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典例3 计算：
(1) $(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$；
(2) $(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$。
(1) $(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$；
(2) $(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$。
答案
解 (1)$(4ab^{3}-8a^{2}b^{2})÷ 4ab +2a(2a - b)$
$=b^{2}-2ab +4a^{2}-2ab$
$=b^{2}-4ab +4a^{2}.$
(2)$(15x^{2}y^{2}-2xy^{3}-4y^{4})÷ y^{2}-(5x -2y)(3x +2y)$
$=15x^{2}-2xy -4y^{2}-(15x^{2}+4xy -4y^{2})$
$=15x^{2}-2xy -4y^{2}-15x^{2}-4xy +4y^{2}$
$=-6xy.$
$=b^{2}-2ab +4a^{2}-2ab$
$=b^{2}-4ab +4a^{2}.$
(2)$(15x^{2}y^{2}-2xy^{3}-4y^{4})÷ y^{2}-(5x -2y)(3x +2y)$
$=15x^{2}-2xy -4y^{2}-(15x^{2}+4xy -4y^{2})$
$=15x^{2}-2xy -4y^{2}-15x^{2}-4xy +4y^{2}$
$=-6xy.$
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：
1. 第(1)题先分别计算两部分：①多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以4ab，把商相加；②单项式乘多项式：用2a分别乘(2a-b)的每一项，把积相加；最后合并同类项即可。
2. 第(2)题先分别计算两部分：①多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以y²，把商相加；②多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，合并后得到乘积；注意乘积前是减号，去括号时所有项要变号，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先算乘除运算：
$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab = 4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab = b^2 - 2ab$
$2a(2a - b) = 2a·2a - 2a·b = 4a^2 - 2ab$
再合并同类项：
原式$=b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab = b^2 - 4ab + 4a^2$
(2) 先算乘除运算：
$(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 = 15x^2y^2÷y^2 - 2xy^3÷y^2 - 4y^4÷y^2 = 15x^2 - 2xy - 4y^2$
$(5x - 2y)(3x + 2y) = 5x·3x + 5x·2y - 2y·3x - 2y·2y = 15x^2 + 10xy - 6xy - 4y^2 = 15x^2 + 4xy - 4y^2$
再去括号、合并同类项：
原式$=15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)$
$=15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2$
$=-6xy$
【答案】
(1) $b^2 - 4ab + 4a^2$；(2) $-6xy$
【知识点】
整式的混合运算，多项式除以单项式，多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是严格遵循运算顺序，熟练掌握整式乘除的运算法则，尤其要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确判断同类项再合并，避免因符号或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：
1. 第(1)题先分别计算两部分：①多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以4ab，把商相加；②单项式乘多项式：用2a分别乘(2a-b)的每一项，把积相加；最后合并同类项即可。
2. 第(2)题先分别计算两部分：①多项式除以单项式：将多项式的每一项分别除以y²，把商相加；②多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，合并后得到乘积；注意乘积前是减号，去括号时所有项要变号，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先算乘除运算：
$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab = 4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab = b^2 - 2ab$
