x^2 -6x = -8$
配方：两边同时加$(-6÷2)^2=9$，得$x^2 -6x +9 = -8 +9$
即$(x-3)^2=1$
开平方得：$x-3 = \pm1$
解得：$x_1=3-1=2,x_2=3+1=4$
【答案】
(1)$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2)$x_1=2,x_2=4$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式化简运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，需要熟练掌握配方法的操作步骤，特别注意配方时等式两边要同时加相同的数，避免漏加等号右侧的常数，计算过程中要注意符号变化，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，再通过开平方求解。解题统一按以下步骤操作：①将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$；②把二次项系数化为1；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；⑤开平方求解，两个小题均按此步骤计算即可。
【解析】
(1) 整理并解方程：
移项得$3x^2 + 2x +1 -8x +1=0$，合并同类项得$3x^2 -6x +2=0$
二次项系数化为1：$x^2 -2x + \frac{2}{3}=0$
移项得：$x^2 -2x = -\frac{2}{3}$
配方：两边同时加$(-2÷2)^2=1$，得$x^2 -2x +1 = -\frac{2}{3} +1$
即$(x-1)^2 = \frac{1}{3}$
开平方得：$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 展开整理并解方程：
左边展开得$4x^2 -4x +1$，右边展开得$3x^2 +2x -7$
移项合并同类项：$4x^2 -4x +1 -3x^2 -2x +7=0$，即$x^2 -6x +8=0$
移项得：$x^2 -6x = -8$
配方：两边同时加$(-6÷2)^2=9$，得$x^2 -6x +9 = -8 +9$
即$(x-3)^2=1$
开平方得：$x-3 = \pm1$
解得：$x_1=3-1=2,x_2=3+1=4$
【答案】
(1)$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2)$x_1=2,x_2=4$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式化简运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，需要熟练掌握配方法的操作步骤，特别注意配方时等式两边要同时加相同的数，避免漏加等号右侧的常数，计算过程中要注意符号变化，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
11.已知方程$x^2 -10x + m =0$可以通过配方写成$(x -n)^2 =5$的形式，求方程$x^2 +10x + m =5$的根。
答案
11.解: $x_1=-5+\sqrt{10},x_2=-5-\sqrt{10}.$
解析
【分析】
要解决本题，需分两步思考：首先利用已知方程的配方形式求出参数$m$的值，再将$m$代入待求根的方程，用配方法求解即可。第一步先对第一个方程配方，和题目给出的配方形式对比，对应系数相等即可求出$m$；第二步代入$m$后，按照配方法解一元二次方程的常规步骤计算根。
【解析】
1. 求参数$m$的值
对已知方程$x^2 -10x + m =0$移项，得：
$x^2 -10x = -m$
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-10}{2})^2=25$进行配方，得：
$x^2 -10x +25 = 25 - m$，即$(x-5)^2=25 - m$
已知该方程可写成$(x-n)^2=5$的形式，对比可得：
$25 - m =5$，解得$m=20$
2. 求解方程$x^2 +10x + m =5$
将$m=20$代入方程，得：
$x^2 +10x +20 =5$
移项整理得：$x^2 +10x = -15$
给两边同时加$(\frac{10}{2})^2=25$配方，得：
$x^2 +10x +25 = -15 +25$，即$(x+5)^2=10$
两边直接开平方，得：$x+5=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=-5+\sqrt{10}$，$x_2=-5-\sqrt{10}$
【答案】
$x_1=-5+\sqrt{10},x_2=-5-\sqrt{10}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解方程；代数式系数对应
【点评】
本题是配方法应用的典型题型，重点考查学生对配方法步骤的掌握程度，解题关键是先通过已知条件求出参数$m$，再代入目标方程求解，解题逻辑清晰，运算量较小。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分两步思考：首先利用已知方程的配方形式求出参数$m$的值，再将$m$代入待求根的方程，用配方法求解即可。第一步先对第一个方程配方，和题目给出的配方形式对比，对应系数相等即可求出$m$；第二步代入$m$后，按照配方法解一元二次方程的常规步骤计算根。
【解析】
1. 求参数$m$的值
对已知方程$x^2 -10x + m =0$移项，得：
$x^2 -10x = -m$
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-10}{2})^2=25$进行配方，得：
$x^2 -10x +25 = 25 - m$，即$(x-5)^2=25 - m$
已知该方程可写成$(x-n)^2=5$的形式，对比可得：
$25 - m =5$，解得$m=20$
2. 求解方程$x^2 +10x + m =5$
将$m=20$代入方程，得：
