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1.在同一平面内，点P不在$\odot O$上，若点P到$\odot O$上的点的最大距离是11，最小距离是5，则$\odot O$的半径是
3或8
。答案
1.3或8
解析
【分析】
首先明确点与圆的位置关系，题目说明点P不在$\odot O$上，因此仅存在两种情况：点P在$\odot O$内、点P在$\odot O$外，需分类讨论求解。无论点P在圆内还是圆外，点P到圆上点的最大距离和最小距离，都是过点P与圆心O的直线和圆的两个交点到P的距离，据此可分别计算两种情况下圆的直径，进而求出半径。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，即直径$d=11+5=16$，
因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{16}{2}=8$；
② 当点P在$\odot O$外时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，即直径$d=11-5=6$，
因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3$。
综上，$\odot O$的半径为3或8。
【答案】
3或8
【知识点】
点与圆的位置关系、分类讨论思想、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中分类讨论的典型题型，容易因遗漏点在圆内或圆外的其中一种情况出现漏解，解题的关键是先根据点不在圆上确定所有可能的位置关系，再结合最大、最小距离的几何意义计算直径。
【难度系数】
0.6
首先明确点与圆的位置关系，题目说明点P不在$\odot O$上，因此仅存在两种情况：点P在$\odot O$内、点P在$\odot O$外，需分类讨论求解。无论点P在圆内还是圆外，点P到圆上点的最大距离和最小距离，都是过点P与圆心O的直线和圆的两个交点到P的距离，据此可分别计算两种情况下圆的直径，进而求出半径。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，即直径$d=11+5=16$，
因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{16}{2}=8$；
② 当点P在$\odot O$外时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，即直径$d=11-5=6$，
因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3$。
综上，$\odot O$的半径为3或8。
【答案】
3或8
【知识点】
点与圆的位置关系、分类讨论思想、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中分类讨论的典型题型，容易因遗漏点在圆内或圆外的其中一种情况出现漏解，解题的关键是先根据点不在圆上确定所有可能的位置关系，再结合最大、最小距离的几何意义计算直径。
【难度系数】
0.6
2.在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(a,0),圆 A 的半径为 2.若点 B 在圆上,则 a 的值为 (
A.2或3
B.－1或3
C.－3或1
D.－3或2
B
)A.2或3
B.－1或3
C.－3或1
D.－3或2
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确点在圆上的判定条件：点到圆心的距离等于圆的半径。观察可知点A、B都在x轴上，两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，据此可列出关于a的绝对值方程，再通过分类讨论去掉绝对值符号，即可求出a的取值。
【解析】
∵点B在圆A上，
∴点B到圆心A的距离等于圆A的半径2。
∵点A坐标为(1,0)，点B坐标为(a,0)，两点均在x轴上，
∴AB的距离为|a - 1|，可得方程：|a - 1| = 2。
分两种情况求解：
①当a - 1 = 2时，解得a = 3；
②当a - 1 = -2时，解得a = -1。
综上，a的值为-1或3。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，坐标轴上两点间距离，绝对值方程求解
【点评】
本题是圆中分类讨论的基础题型，解题关键是掌握点在圆上的性质，易错点是忽略点B可位于点A的左侧或右侧两种情况，导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确点在圆上的判定条件：点到圆心的距离等于圆的半径。观察可知点A、B都在x轴上，两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，据此可列出关于a的绝对值方程，再通过分类讨论去掉绝对值符号，即可求出a的取值。
【解析】
∵点B在圆A上，
∴点B到圆心A的距离等于圆A的半径2。
∵点A坐标为(1,0)，点B坐标为(a,0)，两点均在x轴上，
∴AB的距离为|a - 1|，可得方程：|a - 1| = 2。
分两种情况求解：
①当a - 1 = 2时，解得a = 3；
②当a - 1 = -2时，解得a = -1。
综上，a的值为-1或3。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，坐标轴上两点间距离，绝对值方程求解
【点评】
本题是圆中分类讨论的基础题型，解题关键是掌握点在圆上的性质，易错点是忽略点B可位于点A的左侧或右侧两种情况，导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.7
3. [2025合肥期末]如图，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，$AB=AD$，$∠ BAD=110°$.若点E为$\odot O$上的一点，连接AE，BE，则$∠ AEB$的度数为（
A.$35°$
B.$70°$
C.$55°$
D.$35°$或$145°$
D
）A.$35°$
B.$70°$
C.$55°$
