1. 用围棋棋子按下面的规律摆图形,则摆第 $ 2021 $ 个图形需要棋子()枚。


A.$ 6062 $
B.$ 6065 $
C.$ 6068 $
D.$ 6071 $

【解析】：观察图形规律，第1个图形有$5$枚棋子，第2个图形有$8$枚棋子，第3个图形有$11$枚棋子。
发现每个图形棋子数构成的数列，后一个数比前一个数大3，即数列是公差为3的等差数列，首项$a_1 = 5$。
根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n - 1)d$（其中$a_n$为第$n$项的数值，$a_1$为首项，$n$为项数，$d$为公差），可得摆第$n$个图形需要棋子$a_n=5+(n - 1)×3=3n + 2$枚。
当$n = 2021$时，$a_{2021}=3×2021+2=6063 + 2=6065$（枚）。
【答案】：A（此处原解析答案对应选项错误，应选B ，以正确推理结果6065对应选项B为准） 修正后【答案】：B

2. 如图,图形中的三个数之间具有相同的规律。根据此规律,图形中 $ P $ 与 $ a $、$ b $ 的关系是()。

A.$ P = ab $
B.$ P = b(a + 2) $
C.$ P = ab + 2 $
D.$ P = a(b + 2) $

D（的等价形式，但选项中直接选 B 的表述，因为乘法可交换性，但严格对应选项，B 是正确答案的表述）
实际应选：D 的数学内容对应选项中的 B 的验证结果，但选项 B 是 $P=b(a+2)$，与 $P=a(b+2)$ 数学等价，且 B 选项验证正确，所以选 B（题目要求选选项，B 是正确答案）。

观察图形中的三个例子，发现每个图形中下方的两个数 $a$（或 $1,3,5$）和 $b$（或 $2,4,6$）与 $P$ 的关系：
当 $a=1,b=2$ 时，$P=6=1 × (2+2× 2- 2+2?)$ （实际观察为 $1 × (2 + 4 - 0?)$ 不适用，直接观察规律）：
实际规律为：
$1 × (2 + 2 × 2) - 2 ×1?$ 不，直接看：
$P$ 的值为 $a$ 乘以 $b+2$ 的形式（通过代入验证）：
对于 $a=1, b=2$，$P=1 × (2+2)=4?$ 不，实际 $P=6$，而 $1 × (2 × 2 + 2)=6$ 的变形不适用，直接观察：
$P$ 的计算为 $a$ 乘以比 $b$ 大 2 的数（即 $b+2$ 的另一种理解，但 $b$ 本身在增加）：
直接计算得：
$P$ 的规律为 $a × (b + 2)$ 的验证：
$1 × (2 + 2) = 6?$ 不对，$1 × 4 =4$，但 $P=6$，实际是 $a$ 乘以 $b$ 所在行的某个固定加法：
观察 $b$ 的值：对于第一个图，$b=2$，而 $2+4=6$，其中 $4=2 × 2$；
第二个图，$b=4$，$4+16=20$，但 $16=4 × 4$，不是固定加法；
直接看 $a$ 和 $b$ 的关系：
$P$ 总是等于 $a$ 乘以 $b$ 加上某个数，但观察 $6=1 × 2 + 4$，$4=2 × 2$；
$20=3 × 4 + 8$，$8=4 × 2$；
$42=5 × 6 + 12$，$12=6 × 2$；
所以规律是 $P = a × b + 2 × b = b(a + 2)$ 的等价形式，但题目要求 $P$ 与 $a,b$ 的直接关系，且选项中有 $P=a(b+2)$；
验证 $P=a(b+2)$：
对于 $a=1,b=2$，$P=1 × (2+2)=4?$ 不对，但 $1 × 4$ 计算为 4，实际 $P=6$；
然而，如果看 $a$ 乘以 $b$ 加上 $2a$ 的形式：
$P = a × b + 2a = a(b+2)$；
对于 $a=1,b=2$，$P=1 × (2+2)=4$ 的计算是错误的，因为 $1 × 4=4$，但实际 $P$ 是 6，这里忽略了 $a$ 的倍数关系在加法中的体现，实际上：
$P = a × (b + 2)$ 直接计算时，对于 $a=1$，$b+2=4$，但 $1 × 4=4$ 不是 6，然而观察原图，$a$ 是左上的数，$b$ 是左下的数，而 $P$ 是下面的数，且 $P$ 的计算是基于 $a$ 和 $b$ 的某种运算；
通过选项验证：
A. $P=ab$，对于 $a=1,b=2$，$P=2$，不符合；
B. $P=b(a+2)$，对于 $a=1,b=2$，$P=2 × (1+2)=6$，符合；
对于 $a=3,b=4$，$P=4 × (3+2)=20$，符合；
对于 $a=5,b=6$，$P=6 × (5+2)=42$，符合；
C. $P=ab+2$，对于 $a=1,b=2$，$P=2+2=4$，不符合；
D. $P=a(b+2)$，对于 $a=1,b=2$，$P=1 × (2+2)=4$，不符合；
所以正确答案是 D 的等价形式，但 D 是 $P=a(b+2)$，而 B 是 $P=b(a+2)$，两者在数值上是等价的（乘法可交换），但题目要求的是 $P$ 与 $a,b$ 的关系表达式，且选项中 B 和 D 都是可能的表达式形式，但根据验证，B 选项 $P=b(a+2)$ 与所有情况都符合；
然而，观察题目图形，$a$ 在上，$b$ 在下左，$P$ 在下右，通常表达式会以 $a$ 和 $b$ 的顺序出现，但数学上 $b(a+2)$ 和 $a(b+2)$ 在 $a,b$ 为具体数时等价，但作为表达式，题目可能倾向于 $a$ 在前的形式，但根据验证，B 选项完全符合所有情况；
进一步，D 选项 $P=a(b+2)$ 对于 $a=1,b=2$ 给出 $P=4$，与实际的 $P=6$ 不符，而 B 选项给出 $P=6$，符合；
所以答案是 D 的“等价”表述在选项中是 B 的形式（因为乘法可交换，但表达式顺序不同），但根据题目选项和验证，应选 D 的“正确”表达式形式在选项中对应的是通过验证的 B 的等价数学形式，但直接看选项，B 是 $P=b(a+2)$，D 是 $P=a(b+2)$，两者数学上等价，但题目要求的是表达式，且 B 选项与所有验证情况一致；
然而，通常我们会选择 $a$ 在前的表达式，但在此题中，B 选项 $P=b(a+2)$ 是正确的，因为它与所有情况匹配；
直接选择 B 选项，因为它通过了所有验证。

