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7. 如图，在数轴上以点 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径作弧，交数轴于点 $B'$。点 $B'$ 所表示的数为
$\sqrt{2} - 1$
。答案
$\sqrt{2}-1$
【解析】：
由图可知，$AB \perp OB，$A点坐标为-1，B点坐标为0，OB = 1，OA=1，根据勾股定理，在直角三角形AOB中，$AB=\sqrt{OA^{2} + OB^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}。$
因为以点A为圆心，AB长为半径作弧交数轴于点B'，所以$AB' = AB=\sqrt{2}。$
点A表示的数为-1，那么点B'所表示的数比点A表示的数大$\sqrt{2}，$所以点B'所表示的数为$\sqrt{2}-1。$
【答案】：$\sqrt{2}-1。$
【解析】：
由图可知，$AB \perp OB，$A点坐标为-1，B点坐标为0，OB = 1，OA=1，根据勾股定理，在直角三角形AOB中，$AB=\sqrt{OA^{2} + OB^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}。$
因为以点A为圆心，AB长为半径作弧交数轴于点B'，所以$AB' = AB=\sqrt{2}。$
点A表示的数为-1，那么点B'所表示的数比点A表示的数大$\sqrt{2}，$所以点B'所表示的数为$\sqrt{2}-1。$
【答案】：$\sqrt{2}-1。$
8. 已知 $A(3,y_1)$，$B(4,y_2)$ 是直线 $y = (k - 1)x + b$ 上的两点，若 $y_2 ＜ y_1$，则 $k$ 的取值范围是
$k ＜ 1$
。答案
k＜1
【解析】：
本题考查一次函数的增减性。
对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，函数为增函数，即y随x的增大而增大；当k＜0时，函数为减函数，即y随x的增大而减小。
由题意知，点$A(3,y_1)$和$B(4,y_2)$在直线y=(k-1)x+b上，且$y_2＜y_1。$
这意味着当x从3增大到4时，y的值在减小，所以该一次函数在此区间内是减函数。
因此，我们可以得出k-1＜0，即k＜1。
【答案】：
k＜1
【解析】：
本题考查一次函数的增减性。
对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，函数为增函数，即y随x的增大而增大；当k＜0时，函数为减函数，即y随x的增大而减小。
由题意知，点$A(3,y_1)$和$B(4,y_2)$在直线y=(k-1)x+b上，且$y_2＜y_1。$
这意味着当x从3增大到4时，y的值在减小，所以该一次函数在此区间内是减函数。
因此，我们可以得出k-1＜0，即k＜1。
【答案】：
k＜1
9. 某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为 $100$ 分，所占比例如下表所示：
某班这四项得分依次为 $85$ 分，$90$ 分，$100$ 分，$90$ 分，该班四项综合得分为
某班这四项得分依次为 $85$ 分，$90$ 分，$100$ 分，$90$ 分，该班四项综合得分为
90
分。答案
90
【解析】：本题考查的是加权平均数的计算。
首先，需要理解加权平均数的计算方法。加权平均数是通过将每个数值乘以相应的权重，然后将这些乘积相加，最后除以权重的总和来计算的。但在这个问题中，权重（即各项所占的比例）的总和已经是100%（或1），所以只需要将每项的得分乘以其所占的比例，然后将这些乘积相加即可。
根据题目，学习、卫生、纪律、活动参与四项的满分都是100分，所占比例分别为40%、30%、20%、10%。某班这四项的得分依次为85分、90分、100分、90分。
因此，可以按照以下步骤计算该班的四项综合得分：
学习部分的得分 = 85 × 40% = 34（分）；
卫生部分的得分 = 90 × 30% = 27（分）；
纪律部分的得分 = 100 × 20% = 20（分）；
活动参与部分的得分 = 90 × 10% = 9（分）。
然后，将这四部分的得分相加，得到该班的四项综合得分：
综合得分 = 34 + 27 + 20 + 9 = 90（分）。
【答案】：90
【解析】：本题考查的是加权平均数的计算。
首先，需要理解加权平均数的计算方法。加权平均数是通过将每个数值乘以相应的权重，然后将这些乘积相加，最后除以权重的总和来计算的。但在这个问题中，权重（即各项所占的比例）的总和已经是100%（或1），所以只需要将每项的得分乘以其所占的比例，然后将这些乘积相加即可。
