8. 使式子$\frac{x + 3}{x - 3} ÷ \frac{x + 5}{x - 4}$有意义的x的取值范围是.

解：要使原式有意义，需满足：
1. 分母不为0：$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$；
2. 除式的分子不为0：$x + 5 \neq 0$，解得$x \neq -5$；
3. 除式的分母不为0：$x - 4 \neq 0$，解得$x \neq 4$。
综上，x的取值范围是$x \neq 3$且$x \neq -5$且$x \neq 4$。
$x \neq 3$且$x \neq -5$且$x \neq 4$

9. 如图所示,已知$\angle B = \angle DEF$,$AB = DE$,要证明$\triangle ABC \cong \triangle DEF$,并且以“ASA”为依据,还要添加的条件为.

【解析】：
本题主要考察全等三角形的判定定理，特别是ASA（角-边-角）判定方法。
已知条件是$\angle B = \angle DEF$和$AB = DE$。
要以“ASA”为依据证明$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，我们还需要一个与已知边相邻的角相等。
观察图形，我们可以看到，如果添加条件$\angle A = \angle D$，那么我们就可以利用ASA判定方法，因为$\angle A$和$AB$相邻，$AB$和$\angle B$相邻，同样$\angle D$和$DE$相邻，$DE$和$\angle DEF$相邻。
【答案】：
$\angle A = \angle D$。

10. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AC = 4\ cm$,线段AB的垂直平分线ED交AC于点D. 若$\triangle BCD$的周长是6 cm,则BC的长为$cm$.

【解析】：本题可根据线段垂直平分线的性质，得到线段之间的等量关系，再结合$\triangle BCD$的周长来求解$BC$的长。
步骤一：根据线段垂直平分线的性质得到线段等量关系
已知$ED$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AD = BD$。
步骤二：分析$\triangle BCD$的周长
$\triangle BCD$的周长为$BC + CD + BD$，因为$AD = BD$，所以$\triangle BCD$的周长可转化为$BC + CD + AD$。
又因为$CD + AD = AC$，已知$AC = 4cm$，所以$\triangle BCD$的周长$BC + CD + AD = BC + AC$。
步骤三：计算$BC$的长
已知$\triangle BCD$的周长是$6cm$，即$BC + AC = 6cm$，$AC = 4cm$，将$AC = 4cm$代入$BC + AC = 6cm$，可得$BC + 4 = 6$，移项可得$BC = 6 - 4 = 2cm$。
【答案】：$2$

11. 如图所示,在$\triangle ABC$中,若$\triangle ABC$的面积为30,$BD = 2CD$,E是AC的中点,BE,AD相交于点F,则四边形DCEF的面积为____.

解：连接CF，设$S_{\triangle CDF}=x$，$S_{\triangle CEF}=y$。
因为$BD = 2CD$，$\triangle ABC$面积为30，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=20$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=10$，即$S_{\triangle AFD}+x=10$，故$S_{\triangle AFD}=10 - x$。
因为E是AC中点，所以$S_{\triangle AEF}=S_{\triangle CEF}=y$，$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CBE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=15$，即$S_{\triangle BCF}+y=15$。
又因为$BD = 2CD$，所以$S_{\triangle BFD}=2S_{\triangle CDF}=2x$，则$S_{\triangle BCF}=S_{\triangle BFD}+S_{\triangle CDF}=3x$，故$3x + y=15$。
在$\triangle ABD$中，$S_{\triangle ABF}+S_{\triangle BFD}=20$，$S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABE}-S_{\triangle AEF}=15 - y$，所以$15 - y + 2x=20$，即$2x - y=5$。
联立$\begin{cases}3x + y=15\\2x - y=5\end{cases}$，解得$x = 4$，$y = 3$。
因此，$S_{四边形DCEF}=S_{\triangle CDF}+S_{\triangle CEF}=x + y=7$。
答案：7

12. 如图所示,已知$\angle BOC = 60^{\circ}$,A是OB反向延长线上一点,$OA = 10\ cm$. 动点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发,沿OC以1 cm/s的速度移动. 如果点P,Q同时出发,用t(单位：s)表示移动的时间,那么当$t = $s时,$\triangle POQ$是以O为顶角顶点的等腰三角形.

解：由题意得，点P移动的距离为AP=2t cm，点Q移动的距离为OQ=t cm。
因为A是OB反向延长线上一点，OA=10 cm，所以当点P在AO上时（即P与O不重合时），OP=OA - AP=10 - 2t；当点P在AO的延长线上（即P在OB方向上）时，OP=AP - OA=2t - 10。
因为△POQ是以O为顶角顶点的等腰三角形，所以OP=OQ。
情况一：点P在AO上（此时0 ＜ t ≤ 5，当t=5时，P与O重合，不能构成三角形，故t ＜ 5），则OP=10 - 2t，OQ=t，所以10 - 2t = t，解得t = 10/3。
情况二：点P在AO的延长线上（此时t ＞ 5），则OP=2t - 10，OQ=t，所以2t - 10 = t，解得t=10。
综上，t=10/3或10。
答案：10/3或10

13. (1)计算：$(x + 2)^{2} - (x + 1)(x - 1)$；
(2)解分式方程：$\frac{3x}{x - 1} - \frac{2}{1 - x} = 1$.

【解析】：
(1)本题可根据完全平方公式和平方差公式分别展开式子，再进行整式的加减运算。
完全平方公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(2)本题可先将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的根进行检验。
【答案】：
(1)解：
原式$=(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 1)$
$=x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1$
$=4x + 5$
(2)解：
方程$\frac{3x}{x - 1} - \frac{2}{1 - x} = 1$可变形为$\frac{3x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1$。
方程两边同乘$(x - 1)$得：$3x + 2 = x - 1$。
移项得：$3x - x = -1 - 2$。
合并同类项得：$2x = -3$。
系数化为$1$得：$x = -\frac{3}{2}$。
检验：当$x = -\frac{3}{2}$时，$x - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2} \neq 0$，所以$x = -\frac{3}{2}$是原分式方程的解。

14. 先化简,再求值：$[a(a^{2}b^{2} - ab) - b(a^{2} - a^{3}b)] ÷ 2a^{2}b$,其中$a = -\frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{3}$.

解：$\begin{aligned}&[a(a^{2}b^{2} - ab) - b(a^{2} - a^{3}b)] ÷ 2a^{2}b\\=&(a^{3}b^{2} - a^{2}b - a^{2}b + a^{3}b^{2}) ÷ 2a^{2}b\\=&(2a^{3}b^{2} - 2a^{2}b) ÷ 2a^{2}b\\=&2a^{3}b^{2}÷2a^{2}b - 2a^{2}b÷2a^{2}b\\=&ab - 1\end{aligned}$
当$a = -\frac{1}{2}$，$b = \frac{1}{3}$时，原式$=(-\frac{1}{2})×\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{6} - 1 = -\frac{7}{6}$