$2a(2a - b) = 2a·2a - 2a·b = 4a^2 - 2ab$
再合并同类项：
原式$=b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab = b^2 - 4ab + 4a^2$
(2) 先算乘除运算：
$(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 = 15x^2y^2÷y^2 - 2xy^3÷y^2 - 4y^4÷y^2 = 15x^2 - 2xy - 4y^2$
$(5x - 2y)(3x + 2y) = 5x·3x + 5x·2y - 2y·3x - 2y·2y = 15x^2 + 10xy - 6xy - 4y^2 = 15x^2 + 4xy - 4y^2$
再去括号、合并同类项：
原式$=15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)$
$=15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2$
$=-6xy$
【答案】
(1) $b^2 - 4ab + 4a^2$；(2) $-6xy$
【知识点】
整式的混合运算，多项式除以单项式，多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是严格遵循运算顺序，熟练掌握整式乘除的运算法则，尤其要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确判断同类项再合并，避免因符号或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
典例4 先化简，再求值：
(1)$(x-2y)(x+2y)-(x-2y)^2$，其中$x=3,y=-1$；
(2)$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2+(2m)^3÷(-8m)$，其中$m^2+m-2=0$；
(3)$[(x+4y)(x-4y)-(x-3y)^2-3xy]÷(3y)$，其中$x=-\frac{1}{3}$，$y=-1$。
(1)$(x-2y)(x+2y)-(x-2y)^2$，其中$x=3,y=-1$；
(2)$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2+(2m)^3÷(-8m)$，其中$m^2+m-2=0$；
(3)$[(x+4y)(x-4y)-(x-3y)^2-3xy]÷(3y)$，其中$x=-\frac{1}{3}$，$y=-1$。
答案
解 (1)$(x -2y)(x +2y)-(x -2y)^{2}$
$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}-4xy +4y^{2})$
$=x^{2}-4y^{2}-x^{2}+4xy -4y^{2}$
$=4xy -8y^{2}.$
当$x=3,y=-1$时，
原式$=4×3×(-1)-8×(-1)^{2}=-20.$
(2)$(2m +1)(2m -1)-(m -1)^{2}+(2m)^{3}÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1-(m^{2}-2m +1)+(8m^{3})÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1 -m^{2}+2m -1 -m^{2}$
$=2m^{2}+2m -2.$
当$m^{2}+m -2=0$，
即$m^{2}+m=2$时，
原式$=2(m^{2}+m)-2=2×2 -2=2.$
(3)$[(x +4y)(x -4y)-(x -3y)^{2}-3xy]÷ (3y)$
$=[x^{2}-16y^{2}-(x^{2}-6xy +9y^{2})-3xy]÷ (3y)$
$=(x^{2}-16y^{2}-x^{2}+6xy -9y^{2}-3xy)÷ (3y)$
$=(-25y^{2}+3xy)÷ (3y)$
$=-\frac{25}{3}y +x$,
当$x=-\frac{1}{3},y=-1$时，
原式$=-\frac{25}{3}×(-1)+(-\frac{1}{3})$
$=8.$
$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}-4xy +4y^{2})$
$=x^{2}-4y^{2}-x^{2}+4xy -4y^{2}$
$=4xy -8y^{2}.$
当$x=3,y=-1$时，
原式$=4×3×(-1)-8×(-1)^{2}=-20.$
(2)$(2m +1)(2m -1)-(m -1)^{2}+(2m)^{3}÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1-(m^{2}-2m +1)+(8m^{3})÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1 -m^{2}+2m -1 -m^{2}$
$=2m^{2}+2m -2.$
当$m^{2}+m -2=0$，
即$m^{2}+m=2$时，
原式$=2(m^{2}+m)-2=2×2 -2=2.$
(3)$[(x +4y)(x -4y)-(x -3y)^{2}-3xy]÷ (3y)$
$=[x^{2}-16y^{2}-(x^{2}-6xy +9y^{2})-3xy]÷ (3y)$
$=(x^{2}-16y^{2}-x^{2}+6xy -9y^{2}-3xy)÷ (3y)$