$x^2 +10x +20 =5$
移项整理得：$x^2 +10x = -15$
给两边同时加$(\frac{10}{2})^2=25$配方，得：
$x^2 +10x +25 = -15 +25$，即$(x+5)^2=10$
两边直接开平方，得：$x+5=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=-5+\sqrt{10}$，$x_2=-5-\sqrt{10}$
【答案】
$x_1=-5+\sqrt{10},x_2=-5-\sqrt{10}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解方程；代数式系数对应
【点评】
本题是配方法应用的典型题型，重点考查学生对配方法步骤的掌握程度，解题关键是先通过已知条件求出参数$m$，再代入目标方程求解，解题逻辑清晰，运算量较小。
【难度系数】
0.7
1. 当$x=$
$1$
时，代数式$x^2 -2x +6$的值最小，这个最小值是$5$
。答案
1.1;5
解析
【分析】
要求二次代数式$x^2 -2x +6$的最小值，我们可以用配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，结合完全平方式的非负性（任意实数的平方都大于等于0），当完全平方式取0时，整个代数式的值最小，由此就能求出对应的$x$取值和最小数值。
【解析】
对代数式$x^2 -2x +6$进行配方：
$\begin{aligned}x^2 -2x +6&=x^2 -2x +1 +5\\&=(x-1)^2 +5\end{aligned}$
因为对任意实数$x$，都满足$(x-1)^2≥0$，所以当$(x-1)^2=0$时，代数式取得最小值。
此时$x-1=0$，解得$x=1$，代入得代数式最小值为$0+5=5$。
【答案】
1；5
【知识点】
配方法，完全平方式的非负性
【点评】
本题是二次代数式最值求解的基础题型，解题关键是熟练掌握配方法的变形步骤，结合完全平方的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求二次代数式$x^2 -2x +6$的最小值，我们可以用配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，结合完全平方式的非负性（任意实数的平方都大于等于0），当完全平方式取0时，整个代数式的值最小，由此就能求出对应的$x$取值和最小数值。
【解析】
对代数式$x^2 -2x +6$进行配方：
$\begin{aligned}x^2 -2x +6&=x^2 -2x +1 +5\\&=(x-1)^2 +5\end{aligned}$
因为对任意实数$x$，都满足$(x-1)^2≥0$，所以当$(x-1)^2=0$时，代数式取得最小值。
此时$x-1=0$，解得$x=1$，代入得代数式最小值为$0+5=5$。
【答案】
1；5
【知识点】
配方法，完全平方式的非负性
【点评】
本题是二次代数式最值求解的基础题型，解题关键是熟练掌握配方法的变形步骤，结合完全平方的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 利用配方法求$-m^2 + 2m + 4$的最大值.
答案
2.解: $-m^2 + 2m + 4$的最大值是5.
解析
【分析】
本题是求二次三项式的最大值，解题思路如下：首先观察代数式二次项系数为负，可知配方后平方项前带负号，结合平方的非负性即可求最大值。第一步先提取负号，将含m的二次项、一次项放在括号内；第二步对括号内的二次式配方，注意添加常数项后要减去相同的数保证原式值不变；第三步将式子整理为“负的完全平方式加常数”的形式，利用完全平方的非负性确定最大值。
【解析】
解：对$-m^2 + 2m + 4$进行配方：
$\begin{aligned}-m^2 + 2m + 4&=-(m^2 - 2m) + 4\\&=-(m^2 - 2m + 1 - 1) + 4\\&=-(m^2 - 2m + 1) + 1 + 4\\&=-(m-1)^2 + 5\end{aligned}$
∵ 无论m取何值，都有$(m-1)^2≥0$，
∴ $-(m-1)^2≤0$，
∴ 当$(m-1)^2=0$即$m=1$时，$-(m-1)^2 + 5$取得最大值，最大值为$0+5=5$。
【答案】
$-m^2 + 2m + 4$的最大值是5。
【知识点】
配方法，平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题属于配方法应用的基础题型，解题的关键是掌握配方的步骤，注意提取负号后配方时符号的变化，结合完全平方的非负性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.8
本题是求二次三项式的最大值，解题思路如下：首先观察代数式二次项系数为负，可知配方后平方项前带负号，结合平方的非负性即可求最大值。第一步先提取负号，将含m的二次项、一次项放在括号内；第二步对括号内的二次式配方，注意添加常数项后要减去相同的数保证原式值不变；第三步将式子整理为“负的完全平方式加常数”的形式，利用完全平方的非负性确定最大值。
【解析】
解：对$-m^2 + 2m + 4$进行配方：
$\begin{aligned}-m^2 + 2m + 4&=-(m^2 - 2m) + 4\\&=-(m^2 - 2m + 1 - 1) + 4\\&=-(m^2 - 2m + 1) + 1 + 4\\&=-(m-1)^2 + 5\end{aligned}$
∵ 无论m取何值，都有$(m-1)^2≥0$，
∴ $-(m-1)^2≤0$，
∴ 当$(m-1)^2=0$即$m=1$时，$-(m-1)^2 + 5$取得最大值，最大值为$0+5=5$。
【答案】
$-m^2 + 2m + 4$的最大值是5。
【知识点】
配方法，平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题属于配方法应用的基础题型，解题的关键是掌握配方的步骤，注意提取负号后配方时符号的变化，结合完全平方的非负性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.8
