1.如图，AB是$\odot O$的直径，AC是弦，D是$\overset{\frown}{AC}$上一点，P是AB的延长线上一点，连接AD，DC，CP，求证：$∠ ADC - ∠ BAC = 90°$.

证法一(连接BD，构造两个圆周角来证明)：
证法二(连接BC，构造直径所对的圆周角和圆内接四边形来证明)：

证明：
证法一：连接BD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ ∠BDC和∠BAC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC。
又∵ ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC，
∴ ∠ADC = 90° + ∠BAC，
即 $∠ADC - ∠BAC = 90°$。
证法二：连接BC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∴ 在Rt△ABC中，∠ABC + ∠BAC = 90°，即$∠ ABC = 90° - ∠ BAC$。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
将$∠ ABC = 90° - ∠ BAC$代入得：
$∠ ADC + 90° - ∠ BAC = 180°$，
整理得$∠ADC - ∠BAC = 90°$。

【分析】
要证明$∠ADC - ∠BAC = 90°$，可通过构造辅助线结合圆的相关性质推导：
证法一思路：连接BD，利用直径所对的圆周角为直角得到$∠ADB=90°$，再根据同弧所对的圆周角相等推出$∠BDC=∠BAC$，观察发现$∠ADC$是$∠ADB$与$∠BDC$的和，代入即可得证。
证法二思路：连接BC，先由直径所对圆周角为直角得到$△ ABC$是直角三角形，推出$∠ABC$与$∠BAC$的数量关系，再结合圆内接四边形对角互补的性质，将$∠ABC$替换后代入化简即可得证。
【解析】
证法一：连接BD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ADB = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $∠BDC$和$∠BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠BDC = ∠BAC$。
又
∵ $∠ADC = ∠ADB + ∠BDC$，
∴ $∠ADC = 90° + ∠BAC$，
即 $∠ADC - ∠BAC = 90°$。
证法二：连接BC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∴ 在$Rt△ ABC$中，$∠ABC + ∠BAC = 90°$，即$∠ ABC = 90° - ∠ BAC$。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ADC + ∠ABC = 180°$（圆内接四边形的对角互补）。
将$∠ ABC = 90° - ∠ BAC$代入得：
$∠ ADC + 90° - ∠ BAC = 180°$，
整理得$∠ADC - ∠BAC = 90°$。
【答案】
已证得$\boldsymbol{∠ ADC - ∠ BAC = 90°}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础证明题，核心考查圆的常用性质及辅助线的构造能力，两种证法分别从角的拆分、角的互补两个角度切入，思路灵活，能帮助学生熟练掌握圆中角度推导的常用方法。
【难度系数】
0.7

2.如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD.
求证:$∠ 1+∠ 2=90°$.

证法一(通过构造辅助圆,进一步构造圆周角或圆心角来证明):
证法二(通过构造辅助圆,进一步构造两个圆周角来证明):

证法一：
证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，延长BA交⊙A于点E，连接CE。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D、E都在⊙A上。
∵ BE是⊙A的直径，
∴ ∠BCE=90°，即∠ACB + ∠ACE = 90°。
∵ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC。
∵ ∠AEC是⊙A中弧BC所对的圆周角，弧BC对应的圆心角为∠BAC，
∴ ∠AEC = $\frac{1}{2}$∠BAC。
在△ABC中，AB=AC，
∴ ∠BAC=180°-2∠2，代入得：
∠AEC = $\frac{1}{2}(180°-2∠2) = 90°-∠2$，即∠ACE=90°-∠2。
同理，∠ADC是⊙A中弧AC所对的圆周角，弧AC对应的圆心角为∠CAD，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠CAD。
在△ACD中，AC=AD，
∴ ∠CAD=180°-2∠1。
又∵ AB=AD，∴ 弧AB=弧AD，弧AB对应的圆心角为∠BAE=180°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = 180°，
代入得：$(180°-2∠2)+(180°-2∠1)=180°$，
整理得：$2∠1+2∠2=180°$，
即∠1+∠2=90°。
---
证法二：
证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D都在⊙A上。
∵ ∠BDC是⊙A中弧BC所对的圆周角，弧BC对应的圆心角为∠BAC，
∴ ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC。
∵ ∠CBD是⊙A中弧CD所对的圆周角，弧CD对应的圆心角为∠CAD，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CAD。
在△ABC中，AB=AC，∴ ∠BAC=180°-2∠2，
在△ACD中，AC=AD，∴ ∠CAD=180°-2∠1。
∵ 点B、A、D共线，BD为⊙A的直径，
∴ ∠BAC + ∠CAD = 180°，
代入得：$(180°-2∠2)+(180°-2∠1)=180°$，
化简得：∠1+∠2=90°。

【分析】
观察已知条件可知AB=AC=AD，三条线段共端点且长度相等，符合圆的半径特征，因此可以构造以A为圆心、AB长为半径的辅助圆，将B、C、D三点置于同一圆上。接下来结合圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），再结合等腰三角形内角和性质，表示出∠BAC、∠CAD和∠1、∠2的关系，最后利用平角或直径所对圆周角为直角的性质建立角的等式，化简即可得到要证的结论。两种证法的核心都是通过辅助圆将多边形角的问题转化为圆的性质问题求解。
【解析】
证法一：
证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，延长BA交⊙A于点E，连接CE。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D、E都在⊙A上。
∵ BE是⊙A的直径，
∴ ∠BCE=90°，即∠ACB + ∠ACE = 90°。
∵ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC。
∵ ∠AEC是⊙A中弧BC所对的圆周角，弧BC对应的圆心角为∠BAC，
∴ $∠ AEC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
在△ABC中，AB=AC，
∴ $∠ BAC=180°-2∠ 2$，代入得：
$∠ AEC = \frac{1}{2}(180°-2∠ 2) = 90°-∠ 2$，即$∠ ACE=90°-∠ 2$。
同理，∠ADC是⊙A中弧AC所对的圆周角，弧AC对应的圆心角为∠CAD，
∴ $∠ 1 = \frac{1}{2}∠ CAD$。
在△ACD中，AC=AD，
∴ $∠ CAD=180°-2∠ 1$。
又
∵ AB=AD，弧AB对应的圆心角为$∠ BAE=180°$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = 180°$，
代入得：$(180°-2∠ 2)+(180°-2∠ 1)=180°$，
整理得：$2∠ 1+2∠ 2=180°$，
即$∠ 1+∠ 2=90°$。
---
证法二：
证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D都在⊙A上。
∵ ∠BDC是⊙A中弧BC所对的圆周角，弧BC对应的圆心角为∠BAC，
∴ $∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ ∠CBD是⊙A中弧CD所对的圆周角，弧CD对应的圆心角为∠CAD，
∴ $∠ CBD = \frac{1}{2}∠ CAD$。
在△ABC中，AB=AC，
∴ $∠ BAC=180°-2∠ 2$，
在△ACD中，AC=AD，
∴ $∠ CAD=180°-2∠ 1$。
∵ 点B、A、D共线，BD为⊙A的直径，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = 180°$，
代入得：$(180°-2∠ 2)+(180°-2∠ 1)=180°$，
化简得：$∠ 1+∠ 2=90°$。
【答案】
$∠ 1+∠ 2=90°$，得证。
【知识点】
辅助圆构造，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形性质的综合应用题，核心突破口是根据共端点等线段的特征构造辅助圆，将多边形内角问题转化为圆中圆周角、圆心角的关系问题，有效简化了推导过程，考察了学生的知识迁移能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.5