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典例1 下列说法错误的是().
A.在$y=2x+1$中，$y-1$与$x$成正比例关系
B.在$y=\frac{1}{x}+1$中，$y-1$与$x$成反比例关系
C.若$\frac{y}{x}=3$，则$x,y$成正比例关系
D.若$xy=0$，则$x,y$成反比例关系
举一反三 下列各选项中的两个量成反比例关系的是(
典例解析
A.在$y=2x+1$中，$y-1$与$x$成正比例关系
B.在$y=\frac{1}{x}+1$中，$y-1$与$x$成反比例关系
C.若$\frac{y}{x}=3$，则$x,y$成正比例关系
D.若$xy=0$，则$x,y$成反比例关系
举一反三 下列各选项中的两个量成反比例关系的是(
C
).典例解析
答案
举一反三答案 C
解析
【分析】
要判断两个量是否成反比例关系，首先需明确反比例关系的核心判定条件：一是两个量为相关联的变量，一个变化另一个也随之变化；二是两个量的乘积是固定的非零常数。解题时只需逐个验证每个选项是否满足上述两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个相关联的变量x、y满足$xy=k$（k为非零常数），则x和y成反比例关系。我们对各选项逐一分析：
A选项：工作总量÷工作时间=工作效率（定值），两个量的商为定值，成正比例关系，不符合要求；
B选项：长+宽=长方形周长÷2（定值），两个量的和为定值，乘积不固定，不成反比例关系，不符合要求；
C选项：速度×时间=路程（定值），两个量的乘积为非零定值，满足反比例关系的定义，符合要求；
D选项：小明的身高和体重没有固定的乘除对应关系，属于不相关联的量，不成比例关系，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定，正比例关系判定
【点评】
本题重点考查比例关系的判断，解题的关键是抓住正反比例的核心特征，正比例看商是否为非零定值，反比例看乘积是否为非零定值，注意和、差为定值的两个量都不成比例关系。
【难度系数】
0.7
要判断两个量是否成反比例关系，首先需明确反比例关系的核心判定条件：一是两个量为相关联的变量，一个变化另一个也随之变化；二是两个量的乘积是固定的非零常数。解题时只需逐个验证每个选项是否满足上述两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个相关联的变量x、y满足$xy=k$（k为非零常数），则x和y成反比例关系。我们对各选项逐一分析：
A选项：工作总量÷工作时间=工作效率（定值），两个量的商为定值，成正比例关系，不符合要求；
B选项：长+宽=长方形周长÷2（定值），两个量的和为定值，乘积不固定，不成反比例关系，不符合要求；
C选项：速度×时间=路程（定值），两个量的乘积为非零定值，满足反比例关系的定义，符合要求；
D选项：小明的身高和体重没有固定的乘除对应关系，属于不相关联的量，不成比例关系，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定，正比例关系判定
【点评】
本题重点考查比例关系的判断，解题的关键是抓住正反比例的核心特征，正比例看商是否为非零定值，反比例看乘积是否为非零定值，注意和、差为定值的两个量都不成比例关系。
【难度系数】
0.7
典例1
答案D
解析 A项中，由$y=2x+1$得到$y-1=2x$，则$y-1$与$x$成正比例关系，故该选项不符合题意；
B项中，由$y=\frac{1}{x}+1$得到$y-1=\frac{1}{x}$，即$y-1$与$x$成反比例关系，故该选项不符合题意；
A.圆的面积与它的半径
B.正方形的周长与它的边长
C.路程一定时，速度与时间
D.长方形的一条边确定时，周长与另一边
答案D
解析 A项中，由$y=2x+1$得到$y-1=2x$，则$y-1$与$x$成正比例关系，故该选项不符合题意；
B项中，由$y=\frac{1}{x}+1$得到$y-1=\frac{1}{x}$，即$y-1$与$x$成反比例关系，故该选项不符合题意；
A.圆的面积与它的半径
B.正方形的周长与它的边长
C.路程一定时，速度与时间
D.长方形的一条边确定时，周长与另一边
答案
D
解析
【分析】
