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1. 以平面内一定点$M$为圆心,$5 cm$为半径作圆,这样的圆可以作( )
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.无数个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.无数个
答案
A
解析
确定一个圆需要圆心和半径两个条件。题目中已明确圆心为平面内一定点$M$，半径为$5\ cm$，所以这样的圆只能作$1$个。
A
A
2. 下列说法中正确的是( )
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.半圆是圆中最长的弧
D.直径是圆中最长的弦
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.半圆是圆中最长的弧
D.直径是圆中最长的弦
答案
D
3. 如图,$AB为\odot O$的直径,$C在\odot O$上,$D为BC$的中点,若$AC = 10 cm$,则$OD= $______.
答案
5 cm
解析
证明：连接 $BC$。
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle ACB = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $D$ 为 $BC$ 的中点，$O$ 为 $AB$ 的中点，
∴ $OD$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。
∴ $OD = \frac{1}{2}AC$（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
∵ $AC = 10\ cm$，
∴ $OD = \frac{1}{2} × 10 = 5\ cm$。
$5\ cm$
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle ACB = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $D$ 为 $BC$ 的中点，$O$ 为 $AB$ 的中点，
∴ $OD$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。
∴ $OD = \frac{1}{2}AC$（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
∵ $AC = 10\ cm$，
∴ $OD = \frac{1}{2} × 10 = 5\ cm$。
$5\ cm$
4. 在平面直角坐标系中有两点$A(4,0)$,$B(0,3)$,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$x轴于点C$,则点$C$的坐标为______.
答案
(-1,0)或(9,0)
解析
∵点$A(4,0)$，$B(0,3)$，
$\therefore AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$。
以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，交$x$轴于点$C$，设点$C$的坐标为$(x,0)$。
$\because AC = AB = 5$，
$\therefore |x - 4| = 5$，
$\therefore x - 4 = 5$或$x - 4 = -5$，
解得$x = 9$或$x = -1$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(-1,0)$或$(9,0)$。
5. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,半径$OC\perp AB$,过$CO的中点D作DE// AB$,交$\odot O于点E$,连接$EO$,则$\angle EOC$的度数为______度.
答案
60
解析
解：连接 $EO$。
因为 $OC \perp AB$，$DE // AB$，所以 $DE \perp OC$，即 $\angle ODE = 90°$。
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OC = OE = r$。
因为 $D$ 是 $CO$ 的中点，所以 $OD = \frac{1}{2}OC = \frac{r}{2}$。
在 $Rt\triangle ODE$ 中，$\cos\angle EOD = \frac{OD}{OE} = \frac{\frac{r}{2}}{r} = \frac{1}{2}$，
所以 $\angle EOD = 60°$，即 $\angle EOC = 60°$。
60
因为 $OC \perp AB$，$DE // AB$，所以 $DE \perp OC$，即 $\angle ODE = 90°$。
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OC = OE = r$。
因为 $D$ 是 $CO$ 的中点，所以 $OD = \frac{1}{2}OC = \frac{r}{2}$。
在 $Rt\triangle ODE$ 中，$\cos\angle EOD = \frac{OD}{OE} = \frac{\frac{r}{2}}{r} = \frac{1}{2}$，
所以 $\angle EOD = 60°$，即 $\angle EOC = 60°$。
60
6. 如图,点$O$是同心圆的圆心,大圆半径$OA$,$OB分别交小圆于点C$,$D$,求证：$AB// CD$.
答案
证明：
∵ OA、OB是大圆半径，
∴ OA = OB，
∴ △OAB是等腰三角形，∠OAB = ∠OBA。
∵ OC、OD是小圆半径，
∴ OC = OD，
∴ △OCD是等腰三角形，∠OCD = ∠ODC。
在△OAB和△OCD中，
∠AOB = ∠COD（公共角），
∴ ∠OAB = （180° - ∠AOB）/2，
∠OCD = （180° - ∠COD）/2，
∴ ∠OAB = ∠OCD。
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
结论：AB//CD。
∵ OA、OB是大圆半径，
∴ OA = OB，
∴ △OAB是等腰三角形，∠OAB = ∠OBA。
∵ OC、OD是小圆半径，
∴ OC = OD，
∴ △OCD是等腰三角形，∠OCD = ∠ODC。
在△OAB和△OCD中，
∠AOB = ∠COD（公共角），
∴ ∠OAB = （180° - ∠AOB）/2，
∠OCD = （180° - ∠COD）/2，
∴ ∠OAB = ∠OCD。
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
结论：AB//CD。
7. 如图,有一个正方形$ABCD$,你能画一个圆,使这个圆同时经过点$A$,$B$,$C$,$D$吗？试试看,如果能,指出这个圆的圆心的位置,并说出该圆的半径与该正方形的对角线的关系；如果不能,说明理由.
答案
存在,圆心为对角线交点,圆的半径是正方形对角线长的一半
解析
能画一个圆同时经过点$A$，$B$，$C$，$D$。
圆心为正方形$ABCD$对角线$AC$与$BD$的交点。
圆的半径是正方形对角线长的一半。
圆心为正方形$ABCD$对角线$AC$与$BD$的交点。
圆的半径是正方形对角线长的一半。