D.$35°$或$145°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰$△ ABD$入手，利用等腰三角形内角和性质求出底角$∠ ADB$的度数；再结合圆周角的相关性质分析：点E的位置未明确，可分为在优弧$\overset{\frown}{AB}$上和劣弧$\overset{\frown}{AB}$上两种情况，分别利用同弧所对圆周角相等、圆内接四边形对角互补的性质计算对应$∠ AEB$的度数即可。
【解析】
解：在$△ ABD$中，
∵$AB=AD$，$∠ BAD=110°$，
∴$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$。
分两种情况讨论：
① 当点$E$在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时，
∵同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，
∴$∠ AEB=∠ ADB=35°$；
② 当点$E$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，
∵四边形$AEBD$是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ AEB+∠ ADB=180°$，
∴$∠ AEB=180°-35°=145°$。
综上，$∠ AEB$的度数为$35°$或$145°$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆中典型的分类讨论题型，解题时容易忽略点E在劣弧上的情况导致漏解，做题时需注意结合题意，全面分析点的所有可能位置再求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的等腰$△ ABD$入手，利用等腰三角形内角和性质求出底角$∠ ADB$的度数；再结合圆周角的相关性质分析：点E的位置未明确，可分为在优弧$\overset{\frown}{AB}$上和劣弧$\overset{\frown}{AB}$上两种情况，分别利用同弧所对圆周角相等、圆内接四边形对角互补的性质计算对应$∠ AEB$的度数即可。
【解析】
解：在$△ ABD$中，
∵$AB=AD$，$∠ BAD=110°$，
∴$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$。
分两种情况讨论：
① 当点$E$在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时，
∵同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，
∴$∠ AEB=∠ ADB=35°$；
② 当点$E$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，
∵四边形$AEBD$是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ AEB+∠ ADB=180°$，
∴$∠ AEB=180°-35°=145°$。
综上，$∠ AEB$的度数为$35°$或$145°$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆中典型的分类讨论题型，解题时容易忽略点E在劣弧上的情况导致漏解，做题时需注意结合题意，全面分析点的所有可能位置再求解。
【难度系数】
0.6
4.已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，由弦垂直直径想到用垂径定理求出弦AB的一半长度；连接半径OA，在直角三角形OAM中用勾股定理算出OM的长度。因为垂足M的位置没有明确给出，存在两种情况：M位于线段OC上，或M位于线段OD上，需分两种情况计算CM的长度，最后在直角三角形ACM中用勾股定理求出AC的长即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵CD是⊙O的直径，CD=10cm，
∴⊙O的半径OA=OC=5cm。
∵AB⊥CD，AB=8cm，根据垂径定理可得：
$AM = \frac{1}{2}AB = 4\mathrm{cm}$。
在Rt△OAM中，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当垂足M在线段OC上时：
$CM = OC - OM = 5 - 3 = 2\mathrm{cm}$，
在Rt△ACM中，$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}\mathrm{cm}$；
② 当垂足M在线段OD上时：
$CM = OC + OM = 5 + 3 = 8\mathrm{cm}$，
在Rt△ACM中，$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
综上，AC的长为$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\mathrm{cm}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题关键是明确垂足位置的不确定性，避免因忽略分类讨论出现漏解，解题过程中需熟练结合垂径定理和勾股定理进行线段长度的计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件，由弦垂直直径想到用垂径定理求出弦AB的一半长度；连接半径OA，在直角三角形OAM中用勾股定理算出OM的长度。因为垂足M的位置没有明确给出，存在两种情况：M位于线段OC上，或M位于线段OD上，需分两种情况计算CM的长度，最后在直角三角形ACM中用勾股定理求出AC的长即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵CD是⊙O的直径，CD=10cm，
∴⊙O的半径OA=OC=5cm。
∵AB⊥CD，AB=8cm，根据垂径定理可得：
$AM = \frac{1}{2}AB = 4\mathrm{cm}$。
在Rt△OAM中，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当垂足M在线段OC上时：
$CM = OC - OM = 5 - 3 = 2\mathrm{cm}$，
在Rt△ACM中，$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}\mathrm{cm}$；
② 当垂足M在线段OD上时：