要判断两个量的比例关系，首先明确判定规则：两种相关联的量，若比值（商）为定值则成正比例关系，若乘积为定值则成反比例关系，两者都不满足则既不是正比例也不是反比例关系。解题时我们逐一分析每个选项中两个量的对应关系，对照规则判断即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A项：对$y=2x+1$变形可得$y-1=2x$，即$\frac{y-1}{x}=2$，比值为定值，因此$y-1$与$x$成正比例关系，不符合题意；
B项：对$y=\frac{1}{x}+1$变形可得$y-1=\frac{1}{x}$，即$(y-1)· x=1$，乘积为定值，因此$y-1$与$x$成反比例关系，不符合题意；
C项：路程$s$一定时，速度$v$和时间$t$满足$v· t=s$，乘积为定值，因此速度与时间成反比例关系，不符合题意；
D项：设长方形确定的边长为$a$，另一边长为$b$，周长为$C$，则$C=2(a+b)=2b+2a$，可得$\frac{C}{b}=2+\frac{2a}{b}$，比值不是定值，$C· b=2b^2+2ab$，乘积也不是定值，因此周长与另一边既不成正比例也不成反比例关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定；反比例关系判定
【点评】
本题重点考查正反比例关系的判定，解题核心是牢记“比值一定为正比例、乘积一定为反比例”的判定规则，要注意区分带常数项的一次关系和正比例关系的差异，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
要判断两个量的比例关系，首先明确判定规则：两种相关联的量，若比值（商）为定值则成正比例关系，若乘积为定值则成反比例关系，两者都不满足则既不是正比例也不是反比例关系。解题时我们逐一分析每个选项中两个量的对应关系，对照规则判断即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A项：对$y=2x+1$变形可得$y-1=2x$，即$\frac{y-1}{x}=2$，比值为定值，因此$y-1$与$x$成正比例关系，不符合题意；
B项：对$y=\frac{1}{x}+1$变形可得$y-1=\frac{1}{x}$，即$(y-1)· x=1$，乘积为定值，因此$y-1$与$x$成反比例关系，不符合题意；
C项：路程$s$一定时，速度$v$和时间$t$满足$v· t=s$，乘积为定值，因此速度与时间成反比例关系，不符合题意；
D项：设长方形确定的边长为$a$，另一边长为$b$，周长为$C$，则$C=2(a+b)=2b+2a$，可得$\frac{C}{b}=2+\frac{2a}{b}$，比值不是定值，$C· b=2b^2+2ab$，乘积也不是定值，因此周长与另一边既不成正比例也不成反比例关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定；反比例关系判定
【点评】
本题重点考查正反比例关系的判定，解题核心是牢记“比值一定为正比例、乘积一定为反比例”的判定规则，要注意区分带常数项的一次关系和正比例关系的差异，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
2. 用代数式表示具有反比例关系的量
典例2 港珠澳大桥全长近55 km. 汽车行驶完全程所需的时间$t$(单位:h)与行驶的平均速度$v$(单位:km/h)之间的关系式为.
举一反三 圆柱的体积是100,圆柱的底面积$S$与高$h$的关系式是
C项中,因为$\frac{y}{x}=3$,所以$x,y$成正比例关系,故该选项不符合题意;
D项中,若$xy=0$,则$x,y$不成反比例关系,故该选项符合题意. 故选D.
典例2
答案 $t=\frac{55}{v}$
典例2 港珠澳大桥全长近55 km. 汽车行驶完全程所需的时间$t$(单位:h)与行驶的平均速度$v$(单位:km/h)之间的关系式为.
举一反三 圆柱的体积是100,圆柱的底面积$S$与高$h$的关系式是
$S=\frac{100}{h}$
.C项中,因为$\frac{y}{x}=3$,所以$x,y$成正比例关系,故该选项不符合题意;
D项中,若$xy=0$,则$x,y$不成反比例关系,故该选项符合题意. 故选D.
