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5.若分式“$\dfrac{x-1}{x^2 - ◯} · \dfrac{x+2}{x}$”可以进行约分化简，则“$◯$”不可以是（
A.1
B.$x$
C.$-x$
D.4
C
）.A.1
B.$x$
C.$-x$
D.4
答案
C
解析
【分析】
要判断“◯”不可以是哪个选项，首先明确分式可约分化简的条件：两个分式的分子与分母存在公因式。我们只需将每个选项的内容代入“◯”，对第一个分式的分母因式分解，再判断整个式子是否存在公因式，若不存在公因式则无法约分，即为要选的答案。
【解析】
分式可约分的前提是分子分母存在公因式，我们逐个代入选项分析：
A. 当◯=1时，第一个分式的分母为$x^2-1=(x-1)(x+1)$，与第一个分式的分子$x-1$有公因式$x-1$，可约分，不符合题意；
B. 当◯=$x$时，第一个分式的分母为$x^2-x=x(x-1)$，既与第一个分子$x-1$有公因式$x-1$，又与第二个分母$x$有公因式$x$，可约分，不符合题意；
C. 当◯=$-x$时，第一个分式的分母为$x^2-(-x)=x^2+x=x(x+1)$，此时整个式子的分子因式为$(x-1)(x+2)$，分母因式为$x(x+1)· x=x^2(x+1)$，无公因式，无法约分化简，符合题意；
D. 当◯=4时，第一个分式的分母为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，与第二个分式的分子$x+2$有公因式$x+2$，可约分，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式约分；因式分解；分式乘除
【点评】
本题考查分式约分的判断，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，代入选项后准确判断是否存在公因式，做题时要注意符号运算，避免符号出错导致误判。
【难度系数】
0.7
要判断“◯”不可以是哪个选项，首先明确分式可约分化简的条件：两个分式的分子与分母存在公因式。我们只需将每个选项的内容代入“◯”，对第一个分式的分母因式分解，再判断整个式子是否存在公因式，若不存在公因式则无法约分，即为要选的答案。
【解析】
分式可约分的前提是分子分母存在公因式，我们逐个代入选项分析：
A. 当◯=1时，第一个分式的分母为$x^2-1=(x-1)(x+1)$，与第一个分式的分子$x-1$有公因式$x-1$，可约分，不符合题意；
B. 当◯=$x$时，第一个分式的分母为$x^2-x=x(x-1)$，既与第一个分子$x-1$有公因式$x-1$，又与第二个分母$x$有公因式$x$，可约分，不符合题意；
C. 当◯=$-x$时，第一个分式的分母为$x^2-(-x)=x^2+x=x(x+1)$，此时整个式子的分子因式为$(x-1)(x+2)$，分母因式为$x(x+1)· x=x^2(x+1)$，无公因式，无法约分化简，符合题意；
D. 当◯=4时，第一个分式的分母为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，与第二个分式的分子$x+2$有公因式$x+2$，可约分，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式约分；因式分解；分式乘除
【点评】
本题考查分式约分的判断，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，代入选项后准确判断是否存在公因式，做题时要注意符号运算，避免符号出错导致误判。
【难度系数】
0.7
6.学过分式的乘除运算后，王老师给同学们出了这样一道题：当$x=2026$时，求代数式$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{2x - 2}{x + 1}$的值.小林一看马上说道：“太复杂了，直接代入计算需要很久的时间啊！”你能帮小林快速解决这个问题吗？请写出你的计算过程.
答案
解 原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)}=\frac{1}{2}$，
所以，当$x=2026$时，原式的值为$\frac{1}{2}$。
所以，当$x=2026$时，原式的值为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
遇到分式求值类题目，若直接代入大数值计算量较大，应优先选择先化简代数式再求值的思路：第一步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步对每个分式的分子、分母进行因式分解；第三步约去分子分母的公因式得到最简结果；最后判断最简结果是否与x的取值有关，代入即可快速得到答案。
【解析】
解：根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，先将原式转化为乘法运算，再对分子分母因式分解：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)}$
其中$x=2026$时，$x+1≠0$，$x-1≠0$，分式有意义，约去分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$后可得：
原式$=\frac{1}{2}$
因此当$x=2026$时，原式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题核心是遵循“先化简、再求值”的原则，可避免直接代入大数值计算的繁琐，本题化简后结果为常数，说明在分式有意义的前提下，代数式的值与x的取值无关。
【难度系数】
0.8
遇到分式求值类题目，若直接代入大数值计算量较大，应优先选择先化简代数式再求值的思路：第一步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步对每个分式的分子、分母进行因式分解；第三步约去分子分母的公因式得到最简结果；最后判断最简结果是否与x的取值有关，代入即可快速得到答案。
【解析】
解：根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，先将原式转化为乘法运算，再对分子分母因式分解：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)}$
其中$x=2026$时，$x+1≠0$，$x-1≠0$，分式有意义，约去分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$后可得：
原式$=\frac{1}{2}$
因此当$x=2026$时，原式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题核心是遵循“先化简、再求值”的原则，可避免直接代入大数值计算的繁琐，本题化简后结果为常数，说明在分式有意义的前提下，代数式的值与x的取值无关。
【难度系数】
0.8
7. 如图①，1号玉米的试验田是半径为R m的圆去掉外侧宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，2号玉米的试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田都收获了450 kg玉米.
