1. (★)一般地,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 通过配方可得 $ y = a(x + $$)^{2} + $$ $,所以抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴是直线 ,顶点坐标是 。

$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，$x =-\frac{b}{2a}$，$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$

对抛物线$y = ax^{2}+bx + c$进行配方：
$y=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c=a(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}})+c=a(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
所以抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$

2. (★)抛物线 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的对称轴是直线,顶点坐标是。

$x=h$；$(h,k)$

抛物线$y=a(x-h)^2 + k$是顶点式，根据顶点式的性质，其对称轴是直线$x=h$，顶点坐标是$(h,k)$。

3. (★)将二次函数 $ y = x^{2} - 6x + 2 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为【】
A.$ y = (x - 3)^{2} + 2 $
B.$ y = (x - 3)^{2} - 7 $
C.$ y = (x + 3)^{2} - 7 $
D.$ y = (x - 6)^{2} + 2 $

B

将二次函数 $y = x^{2} - 6x + 2$ 配方为顶点式，
$y = x^{2} - 6x + 2$
$= x^{2} - 6x + 9 - 9 + 2$
$= (x - 3)^{2} - 7$

4. (★)抛物线 $ y = x^{2} - 6x + 5 $ 的顶点坐标是【】
A.$ (3, -4) $
B.$ (3, 4) $
C.$ (-3, -4) $
D.$ (-3, 4) $

A

将抛物线方程 $y = x^2 - 6x + 5$ 配方为顶点式：
$y = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 4 = (x - 3)^2 - 4$，
因此顶点坐标为 $(3, -4)$。

5. (★)抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 2 $ 的开口方向是 ____,对称轴是直线 ____,顶点坐标是 ____。

开口方向向上，对称轴是$x = - 1$，顶点坐标是$(-1,-3)$（按题目要求依次填入对应空即可，这里整体呈现答案）。

对于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$，当$a＞0$时，抛物线开口向上，当$a＜0$时，抛物线开口向下，在抛物线$y = x^{2}+2x - 2$中，$a = 1＞0$，所以开口方向向上。
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，把$a = 1$，$b = 2$代入可得对称轴为$x =-\frac{2}{2×1}=-1$。
顶点坐标横坐标就是对称轴的值$x = - 1$，纵坐标$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，把$a = 1$，$b = 2$，$c=-2$代入可得$y=\frac{4×1×(-2)-2^{2}}{4×1}=\frac{-8 - 4}{4}=-3$，所以顶点坐标为$(-1,-3)$。

6. (★★)二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 22.1 - 17 所示,若点 $ A(1, y_{1}) $,$ B(2, y_{2}) $ 是它图象上的两点,则 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小关系是 。

$y_{1}＞y_{2}$

7. (★★)填表：

|二次函数|图象的对称轴|最大值或最小值|顶点坐标|
| $ y = x^{2} - 4x + 5 $| $x=2$ |最小值$1$|$(2,1)$|
| $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 3x + 5 $|$x=3$|最大值$\frac{23}{2}$|$(3,\frac{23}{2})$|
| $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 1 $|$x=2$|最小值$-1$|$(2,-1)$|
| $ y = -2x^{2} + x - 4 $|$x=\frac{1}{4}$|最大值$-\frac{31}{8}$|$(\frac{1}{4},-\frac{31}{8})$|

1. $y = x^2 - 4x + 5$：对称轴$x = -\frac{-4}{2×1} = 2$，开口向上有最小值，$y = 2^2 - 4×2 + 5 = 1$，顶点$(2,1)$。
2. $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 5$：对称轴$x = -\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})} = 3$，开口向下有最大值，$y = -\frac{1}{2}×3^2 + 3×3 + 5 = \frac{23}{2}$，顶点$(3,\frac{23}{2})$。
3. $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$：对称轴$x = -\frac{-2}{2×\frac{1}{2}} = 2$，开口向上有最小值，$y = \frac{1}{2}×2^2 - 2×2 + 1 = -1$，顶点$(2,-1)$。
4. $y = -2x^2 + x - 4$：对称轴$x = -\frac{1}{2×(-2)} = \frac{1}{4}$，开口向下有最大值，$y = -2×(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} - 4 = -\frac{31}{8}$，顶点$(\frac{1}{4},-\frac{31}{8})$。

8. (★★)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图 22.1 - 18 所示,给出以下结论：① $ a ＞ 0 $；②该函数的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称；③当 $ x = -1 $ 或 $ x = 3 $ 时,函数 $ y $ 的值都等于 0. 其中正确结论的个数是【 】


A.3
B.2
C.1
D.0

B

1. 判断结论①：
由二次函数图象开口向下，根据二次函数性质可知$a\lt0$，所以结论①$a\gt0$错误。
2. 判断结论②：
从图象可知，该二次函数图象的对称轴是一条垂直于$x$轴的直线，且抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。
根据对称轴公式$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$（$x_1$，$x_2$为抛物线与$x$轴两交点的横坐标），可得对称轴为$x=\frac{-1 + 3}{2}=1$，所以该函数的图象关于直线$x = 1$对称，结论②正确。
3. 判断结论③：
由图象可知，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，这意味着当$x = -1$或$x = 3$时，函数$y$的值都等于$0$，结论③正确。
综上，正确结论有②③，共$2$个。

9. (★★)在同一平面直角坐标系内,将函数 $ y = 2x^{2} + 4x + 1 $ 的图象沿 $ x $ 轴方向向右平移 2 个单位长度后再沿 $ y $ 轴向下平移 1 个单位长度,得到图象的顶点坐标是【】
A.$ (-1, 1) $
B.$ (1, -2) $
C.$ (2, -2) $
D.$ (1, -1) $

B

原函数为 $ y = 2x^2 + 4x + 1 $。
将其化为顶点式：
$ y = 2(x^2 + 2x) + 1 $
$ = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 $
$ = 2((x + 1)^2 - 1) + 1 $
$ = 2(x + 1)^2 - 2 + 1 $
$ = 2(x + 1)^2 - 1 $
顶点坐标为 $ (-1, -1) $。
将图象沿 $ x $ 轴方向向右平移 2 个单位长度，顶点横坐标加2，得到新顶点 $ (1, -1) $。
再沿 $ y $ 轴向下平移 1 个单位长度，顶点纵坐标减1，得到新顶点 $ (1, -2) $。

10. (★★)将抛物线 $ y = x^{2} - 2x + 3 $ 向下平移 $ m $ 个单位长度后,所得抛物线的顶点恰好落在 $ x $ 轴上,那么 $ m $ 的值为 。

2

原抛物线方程为 $ y = x^{2} - 2x + 3 $，通过配方得到顶点形式：
$ y = (x - 1)^{2} + 2 $，
顶点坐标为 $ (1, 2) $。
向下平移 $ m $ 个单位后，新抛物线的顶点坐标为 $ (1, 2 - m) $。
因为新顶点在 $ x $ 轴上，所以 $ 2 - m = 0 $，
解得 $ m = 2 $。