1. 若分式$\frac{1}{a - 4}$有意义,则实数$a$的取值范围是()
A.$a = 4$
B.$a＞4$
C.$a＜4$
D.$a\neq4$

D

要使分式$\frac{1}{a - 4}$有意义，分母$a - 4$不能为0。
即$a - 4 \neq 0$，解得$a \neq 4$。

2. 若分式$\frac{2x - 4}{x + 1}$的值为0,则$x$的值为。

2

要使分式$\frac{2x - 4}{x + 1}$的值为0，则分子$2x - 4 = 0$且分母$x + 1 \neq 0$。由$2x - 4 = 0$，解得$x = 2$。当$x = 2$时，分母$x + 1 = 3 \neq 0$，所以$x = 2$。

1. 有下列各式：①$\frac{1}{2}(1 - x)$；②$\frac{2x}{\pi - 3}$；③$\frac{x^{2}-y^{2}}{2}$；④$\frac{3}{x + y}$；⑤$\frac{5y^{2}}{x}$。其中,是分式的有(填序号)。

④⑤

根据分式的定义，分母中含有字母的式子是分式。
①$\frac{1}{2}(1 - x)$是整式的乘法，不是分式；
②$\frac{2x}{\pi - 3}$分母中$\pi$是常数，不是字母，所以不是分式；
③$\frac{x^{2}-y^{2}}{2}$分母是常数$2$，不是分式；
④$\frac{3}{x + y}$分母中含有字母$x$和$y$，是分式；
⑤$\frac{5y^{2}}{x}$分母中含有字母$x$，是分式。
所以分式有④⑤。

2. 列式表示下列各量：
(1)王老师骑自行车用了$m$小时到达距离家$n$千米的学校,则王老师的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车可少用$0.2$小时,则公共汽车的平均速度是千米/小时。
(2)某班在一次考试中,有$m$人得90分,有$n$人得80分,那么这两部分人合在一起的平均分是。

(1) $\frac{n}{m}$；$\frac{n}{m - 0.2}$
(2) $\frac{90m + 80n}{m + n}$

(1) 王老师骑自行车的平均速度：根据速度等于路程除以时间，所以平均速度为 $\frac{n}{m}$ 千米/小时。
乘公共汽车的时间为 $m - 0.2$ 小时，所以公共汽车的平均速度为 $\frac{n}{m - 0.2}$ 千米/小时。
(2) 某班在一次考试中，得90分和80分的两部分人的总分为 $90m + 80n$，总人数为 $m + n$，所以这两部分人合在一起的平均分为$\frac{90m + 80n}{m + n}$ 。

3. (1)当$x$满足条件时,分式$\frac{1}{2x + 1}$有意义；
(2)当$x= $时,分式$\frac{5}{x^{2}-1}$没有意义。

(1)$x \neq -\frac{1}{2}$；(2)$\pm 1$

(1)分式有意义的条件是分母不为0，即$2x + 1 \neq 0$，解得$x \neq -\frac{1}{2}$；(2)分式没有意义的条件是分母为0，即$x^2 - 1 = 0$，解得$x = \pm 1$。

4. 下列各式中,无论$x$为何实数,分式都有意义的是()
A.$\frac{1}{2x + 1}$
B.$\frac{x + 1}{x^{2}+1}$
C.$\frac{3x + 1}{x^{2}}$
D.$\frac{x^{2}-1}{x - 1}$

B

分式有意义的条件是分母不为零，对各选项逐一分析：
A. 当$2x + 1 = 0$即$x = -\frac{1}{2}$时，分母为0，分式无意义。
B. 因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + 1\gt 0$，无论$x$取何实数，分母都不为0，分式总有意义。
C. 当$x^{2}=0$即$x = 0$时，分母为0，分式无意义。
D. 当$x - 1 = 0$即$x = 1$时，分母为0，分式无意义。

5. 若分式$\frac{b^{2}-1}{b^{2}-2b - 3}$的值为0,则$b$的值为()
A.$1$
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$2$

A

要使分式 $\frac{b^{2}-1}{b^{2}-2b-3}$ 的值为 $0$，必须满足分子为 $0$ 且分母不为 $0$。
1. 分子为 $0$：$b^{2} - 1 = 0$，解得 $b = \pm 1$。
2. 分母不为 $0$：$b^{2} - 2b - 3 \neq 0$，因式分解为 $(b - 3)(b + 1) \neq 0$，解得 $b \neq 3$ 且 $b \neq -1$。
综合以上，$b = 1$（排除 $b = -1$）。

6. $m$元/千克的糖果$x$千克,与$n$元/千克的糖果$y$千克混合成杂拌糖果,这样混合后的杂拌糖果的价格为()
A.$\frac{nx + my}{x + y}$元/千克
B.$\frac{mx + ny}{x + y}$元/千克
C.$\frac{m + n}{x + y}$元/千克
D.$\frac{1}{2}(\frac{x}{m}+\frac{y}{n})$元/千克

B

混合后的杂拌糖果总价格为 $mx + ny$ 元，总质量为 $x + y$ 千克。
根据单价等于总价格除以总质量，混合后的价格为 $\frac{mx + ny}{x + y}$ 元/千克。

7. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)$\frac{x - 2}{x^{2}-4}$；
(2)$\frac{x^{2}}{x - 1}+\frac{2x}{x + 3}$；
(3)$\frac{5 - x^{2}}{5|x| - 1}$。

(1)
要使分式$\frac{x - 2}{x^{2}-4}$有意义，则分母$x^{2}-4\neq0$，
由$x^{2}-4 = 0$可得$(x + 2)(x - 2)=0$，解得$x=\pm2$，
所以当$x\neq\pm2$时，分式$\frac{x - 2}{x^{2}-4}$有意义。
(2)
对于$\frac{x^{2}}{x - 1}+\frac{2x}{x + 3}$，要使其有意义，则$\frac{x^{2}}{x - 1}$与$\frac{2x}{x + 3}$都要有意义，
即$x - 1\neq0$且$x + 3\neq0$，
由$x - 1\neq0$得$x\neq1$，由$x + 3\neq0$得$x\neq - 3$，
所以当$x\neq1$且$x\neq - 3$时，分式$\frac{x^{2}}{x - 1}+\frac{2x}{x + 3}$有意义。
(3)
要使分式$\frac{5 - x^{2}}{5|x| - 1}$有意义，则分母$5|x| - 1\neq0$，
即$5|x|\neq1$，$|x|\neq\frac{1}{5}$，
所以当$x\neq\pm\frac{1}{5}$时，分式$\frac{5 - x^{2}}{5|x| - 1}$有意义。