1. 将多项式 $3x^{2}-6x + 3$ 分解因式,下列结果正确的是()
A.$3(x^{2}-2x)$
B.$3x(x - 2)$
C.$3(x^{2}-2x + 1)$
D.$3(x - 1)^{2}$

D

原式 $3x^{2} - 6x + 3$ 首先提取公因式 $3$，得到 $3(x^{2} - 2x + 1)$。
观察括号内的多项式 $x^{2} - 2x + 1$，它是一个完全平方多项式，即 $(x - 1)^{2}$。
因此，原式可以进一步分解为 $3(x - 1)^{2}$。
对比选项，发现选项 D 与我们的结果一致。

2. 把 $a^{3}-2a^{2}+a$ 分解因式,结果正确的是()
A.$a(a - 1)^{2}$
B.$a(a^{2}-2a)$
C.$a(a + 1)(a - 1)$
D.$a^{2}(a - 2)+a$

A

首先，提取公因式$a$，得到$a(a^{2}-2a+1)$。然后，观察括号内的部分，它是一个完全平方公式，即$(a - 1)^{2}$，所以原式可以进一步分解为$a(a - 1)^{2}$。

3. 下列因式分解正确的是()
A.$4a^{2}-1= (4a + 1)(4a - 1)$
B.$-a^{2}b + 2ab= -ab(a + 2)$
C.$a^{2}-6ab-9b^{2}= (a - 3b)^{2}$
D.$a^{2}-8a + 16= (a - 4)^{2}$

D

A. 使用平方差公式 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，则 $4a^2 - 1=(2a)^2 - 1^2=(2a + 1)(2a - 1)\neq(4a + 1)(4a - 1)$，所以 A 选项错误。
B. 对 $-a^{2}b + 2ab$ 提取公因式 $-ab$，可得 $-a^{2}b + 2ab=-ab(a - 2)\neq -ab(a + 2)$，所以 B 选项错误。
C. 对于完全平方公式 $(x\pm y)^2=x^2\pm2xy + y^2$，在 $a^{2}-6ab - 9b^{2}$ 中，$a^{2}-6ab - 9b^{2}\neq(a - 3b)^{2}=a^{2}-6ab + 9b^{2}$，所以 C 选项错误。
D. 根据完全平方公式，$a^{2}-8a + 16=a^{2}-2×4× a+4^{2}=(a - 4)^{2}$，所以 D 选项正确。

4. 如果 $a + b = 3$,$ab = 1$,那么 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$ 的值为()
A.$0$
B.$1$
C.$4$
D.$9$

D

首先，将原式 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$ 进行因式分解，提取公因式 $ab$，得到：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
观察 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，这是一个完全平方公式，即 $(a + b)^{2}$，所以原式可以进一步化简为：
$ab(a + b)^{2}$
根据题目条件，$a + b = 3$ 和 $ab = 1$，代入上面的表达式，得到：
$1 × 3^{2} = 9$

5. 分解因式：
(1) $3x^{2}-6xy + 3y^{2}$；
(2) $x^{3}+2x^{2}y + xy^{2}$；
(3) $3x^{2}-12x + 12$；
(4) $3a^{2}-18a + 27$；
(5) $2b^{3}-4b^{2}+2b$；
(6) $x^{3}+6x^{2}+9x$；
(7) $-m + 2m^{2}-m^{3}$；
(8) $ma^{2}+4ma + 4m$。

(1)
$3x^{2}-6xy + 3y^{2}$
$=3(x^{2}-2xy + y^{2})$
$=3(x - y)^{2}$
(2)
$x^{3}+2x^{2}y + xy^{2}$
$=x(x^{2}+2xy + y^{2})$
$=x(x + y)^{2}$
(3)
$3x^{2}-12x + 12$
$=3(x^{2}-4x + 4)$
$=3(x - 2)^{2}$
(4)
$3a^{2}-18a + 27$
$=3(a^{2}-6a + 9)$
$=3(a - 3)^{2}$
(5)
$2b^{3}-4b^{2}+2b$
$=2b(b^{2}-2b + 1)$
$=2b(b - 1)^{2}$
(6)
$x^{3}+6x^{2}+9x$
$=x(x^{2}+6x + 9)$
$=x(x + 3)^{2}$
(7)
$-m + 2m^{2}-m^{3}$
$=-m(m^{2}-2m + 1)$
$=-m(m - 1)^{2}$
(8)
$ma^{2}+4ma + 4m$
$=m(a^{2}+4a + 4)$
$=m(a + 2)^{2}$