3. 用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第 $ n $ 个图形需要的火柴棒的根数为()。


A.$ 12 + 6(n - 1) $
B.$ 12 + 6(n + 1) $
C.$ 12 + 3(2n - 1) $
D.$ 12 + 3(2n + 1) $

A

观察图形可知，第1个图形由1个正方形和4条外侧的竖棒组成，共$4+ 8 = 12$（当$n=1$时，可看作$12+6×0$）根火柴棒，
第2个图形在第1个图形基础上增加6根火柴棒，即$12 + 6×(2 - 1)=18$根，
第3个图形在第2个图形基础上又增加6根火柴棒，即$12+6×(3 - 1)= 24$根。
以此类推，搭第$n$个图形需要的火柴棒的根数为$12 + 6(n - 1)$。

1. 观察下列等式和相应图形(每个正方形边长为 $ 1 $),探究规律。
① $ 1 × \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} $
② $ 2 × \frac{2}{3} = 2 - \frac{2}{3} $

③ $ 3 × \frac{3}{4} = 3 - \frac{3}{4} $

④ $ 4 × \frac{4}{5} = 4 - \frac{4}{5} $

(1)写出第 $ 5 $ 个等式,并在下面给出的长方形上画出对应的图形。

(2)猜想并写出与第 $ 100 $ 个图形相对应的等式。

(1)第5个等式：$5×\frac{5}{6}=5-\frac{5}{6}$
(2)第100个图形对应的等式：$100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$

2.

用如图所示的曲尺形框(有三个方向),可以框住上表中的三个数,设被框住的三个数中第一个框内的最小的数为 $ a $,第二个框内的最小的数为 $ b $,第三个框内的最小的数为 $ c $。
(1)第一个框内的三个数中最小的数为 $ a $,这三个数的和是()。
第二个框内的三个数中最小的数为 $ b $,这三个数的和是()。
第三个框内的三个数中最小的数为 $ c $,这三个数的和是()。
(2)这三个框框住的数的和能是 $ 48 $ 吗？若能,分别求出最小的数 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。

(1) 3a+8；3b+15；3c+9
(2) 第一个框：3a+8=48，解得a=40/3，不是整数，不能；
第二个框：3b+15=48，解得b=11，能；
第三个框：3c+9=48，解得c=13，能。
a不存在，b=11，c=13。

(1) $3a+8$；$3b+9$；$3c+10$
(2) 能
$a=13$，$b=13$，$c=12$