$CM = OC + OM = 5 + 3 = 8\mathrm{cm}$，
在Rt△ACM中，$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
综上，AC的长为$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\mathrm{cm}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题关键是明确垂足位置的不确定性，避免因忽略分类讨论出现漏解，解题过程中需熟练结合垂径定理和勾股定理进行线段长度的计算。
【难度系数】
0.6
5.如图，P是半径为5的$\odot O$内一点，且$OP=3$，在过点P的$\odot O$的所有弦中，弦长为整数的弦的条数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确过圆内一点的弦的长度取值范围：①最长的弦是过该点的直径；②最短的弦是与该点和圆心连线垂直的弦。先通过垂径定理和勾股定理计算出最短弦长，再找出范围内的整数弦长，最后结合圆的对称性统计不同整数弦长对应的弦的数量，求和即可得到结果。
【解析】
1. 求最长弦长：过点P的最长弦为$\odot O$的直径，已知$\odot O$半径为5，因此直径长为$2×5=10$，这样的弦仅有1条。
2. 求最短弦长：过点P作弦$AB⊥ OP$，连接OA。根据垂径定理，OP垂直平分AB，在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此最短弦长$AB=2AP=8$，这样的弦也仅有1条。
3. 确定弦长的整数取值：过点P的所有弦的长度$l$满足$8≤ l≤10$，其中整数取值为8、9、10。
4. 统计总条数：弦长为8的弦1条，弦长为10的弦1条；根据圆的轴对称性，弦长为9的弦在OP的两侧各有1条，共2条。因此总条数为$1+2+1=4$条。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题重点考查圆内弦长的最值判断与计数，解题关键是先确定弦长的边界值，再利用圆的对称性计数，容易忽略弦长为9的弦有2条，需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确过圆内一点的弦的长度取值范围：①最长的弦是过该点的直径；②最短的弦是与该点和圆心连线垂直的弦。先通过垂径定理和勾股定理计算出最短弦长，再找出范围内的整数弦长，最后结合圆的对称性统计不同整数弦长对应的弦的数量，求和即可得到结果。
【解析】
1. 求最长弦长：过点P的最长弦为$\odot O$的直径，已知$\odot O$半径为5，因此直径长为$2×5=10$，这样的弦仅有1条。
2. 求最短弦长：过点P作弦$AB⊥ OP$，连接OA。根据垂径定理，OP垂直平分AB，在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此最短弦长$AB=2AP=8$，这样的弦也仅有1条。
3. 确定弦长的整数取值：过点P的所有弦的长度$l$满足$8≤ l≤10$，其中整数取值为8、9、10。
4. 统计总条数：弦长为8的弦1条，弦长为10的弦1条；根据圆的轴对称性，弦长为9的弦在OP的两侧各有1条，共2条。因此总条数为$1+2+1=4$条。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题重点考查圆内弦长的最值判断与计数，解题关键是先确定弦长的边界值，再利用圆的对称性计数，容易忽略弦长为9的弦有2条，需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于点D，且∠BOD = 40°，则∠BAC的度数是
40°或140°
。答案
6.40°或140°
解析
【分析】
解题时先结合垂径定理分析弧与圆心角的关系：已知OD⊥BC且过圆心，可得OD平分弧BC，因此弧BC对应的圆心角∠BOC=2∠BOD=80°。接下来需注意△ABC的顶点A既可能在优弧BC上，也可能在劣弧BC上，需分两种情况结合圆周角定理计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵OD⊥BC，OD过⊙O的圆心O，
∴根据垂径定理，弧BD=弧CD，
∴∠BOC=2∠BOD=2×40°=80°。
分两种情况讨论：
①当点A在优弧BC上时，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
∴∠BAC=½∠BOC=½×80°=40°；
②当点A在劣弧BC上时，∠BAC所对的弧为优弧BC，
优弧BC的度数为360°-80°=280°，
∴∠BAC=½×280°=140°。
综上，∠BAC的度数为40°或140°。
【答案】
40°或140°
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略点A的位置存在两种情况出现漏解，解题时要明确圆中同一段弧对应的圆周角有两类，分别对应顶点在优弧和劣弧的情况，需结合题意全面分析。
【难度系数】
0.6
解题时先结合垂径定理分析弧与圆心角的关系：已知OD⊥BC且过圆心，可得OD平分弧BC，因此弧BC对应的圆心角∠BOC=2∠BOD=80°。接下来需注意△ABC的顶点A既可能在优弧BC上，也可能在劣弧BC上，需分两种情况结合圆周角定理计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵OD⊥BC，OD过⊙O的圆心O，
∴根据垂径定理，弧BD=弧CD，
∴∠BOC=2∠BOD=2×40°=80°。
分两种情况讨论：
①当点A在优弧BC上时，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
∴∠BAC=½∠BOC=½×80°=40°；
②当点A在劣弧BC上时，∠BAC所对的弧为优弧BC，
优弧BC的度数为360°-80°=280°，
∴∠BAC=½×280°=140°。
综上，∠BAC的度数为40°或140°。
【答案】
40°或140°
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略点A的位置存在两种情况出现漏解，解题时要明确圆中同一段弧对应的圆周角有两类，分别对应顶点在优弧和劣弧的情况，需结合题意全面分析。
【难度系数】
0.6
7.以$BC$为底边的等腰三角形$ABC$的外心是点$O$，且$∠ BOC = 90°$，$BC = 4$，求$△ ABC$的面积.
