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14. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释.
(1)如图1可以用来解释完全平方公式:
(2)如图2,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为$m$的大正方形,两块是边长都为$n$的小正方形,五块是长为$m$,宽为$n$的全等小长方形,且$m\gt n$.
①观察图形,可以发现代数式$2m^{2}+5mn + 2n^{2}$可以分解因式为
②若每块小长方形的面积为$12 cm^{2}$,四个正方形的面积和为$50 cm^{2}$,试求$m - n$的值.
(3)将图3中边长为$a和b$的正方形拼在一起,$B,C,G$三点在同一条直线上,连接$BD和BF$,若这两个正方形的边长满足$a + b = 5$,$ab = 6$,请求出阴影部分的面积.
(1)如图1可以用来解释完全平方公式:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
,反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.(2)如图2,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为$m$的大正方形,两块是边长都为$n$的小正方形,五块是长为$m$,宽为$n$的全等小长方形,且$m\gt n$.
①观察图形,可以发现代数式$2m^{2}+5mn + 2n^{2}$可以分解因式为
$(2m+n)(m+2n)$
；②若每块小长方形的面积为$12 cm^{2}$,四个正方形的面积和为$50 cm^{2}$,试求$m - n$的值.
$1$
(3)将图3中边长为$a和b$的正方形拼在一起,$B,C,G$三点在同一条直线上,连接$BD和BF$,若这两个正方形的边长满足$a + b = 5$,$ab = 6$,请求出阴影部分的面积.
$\frac{9}{2}\ cm^2$
答案
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；(2)①$(2m+n)(m+2n)$；②$1$；(3)$\frac{9}{2}\ cm^2$
解析
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)①$(2m+n)(m+2n)$
②由题意得$mn=12$，$2m^2+2n^2=50$，即$m^2+n^2=25$。
$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=25-2×12=1$，$\because m＞n$，$\therefore m-n=1$
(3)$\because a+b=5$，$ab=6$，$\therefore a=3$，$b=2$（$a＞b$）。
阴影部分面积为$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}\ cm^2$
(2)①$(2m+n)(m+2n)$
②由题意得$mn=12$，$2m^2+2n^2=50$，即$m^2+n^2=25$。
$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=25-2×12=1$，$\because m＞n$，$\therefore m-n=1$
(3)$\because a+b=5$，$ab=6$，$\therefore a=3$，$b=2$（$a＞b$）。
阴影部分面积为$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}\ cm^2$
