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1. 如果$\triangle ABC$三边长$a,b,c$分别是下列各组数,那么不能组成直角三角形的是(
A.$a = 8,b = 15,c = 17$
B.$a = 7,b = 12,c = 15$
C.$a = 7,b = 24,c = 25$
D.$a = 9,b = 12,c = 15$
B
)A.$a = 8,b = 15,c = 17$
B.$a = 7,b = 12,c = 15$
C.$a = 7,b = 24,c = 25$
D.$a = 9,b = 12,c = 15$
答案
B
解析
A. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，能组成直角三角形。
B. $7^2 + 12^2 = 49 + 144 = 193$，$15^2 = 225$，$193 \neq 225$，不能组成直角三角形。
C. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，能组成直角三角形。
D. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，能组成直角三角形。
B
B. $7^2 + 12^2 = 49 + 144 = 193$，$15^2 = 225$，$193 \neq 225$，不能组成直角三角形。
C. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，能组成直角三角形。
D. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，能组成直角三角形。
B
2. 分别以下列各组数为一个三角形的边长:①6,8,10;②5,12,13;③8,10,17;④4,5,6. 其中能构成直角三角形的有(
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
C
)A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
答案
C
解析
①$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，能构成直角三角形；
②$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，能构成直角三角形；
③$8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164 \neq 17^2 = 289$，不能构成直角三角形；
④$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 6^2 = 36$，不能构成直角三角形。
能构成直角三角形的有2组。
C
②$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，能构成直角三角形；
③$8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164 \neq 17^2 = 289$，不能构成直角三角形；
④$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 6^2 = 36$，不能构成直角三角形。
能构成直角三角形的有2组。
C
3. 如图1,在由单位正方形形成的网格图中有$AB,CD,EF,GH$四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是(
A.$CD,EF,GH$
B.$AB,EF,GH$
C.$AB,CD,GH$
D.$AB,CD,EF$
B
)A.$CD,EF,GH$
B.$AB,EF,GH$
C.$AB,CD,GH$
D.$AB,CD,EF$
答案
B
4. 三角形的三条边长分别为$a,b,c$,满足等式$(a + b)^2 - c^2 = 2ab$,则此三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
B
解析
$(a + b)^2 - c^2 = 2ab$
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
$a^2 + b^2 = c^2$
此三角形是直角三角形
B
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
$a^2 + b^2 = c^2$
此三角形是直角三角形
B
1. 在$\triangle ABC$中,三边的长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$,则它的面积是
$\frac{1}{2}\sqrt{2}$
.答案
$\frac{1}{2}\sqrt{2}$
解析
$\because 1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 + 2 = 3 = (\sqrt{3})^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，直角边为$1$和$\sqrt{2}$。$\therefore$面积为$\frac{1}{2} × 1 × \sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$。$\frac{1}{2}\sqrt{2}$
2. 三角形的两边长分别是6和8,要使这个三角形是直角三角形,则第三边长应是
10或$\sqrt{28}$
.答案
10或$\sqrt{28}$
解析
当6和8为直角边时，第三边长为$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$；当8为斜边，6为直角边时，第三边长为$\sqrt{8^{2}-6^{2}}=\sqrt{28}$。10或$\sqrt{28}$
3. 如图2,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个形状、大小完全一样的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形. 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为$a,b$,那么$(a + b)^2$的值是
25
.答案
25
解析
由题意得，大正方形面积为$13$，则大正方形边长的平方为$13$，即$a^{2}+b^{2}=13$；小正方形面积为$1$，则小正方形边长为$1$，又因为小正方形边长为$b - a$（$b ＞ a$），所以$(b - a)^{2}=1$，展开得$b^{2}-2ab + a^{2}=1$。
将$a^{2}+b^{2}=13$代入上式，得$13 - 2ab=1$，解得$ab = 6$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=13 + 2×6=25$。
25
将$a^{2}+b^{2}=13$代入上式，得$13 - 2ab=1$，解得$ab = 6$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=13 + 2×6=25$。
25
4. 图3 - 1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个形状、大小完全一样的直角三角形围成的. 若$AC = 6,BC = 5$,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3 - 2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是
76
.答案
76
解析
延长后的直角边长度为$6×2 = 12$。
每个直角三角形中，另一直角边$BC = 5$，延长后的直角边为$12$，则“数学风车”的外围每个边为直角三角形的斜边，其长度为$\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
“数学风车”由4个这样的斜边和4条延长部分的直角边组成，外围周长为$4×13+4×6 = 52 + 24=76$。
76
每个直角三角形中，另一直角边$BC = 5$，延长后的直角边为$12$，则“数学风车”的外围每个边为直角三角形的斜边，其长度为$\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
“数学风车”由4个这样的斜边和4条延长部分的直角边组成，外围周长为$4×13+4×6 = 52 + 24=76$。
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