15. 先化简,再求值：$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}$,其中$x = 2$.

解：原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} \cdot \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
$=\frac{x - (x - 1)}{x(x - 1)}$
$=\frac{1}{x(x - 1)}$
当$x=2$时，原式$=\frac{1}{2×(2 - 1)}=\frac{1}{2}$

16. 如图所示,在正方形网格中,$\triangle ABC$的顶点在格点上,请利用格点和无刻度直尺完成下面的作图(保留作图痕迹).
(1)在图①中,作$\triangle ABC$的高BD；
(2)在图②中,作$\triangle ABC$的中线BE.

【解析】：
本题主要考查三角形高和中线的作法，利用网格特点，通过格点来构造直角三角形，从而确定高和中线的位置。
(1)作$\triangle ABC$的高$BD$：
利用网格特点，找到点$B$到$AC$的垂线段$BD$。具体做法是，通过观察网格，找到能使$BD$垂直于$AC$的格点$D$，连接$BD$，则$BD$就是所求的高。
(2)作$\triangle ABC$的中线$BE$：
先找到$AC$的中点$E$，由于在网格中，$A$、$C$的坐标容易确定，通过数格子可以找到$AC$中点$E$的位置（$E$的横坐标为$A$、$C$横坐标之和的一半，纵坐标为$A$、$C$纵坐标之和的一半），连接$BE$，则$BE$就是所求的中线。
【答案】：
(1)图略（过点$B$作$AC$的垂线，垂足为$D$，$BD$即为所求的高）；
(2)图略（找到$AC$中点$E$，连接$BE$，$BE$即为所求的中线）。

17. 如图所示,点E,F在AB上,$AD = BC$,$\angle A = \angle B$,$AE = BF$. 求证$\triangle ADF \cong \triangle BCE$.

【解析】：
本题可根据已知条件，通过等式$AE = BF$推导出$AF = BE$，再结合$AD = BC$，$\angle A = \angle B$，利用全等三角形的判定定理“边角边”（SAS）来证明$\triangle ADF \cong \triangle BCE$。
【答案】：
证明：
∵$AE = BF$，
∴$AE + EF = BF + EF$，即$AF = BE$。
在$\triangle ADF$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases}AD = BC \\ \angle A = \angle B \\ AF = BE\end{cases}$
∴$\triangle ADF \cong \triangle BCE(SAS)$。

18. 如图所示,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle CAB$的平分线交BC于点D. 又DE是AB的垂直平分线,垂足为E.
(1)求$\angle CAD$的大小；
(2)若$BC = 3$,求DE的长.

(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°；
(2)解：由(1)知∠CAD=∠DAB=∠B=30°，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
设DE=DC=x，则DB=BC-DC=3-x，
在Rt△DEB中，∠B=30°，
∴DE=1/2DB，
即x=1/2(3-x)，
解得x=1，
∴DE的长为1。