答案
7.解：$4\sqrt{2}-4$或$4+4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先回忆外心的性质：三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，且在各边的垂直平分线上。已知△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故顶点A在BC的垂直平分线上，外心O也在BC的垂直平分线上，因此A、O、BC的中点三点共线。首先由∠BOC=90°、BC=4，先求出外接圆半径OB的长度，以及O到BC的距离。接下来分两种情况讨论：①外心O在△ABC内部，此时A与O在BC同侧，计算A到BC的高；②外心O在△ABC外部，此时A与O在BC异侧，计算A到BC的高，最后分别代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：取BC的中点D，连接OD、AD。
∵O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
∴OD⊥BC，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=2$。
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴$OD=\frac{1}{2}BC=2$，外接圆半径$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，故$OA=OB=2\sqrt{2}$。
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴A在BC的垂直平分线OD所在直线上，分两种情况：
1. 当点A与点O在BC的同侧时，A到BC的高$h_1=OA+OD=2\sqrt{2}+2$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h_1=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{2}+2)=4+4\sqrt{2}$；
2. 当点A与点O在BC的异侧时，A到BC的高$h_2=OA-OD=2\sqrt{2}-2$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h_2=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{2}-2)=4\sqrt{2}-4$。
【答案】
$4\sqrt{2}-4$或$4+4\sqrt{2}$
【知识点】
外心的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略外心可能在三角形外部的情况，导致漏解。解题关键是利用等腰三角形和外心的性质，确定三点共线的位置关系，分情况求出三角形的高后代入面积公式计算。
【难度系数】
0.6
首先回忆外心的性质：三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，且在各边的垂直平分线上。已知△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故顶点A在BC的垂直平分线上，外心O也在BC的垂直平分线上，因此A、O、BC的中点三点共线。首先由∠BOC=90°、BC=4，先求出外接圆半径OB的长度，以及O到BC的距离。接下来分两种情况讨论：①外心O在△ABC内部，此时A与O在BC同侧，计算A到BC的高；②外心O在△ABC外部，此时A与O在BC异侧，计算A到BC的高，最后分别代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：取BC的中点D，连接OD、AD。
∵O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
∴OD⊥BC，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=2$。
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴$OD=\frac{1}{2}BC=2$，外接圆半径$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，故$OA=OB=2\sqrt{2}$。
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴A在BC的垂直平分线OD所在直线上，分两种情况：
1. 当点A与点O在BC的同侧时，A到BC的高$h_1=OA+OD=2\sqrt{2}+2$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h_1=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{2}+2)=4+4\sqrt{2}$；
2. 当点A与点O在BC的异侧时，A到BC的高$h_2=OA-OD=2\sqrt{2}-2$，
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h_2=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{2}-2)=4\sqrt{2}-4$。
【答案】
$4\sqrt{2}-4$或$4+4\sqrt{2}$
【知识点】
外心的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略外心可能在三角形外部的情况，导致漏解。解题关键是利用等腰三角形和外心的性质，确定三点共线的位置关系，分情况求出三角形的高后代入面积公式计算。
【难度系数】
0.6
