11. (★★)某个喷水池喷出的抛物线形水柱的高度 $ y(m) $ 和水平距离 $ x(m) $ 之间的函数关系式为 $ y = -x^{2} + 4x + 2 $,则喷出的水柱能达到的最大高度为 。

$6$

首先，将二次函数$y = -x^{2} + 4x + 2$进行配方，得到$y = -(x - 2)^{2} + 6$。
由于二次项系数为负，所以函数开口向下，因此函数在$x = 2$处取得最大值，即$y_{max} = 6$。
所以，喷出的水柱能达到的最大高度为$6m$。

12. (★)用配方法将二次函数 $ y = x^{2} - 8x - 9 $ 化为 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为【】
A.$ y = (x - 4)^{2} + 7 $
B.$ y = (x - 4)^{2} - 25 $
C.$ y = (x + 4)^{2} + 7 $
D.$ y = (x + 4)^{2} - 25 $

B

原式 $y = x^2 - 8x - 9$
配方得：
$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 - 9$
$y = (x - 4)^2 - 25$

13. (★★)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $,其中 $ a, b, c $ 满足 $ a + b + c = 0 $ 和 $ 9a - 3b + c = 0 $,则该二次函数图象的对称轴是直线【】
A.$ x = -2 $
B.$ x = -1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = 1 $

B

已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 满足 $a + b + c = 0$ 和 $9a - 3b + c = 0$。
根据题意，当 $x = 1$ 时，$y = a + b + c = 0$；当 $x = -3$ 时，$y = 9a - 3b + c = 0$。
因此，二次函数图象经过点 $(1, 0)$ 和 $(-3, 0)$。
对称轴公式为 $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$，代入 $x_1 = 1$，$x_2 = -3$，得对称轴为 $x = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$。

14. (★★)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 5 $ 的一个根是 2,且二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴是直线 $ x = 2 $,则抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点坐标为 。

$(2,5)$（以填空形式直接填写坐标，题目已指定填空形式）

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 5$ 的一个根是 $2$，将 $x=2$ 代入方程得：
$4a + 2b + c = 5 \quad (1)$，
又因为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴是直线 $x = 2$，根据对称轴公式 $x = -\frac{b}{2a}$，得：
$-\frac{b}{2a} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -4a \quad (2)$，
将式 (2) 代入式 (1) 中，得：
$4a + 2(-4a) + c = 5 \quad \Rightarrow \quad -4a + c = 5 \quad \Rightarrow \quad c = 4a + 5 \quad (3)$，
抛物线的顶点坐标为 $(2, y)$，其中 $y$ 为顶点的纵坐标，根据顶点坐标公式 $y = c - \frac{b^2}{4a}$，将式 (2) 和式 (3) 代入得：
$y = (4a + 5) - \frac{(-4a)^2}{4a} = 4a + 5 - 4a = 5$，
因此，抛物线的顶点坐标为 $(2, 5)$。

15. (★★★)用描点法画二次函数的图象时,列了如下表格：

根据表格中的信息回答问题：该二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 在 $ x = 3 $ 时,$ y = $。

$-4$

根据表格提供的信息，可以观察到二次函数在$x=1$时，$y=-2$；在$x=0$及$x=2$时，$y=-2\frac{1}{2}$。
由此可知，函数的对称轴是$x=1$。
因为二次函数在对称轴两侧对称，$x=3$与$x=-1$关于对称轴对称，所以$x=3$时的函数值与$x=-1$时的函数值相同。
由表格可知，$x=-1$时，$y=-4$。
因此，$x=3$时，$y=-4$。

16. (★★)(2023·丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒,经过 $ t $(秒)时球距离地面的高度 $ h $(米)适用公式 $ h = 10t - 5t^{2} $,那么球弹起后又回到地面所花的时间 $ t $(秒)是【】
A.5
B.10
C.1
D.2

D

球弹起后回到地面时，高度 $h = 0$。
代入公式 $h = 10t - 5t^2$，得：
$10t - 5t^2 = 0$
$5t(2 - t) = 0$
解得 $t = 0$ 或 $t = 2$。
$t = 0$ 为初始时刻，舍去，故 $t = 2$。

17. (★★)(2023·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = x^{2} + mx + m^{2} - m $($ m $ 为常数)的图象经过点 $ (0, 6) $,其对称轴在 $ y $ 轴左侧,则该二次函数有【】
A.最大值 5
B.最大值 $ \frac{15}{4} $
C.最小值 5
D.最小值 $ \frac{15}{4} $

D

∵二次函数$y = x^2 + mx + m^2 - m$过点$(0,6)$，
∴将$(0,6)$代入得$m^2 - m = 6$，即$m^2 - m - 6 = 0$，
解得$m = 3$或$m = -2$。
∵对称轴$x = -\frac{m}{2}$在$y$轴左侧，
∴$-\frac{m}{2} ＜ 0$，即$m ＞ 0$，故$m = 3$。
∴二次函数解析式为$y = x^2 + 3x + 6$。
∵$a = 1 ＞ 0$，抛物线开口向上，函数有最小值。
配方得$y = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{15}{4}$，
∴最小值为$\frac{15}{4}$。

18. (★★★)(2023·营口)如图 22.1 - 19,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3, 0) $ 和点 $ B(1, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 下列说法：① $ abc ＜ 0 $；②抛物线的对称轴为直线 $ x = -1 $；③当 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 时,$ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $；④当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；⑤ $ am^{2} + bm \leq a - b $($ m $ 为任意实数). 其中正确的个数是【】


A.1
B.2
C.3
D.4

C

由抛物线与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，得对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，故②正确；
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$，对称轴$x=-1=-\frac{b}{2a}$，则$b=2a＜0$，与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$，$\therefore abc=(负)(负)(正)=正＞0$，故①错误；
当$-3＜x＜1$时，抛物线在x轴上方，$\therefore -3＜x＜0$时，$y＞0$，故③正确；
抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，当$x＞-1$时，y随x增大而减小，故$x＞1$时y随x增大而减小，④错误；
抛物线顶点为最大值点，对任意实数m，$am^2+bm+c\leq a(-1)^2+b(-1)+c$，化简得$am^2+bm\leq a-b$，故⑤正确。
综上，正确的有②③⑤，共3个。