19. (6 分)如图,$AD$,$CE$ 分别是$\triangle ABC$ 的中线和角平分线,$AB = AC$.
(1)若$\triangle ABC$ 的面积是 $20$,且 $BC = 4$,求 $AD$ 的长.
(2)若$\angle CAD = 20^{\circ}$,求$\angle ACE$ 的度数.
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解：​(1)​∵​ AD ​是​△ ABC ​的中线，​AB=AC，​∴​ AD⊥BC​
∵​△ ABC ​的面积是​ 20，​且​ BC=4​
∴$​ \frac 12BC·AD=20，$​∴$​ \frac 12×4×AD=20​$
∴​ AD=10​
​(2)​∵​ AD ​是​△ ABC ​的中线，​AB=AC，​​∠CAD=20°​
∴​ ∠CAB=2∠CAD=40°​
∴$​ ∠B=∠ACB=\frac 12(180°-∠CAB)=70°​$
∵​ CE ​是​△ ABC ​的角平分线，∴$​ ∠ACE=\frac 12∠ACB=35°​$

20. (6 分)如图,在$\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 上的一点,$AC = 4$,$CD = 3$,$AD = 5$,$AB = 4\sqrt{5}$.求 $BD$ 的长.
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解：∵​AC=4，​​CD=3，​​AD=5​
∴$​3^2+4^2=25=5^2，$​∴$​AC^2+CD^2=AD^2​$
∴​△ACD​是直角三角形，​∠C=90°​
在​Rt△ABC​中，​AC=4，$​​AB=4\sqrt 5​$
∴$​BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=8​$
∴​ BD=BC-CD=8-3=5​

21. (6 分)观察图①,每个小正方形的边长均为 $1$.
(1)图中阴影部分(正方形)的面积是______,边长是______；
(2)在图②的数轴上作出边长对应的实数点 $P$(要求保留作图痕迹)；
(3)在(2)中的数轴上表示 $1$ 的点记为 $M$,不与点 $P$ 重合的点 $N$ 也在这条数轴上,且 $MN = MP$,直接写出点 $N$ 表示的数.
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17
$​ \sqrt {17}​$

解：​(2)​如图所示
​(3)​设点​N​表示的数为​x​
由题意可得$​1-x=\sqrt {17}-1​$
解得$​x=2-\sqrt {17}​$
∴点​N​表示的数为$​2-\sqrt {17}​$