(1)哪种玉米的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(1)哪种玉米的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案
解 (1) 1号玉米的试验田的面积是$π(R-1)^2 \mathrm{m}^2$，单位面积产量是$\frac{450}{π(R-1)^2} \mathrm{kg/m}^2$。
2号玉米的试验田的面积是$π(R^2-1)\mathrm{m}^2$，单位面积产量是$\frac{450}{π(R^2-1)} \mathrm{kg/m}^2$。
$\because R-1＞0$，
$\therefore R^2-1-(R-1)^2=2(R-1)＞0$，
$\therefore 0＜(R-1)^2＜R^2-1$，
$\therefore \frac{450}{π(R^2-1)}＜\frac{450}{π(R-1)^2}$。
$\therefore 1$号玉米的单位面积产量高。
(2) $\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)}$
$=\frac{450}{π(R-1)^2} · \frac{π(R^2-1)}{450}$
$=\frac{R+1}{R-1}$。
故高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。
2号玉米的试验田的面积是$π(R^2-1)\mathrm{m}^2$，单位面积产量是$\frac{450}{π(R^2-1)} \mathrm{kg/m}^2$。
$\because R-1＞0$，
$\therefore R^2-1-(R-1)^2=2(R-1)＞0$，
$\therefore 0＜(R-1)^2＜R^2-1$，
$\therefore \frac{450}{π(R^2-1)}＜\frac{450}{π(R-1)^2}$。
$\therefore 1$号玉米的单位面积产量高。
(2) $\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)}$
$=\frac{450}{π(R-1)^2} · \frac{π(R^2-1)}{450}$
$=\frac{R+1}{R-1}$。
故高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。解题步骤如下：第一步，先分别计算两块试验田的面积：1号试验田是半径为(R-1)m的圆，根据圆的面积公式可求出其面积；2号试验田是半径为R的大圆减去半径为1的小圆，用大圆面积减小圆面积即可求出其面积。第二步，结合总产量均为450kg，分别表示出两块地的单位面积产量。第三步，比较两个单位面积产量的大小：两个分式分子相同，只需比较分母的大小，用做差法判断两个分母的大小关系，即可得到单位面积产量的大小。第二问求倍数，用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，利用分式的除法法则和约分规则计算即可。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积：
1号玉米试验田的面积为$π (R-1)^2 \mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{450}{π (R-1)^2} \mathrm{kg/m}^2$；
2号玉米试验田的面积为$π R^2 - π × 1^2 = π (R^2 - 1) \mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{450}{π (R^2 - 1)} \mathrm{kg/m}^2$。
由题意可知$R＞1$，即$R-1＞0$，对两个分母做差：
$R^2 - 1 - (R-1)^2 = R^2 -1 - (R^2 -2R +1) = 2(R-1) ＞ 0$，
因此$0 ＜ (R-1)^2 ＜ R^2 -1$。
对于分子相同的正分数，分母越小分数值越大，因此$\frac{450}{π (R^2 -1)} ＜ \frac{450}{π (R-1)^2}$，即1号玉米的单位面积产量更高。
(2) 用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，即可求出倍数：
$\frac{450}{π (R-1)^2} ÷ \frac{450}{π (R^2 -1)}$
$= \frac{450}{π (R-1)^2} × \frac{π (R^2 -1)}{450}$
利用平方差公式分解$R^2 -1 = (R-1)(R+1)$，约分后得：
$= \frac{(R-1)(R+1)}{(R-1)^2} = \frac{R+1}{R-1}$
【答案】
(1) 1号玉米的单位面积产量高；
(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。
【知识点】
分式的大小比较；分式的乘除运算；圆的面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查分式的相关应用，解题的关键是正确表示出两块试验田的面积，再利用分式的性质比较大小、计算倍数，计算过程中要注意平方差公式在因式分解、约分中的应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。解题步骤如下：第一步，先分别计算两块试验田的面积：1号试验田是半径为(R-1)m的圆，根据圆的面积公式可求出其面积；2号试验田是半径为R的大圆减去半径为1的小圆，用大圆面积减小圆面积即可求出其面积。第二步，结合总产量均为450kg，分别表示出两块地的单位面积产量。第三步，比较两个单位面积产量的大小：两个分式分子相同，只需比较分母的大小，用做差法判断两个分母的大小关系，即可得到单位面积产量的大小。第二问求倍数，用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，利用分式的除法法则和约分规则计算即可。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积：
1号玉米试验田的面积为$π (R-1)^2 \mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{450}{π (R-1)^2} \mathrm{kg/m}^2$；
2号玉米试验田的面积为$π R^2 - π × 1^2 = π (R^2 - 1) \mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{450}{π (R^2 - 1)} \mathrm{kg/m}^2$。
由题意可知$R＞1$，即$R-1＞0$，对两个分母做差：
$R^2 - 1 - (R-1)^2 = R^2 -1 - (R^2 -2R +1) = 2(R-1) ＞ 0$，
因此$0 ＜ (R-1)^2 ＜ R^2 -1$。
对于分子相同的正分数，分母越小分数值越大，因此$\frac{450}{π (R^2 -1)} ＜ \frac{450}{π (R-1)^2}$，即1号玉米的单位面积产量更高。
(2) 用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，即可求出倍数：
$\frac{450}{π (R-1)^2} ÷ \frac{450}{π (R^2 -1)}$
$= \frac{450}{π (R-1)^2} × \frac{π (R^2 -1)}{450}$
利用平方差公式分解$R^2 -1 = (R-1)(R+1)$，约分后得：
$= \frac{(R-1)(R+1)}{(R-1)^2} = \frac{R+1}{R-1}$
【答案】
(1) 1号玉米的单位面积产量高；
(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。
【知识点】
分式的大小比较；分式的乘除运算；圆的面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查分式的相关应用，解题的关键是正确表示出两块试验田的面积，再利用分式的性质比较大小、计算倍数，计算过程中要注意平方差公式在因式分解、约分中的应用。
【难度系数】
0.7