根据题目，学习、卫生、纪律、活动参与四项的满分都是100分，所占比例分别为40%、30%、20%、10%。某班这四项的得分依次为85分、90分、100分、90分。
因此，可以按照以下步骤计算该班的四项综合得分：
学习部分的得分 = 85 × 40% = 34（分）；
卫生部分的得分 = 90 × 30% = 27（分）；
纪律部分的得分 = 100 × 20% = 20（分）；
活动参与部分的得分 = 90 × 10% = 9（分）。
然后，将这四部分的得分相加，得到该班的四项综合得分：
综合得分 = 34 + 27 + 20 + 9 = 90（分）。
【答案】：90
10. 若 $\sqrt{17} - 2$ 的整数部分为 $x$，小数部分为 $y$，则 $(x + y)(x - y)$ 的值是
$8\sqrt{17} - 29$
。答案
$8\sqrt{17}-29$
解：因为$4＜\sqrt{17}＜5，$所以$4 - 2＜\sqrt{17}-2＜5 - 2，$即$2＜\sqrt{17}-2＜3。$
所以$\sqrt{17}-2$的整数部分x = 2，小数部分$y=\sqrt{17}-2 - 2=\sqrt{17}-4。$
则$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$
$=2^{2}-(\sqrt{17}-4)^{2}$
$=4-(17 - 8\sqrt{17}+16)$
$=4-(33 - 8\sqrt{17})$
$=4 - 33 + 8\sqrt{17}$
$=-29 + 8\sqrt{17}$
又因为$x + y=\sqrt{17}-2，$所以$(x + y)(x - y)=(\sqrt{17}-2)(2 - (\sqrt{17}-4))=(\sqrt{17}-2)(6 - \sqrt{17})$
$=6\sqrt{17}-(\sqrt{17})^{2}-12 + 2\sqrt{17}$
$=6\sqrt{17}-17 - 12 + 2\sqrt{17}$
$=8\sqrt{17}-29$
故答案为：$8\sqrt{17}-29$
解：因为$4＜\sqrt{17}＜5，$所以$4 - 2＜\sqrt{17}-2＜5 - 2，$即$2＜\sqrt{17}-2＜3。$
所以$\sqrt{17}-2$的整数部分x = 2，小数部分$y=\sqrt{17}-2 - 2=\sqrt{17}-4。$
则$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$
$=2^{2}-(\sqrt{17}-4)^{2}$
$=4-(17 - 8\sqrt{17}+16)$
$=4-(33 - 8\sqrt{17})$
$=4 - 33 + 8\sqrt{17}$
$=-29 + 8\sqrt{17}$
又因为$x + y=\sqrt{17}-2，$所以$(x + y)(x - y)=(\sqrt{17}-2)(2 - (\sqrt{17}-4))=(\sqrt{17}-2)(6 - \sqrt{17})$
$=6\sqrt{17}-(\sqrt{17})^{2}-12 + 2\sqrt{17}$
$=6\sqrt{17}-17 - 12 + 2\sqrt{17}$
$=8\sqrt{17}-29$
故答案为：$8\sqrt{17}-29$
11. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 上的点，将长方形 $ABCD$ 沿 $EF$ 所在的直线折叠，使点 $C$，$D$ 分别落在点 $C'$，$D'$ 处，$C'D'$ 交 $BC$ 边于点 $G$。若 $\angle DEF = 70^{\circ}$，则 $\angle C'GF$ 的大小为
50
$^{\circ}$。答案
50
解：
∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴ AD // BC，
∴$ \angle EFC = \angle DEF = 70°（$两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得：$\angle EFC' = \angle EFC = 70°，$
∵$ \angle C'FG = 180° - \angle EFC - \angle EFC' = 180° - 70° - 70° = 40°。$
又∵ 折叠后$ \angle C' = \angle C = 90°，$
在$ \triangle C'FG $中，$\angle C'GF = 180° - \angle C' - \angle C'FG = 180° - 90° - 40° = 50°。$