$=(-25y^{2}+3xy)÷ (3y)$
$=-\frac{25}{3}y +x$,
当$x=-\frac{1}{3},y=-1$时，
原式$=-\frac{25}{3}×(-1)+(-\frac{1}{3})$
$=8.$
解析
【分析】
这三道题属于整式化简求值类题型，解题可按固定思路开展：①化简阶段：看到两数和乘两数差的结构优先用平方差公式，看到多项式的平方结构优先用完全平方公式，结合整式乘除、去括号法则展开式子，再合并同类项将原式化为最简，可大幅降低后续计算量；②求值阶段：第(1)(3)题直接将给定的未知数数值代入最简式计算即可，第(2)题已知含m的等式，无需单独求解m，采用整体代入的方法计算更简便，也能避免出错。
【解析】
(1) $(x -2y)(x +2y)-(x -2y)^{2}$
$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}-4xy +4y^{2})$
$=x^{2}-4y^{2}-x^{2}+4xy -4y^{2}$
$=4xy -8y^{2}.$
当$x=3,y=-1$时，
原式$=4×3×(-1)-8×(-1)^{2}=-20.$
(2) $(2m +1)(2m -1)-(m -1)^{2}+(2m)^{3}÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1-(m^{2}-2m +1)+(8m^{3})÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1 -m^{2}+2m -1 -m^{2}$
$=2m^{2}+2m -2.$
当$m^{2}+m -2=0$，即$m^{2}+m=2$时，
原式$=2(m^{2}+m)-2=2×2 -2=2.$
(3) $[(x +4y)(x -4y)-(x -3y)^2-3xy]÷ (3y)$
$=[x^{2}-16y^{2}-(x^{2}-6xy +9y^{2})-3xy]÷ (3y)$
$=(x^{2}-16y^{2}-x^{2}+6xy -9y^{2}-3xy)÷ (3y)$
$=(-25y^{2}+3xy)÷ (3y)$
$=-\frac{25}{3}y +x$,
当$x=-\frac{1}{3},y=-1$时，
原式$=-\frac{25}{3}×(-1)+(-\frac{1}{3})=8.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-20}$；(2) $\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
整式的混合运算，乘法公式应用，化简求值
【点评】
本题核心考查整式运算相关法则、公式的掌握程度，熟练运用平方差、完全平方公式是解题的基础，第(2)题的整体代入思想是整式求值类题目的常用技巧，掌握后可有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这三道题属于整式化简求值类题型，解题可按固定思路开展：①化简阶段：看到两数和乘两数差的结构优先用平方差公式，看到多项式的平方结构优先用完全平方公式，结合整式乘除、去括号法则展开式子，再合并同类项将原式化为最简，可大幅降低后续计算量；②求值阶段：第(1)(3)题直接将给定的未知数数值代入最简式计算即可，第(2)题已知含m的等式，无需单独求解m，采用整体代入的方法计算更简便，也能避免出错。
【解析】
(1) $(x -2y)(x +2y)-(x -2y)^{2}$
$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}-4xy +4y^{2})$
$=x^{2}-4y^{2}-x^{2}+4xy -4y^{2}$
$=4xy -8y^{2}.$
当$x=3,y=-1$时，
原式$=4×3×(-1)-8×(-1)^{2}=-20.$
(2) $(2m +1)(2m -1)-(m -1)^{2}+(2m)^{3}÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1-(m^{2}-2m +1)+(8m^{3})÷ (-8m)$
$=4m^{2}-1 -m^{2}+2m -1 -m^{2}$
$=2m^{2}+2m -2.$
当$m^{2}+m -2=0$，即$m^{2}+m=2$时，
原式$=2(m^{2}+m)-2=2×2 -2=2.$
(3) $[(x +4y)(x -4y)-(x -3y)^2-3xy]÷ (3y)$
$=[x^{2}-16y^{2}-(x^{2}-6xy +9y^{2})-3xy]÷ (3y)$
$=(x^{2}-16y^{2}-x^{2}+6xy -9y^{2}-3xy)÷ (3y)$
$=(-25y^{2}+3xy)÷ (3y)$
$=-\frac{25}{3}y +x$,
当$x=-\frac{1}{3},y=-1$时，
原式$=-\frac{25}{3}×(-1)+(-\frac{1}{3})=8.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-20}$；(2) $\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
整式的混合运算，乘法公式应用，化简求值
【点评】
本题核心考查整式运算相关法则、公式的掌握程度，熟练运用平方差、完全平方公式是解题的基础，第(2)题的整体代入思想是整式求值类题目的常用技巧，掌握后可有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