50
解：
∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴ AD // BC，
∴$ \angle EFC = \angle DEF = 70°（$两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得：$\angle EFC' = \angle EFC = 70°，$
∵$ \angle C'FG = 180° - \angle EFC - \angle EFC' = 180° - 70° - 70° = 40°。$
又∵ 折叠后$ \angle C' = \angle C = 90°，$
在$ \triangle C'FG $中，$\angle C'GF = 180° - \angle C' - \angle C'FG = 180° - 90° - 40° = 50°。$
50
12. 在平面直角坐标系中，直线 $AB:y = \frac{3}{4}x + 6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$，$P$ 是第二象限内的点。若 $\triangle PAB$ 为等腰直角三角形，则点 $P$ 的坐标为
$(-6,14)$，$(-14,8)$，$(-7,7)$
。答案
(-6，14)、(-14，8)、(-7，7)
13. (1)解方程组：$\begin{cases}2x - y = 4,\\5x + 4y = -3。\end{cases}$
(2)计算：$(\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{3} - 3)×\sqrt{3}$。
(2)计算：$(\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{3} - 3)×\sqrt{3}$。
答案
（1）解：①×4+②得13x=13，x=1
将x=1代入①得y=-2
∴方程组的解为$\begin {cases}{x=1}\\{y=-2}\end {cases}$
（2）解：原式$= (\sqrt {10})^2 - 3^2 - 3+3\sqrt 3$
$=10-9-3+3\sqrt 3$
$ = 3\sqrt 3 - 2$
将x=1代入①得y=-2
∴方程组的解为$\begin {cases}{x=1}\\{y=-2}\end {cases}$
（2）解：原式$= (\sqrt {10})^2 - 3^2 - 3+3\sqrt 3$
$=10-9-3+3\sqrt 3$
$ = 3\sqrt 3 - 2$
14. 如图，一架长 $2.5\ m$ 的梯子 $AB$ 斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端 $B$ 离墙 $0.7\ m$。
(1)此时梯子顶端 $A$ 离地面多少米？
(2)当梯子顶端 $A$ 下滑 $0.4\ m$ 到 $C$ 时，梯子底端 $B$ 将向左滑动多少米到 $D$？
(1)此时梯子顶端 $A$ 离地面多少米？
(2)当梯子顶端 $A$ 下滑 $0.4\ m$ 到 $C$ 时，梯子底端 $B$ 将向左滑动多少米到 $D$？
答案
解：(1)因为在 Rt△ABO 中，$AB=2.5\ \mathrm {m}，$
$OB=0.7\ \mathrm {m}，$∠AOB=90°
所以$ OA=\sqrt {AB^2-OB^2}=2.4(\mathrm {m})$
所以梯子顶端 A 离地面$ 2.4\ \mathrm {m}。$
(2)因为在 Rt△CDO 中，$CD=2.5\ \mathrm {m}，$
$OC=2.4-0.4=2(\mathrm {m})，$∠COD=90°
所以$ OD=\sqrt {CD^2-OC^2}=1.5(\mathrm {m})$
所以$ BD=OD-OB=0.8(\mathrm {m})$
所以梯子底端 B 将向左滑动$ 0.8\ \mathrm {m} $到 D
$OB=0.7\ \mathrm {m}，$∠AOB=90°
所以$ OA=\sqrt {AB^2-OB^2}=2.4(\mathrm {m})$
所以梯子顶端 A 离地面$ 2.4\ \mathrm {m}。$
(2)因为在 Rt△CDO 中，$CD=2.5\ \mathrm {m}，$
$OC=2.4-0.4=2(\mathrm {m})，$∠COD=90°
所以$ OD=\sqrt {CD^2-OC^2}=1.5(\mathrm {m})$
所以$ BD=OD-OB=0.8(\mathrm {m})$
所以梯子底端 B 将向左滑动$ 0.8\ \mathrm {m} $到 D