典例2
答案 $t=\frac{55}{v}$
答案
举一反三答案 $S=\frac{100}{h}$
解析
【分析】
解决列反比例关系式的问题，首先要回忆对应的基础等量关系：①行程问题中，路程=平均速度×行驶时间，当路程为固定值时，行驶时间与平均速度成反比例关系，把要求的时间t单独整理到等式一侧即可得到关系式；②圆柱体积问题中，圆柱体积=底面积×高，当体积为固定值时，底面积与高成反比例关系，同理把要求的底面积S单独整理到等式一侧即可。
【解析】
1. 典例2：
根据行程问题的等量关系：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，已知港珠澳大桥全长（路程）为55km，可得等式$v· t=55$，将等式两边同时除以$v$（$v＞0$），变形得$t=\frac{55}{v}$。
2. 举一反三：
根据圆柱体积公式：$\mathrm{圆柱体积}=\mathrm{底面积}× \mathrm{高}$，已知圆柱体积为100，可得等式$S· h=100$，将等式两边同时除以$h$（$h＞0$），变形得$S=\frac{100}{h}$。
【答案】
典例2：$t=\frac{55}{v}$；举一反三：$S=\frac{100}{h}$
【知识点】
反比例的意义、行程问题公式、圆柱体积公式
【点评】
本题是反比例关系应用的基础题型，解题核心是先确定固定不变的定值，再结合对应等量关系变形得到两个变量的反比例关系式，掌握常见基础等量关系是解题的前提。
【难度系数】
0.9
解决列反比例关系式的问题，首先要回忆对应的基础等量关系：①行程问题中，路程=平均速度×行驶时间，当路程为固定值时，行驶时间与平均速度成反比例关系，把要求的时间t单独整理到等式一侧即可得到关系式；②圆柱体积问题中，圆柱体积=底面积×高，当体积为固定值时，底面积与高成反比例关系，同理把要求的底面积S单独整理到等式一侧即可。
【解析】
1. 典例2：
根据行程问题的等量关系：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，已知港珠澳大桥全长（路程）为55km，可得等式$v· t=55$，将等式两边同时除以$v$（$v＞0$），变形得$t=\frac{55}{v}$。
2. 举一反三：
根据圆柱体积公式：$\mathrm{圆柱体积}=\mathrm{底面积}× \mathrm{高}$，已知圆柱体积为100，可得等式$S· h=100$，将等式两边同时除以$h$（$h＞0$），变形得$S=\frac{100}{h}$。
【答案】
典例2：$t=\frac{55}{v}$；举一反三：$S=\frac{100}{h}$
【知识点】
反比例的意义、行程问题公式、圆柱体积公式
【点评】
本题是反比例关系应用的基础题型，解题核心是先确定固定不变的定值，再结合对应等量关系变形得到两个变量的反比例关系式，掌握常见基础等量关系是解题的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下面几组量不成反比例关系的是(
A.三角形的面积一定,底与底边上的高
B.长方形的面积一定,长和宽
C.圆的周长一定,圆的直径和圆周率
D.比的前项一定,比的后项和比值
C
).A.三角形的面积一定,底与底边上的高
B.长方形的面积一定,长和宽
C.圆的周长一定,圆的直径和圆周率
D.比的前项一定,比的后项和比值
答案
1. C
解析
【分析】
要判断两种量是否成反比例关系，需紧扣反比例的定义：首先两种量必须是相关联的变量，一种量变化另一种量也随之变化；其次两种量对应的乘积为定值，两个条件同时满足才成反比例关系。解题时我们逐一分析每个选项的两个量是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
首先明确反比例关系的判定规则：两种相关联的变量，若它们的乘积为固定值，则这两种量成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，当面积$S$一定时，$底×高=2S$（定值），底和高是相关联的变量，因此成反比例关系，不符合题意。
B. 长方形面积公式为$S=长×宽$，当面积$S$一定时，$长×宽=S$（定值），长和宽是相关联的变量，因此成反比例关系，不符合题意。
C. 圆的周长公式为$C=πd$，其中圆周率$π$是固定不变的常量，不是变量。当周长$C$一定时，直径$d$也是固定值，不存在两个相关联的变量，因此不成反比例关系，符合题意。
D. 由比的定义可知：$前项÷后项=比值$，变形得$后项×比值=前项$，当前项一定时，后项和比值的乘积为定值，且二者是相关联的变量，因此成反比例关系，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定、圆的周长公式、比的意义
【点评】
本题核心考查反比例关系的判定，易错点在于容易忽略成反比例的前提是两个量都是会变化的相关联的量，圆周率是固定常量，不满足变量的要求。解题时要先判断两个量是否为相关联的变量，再验证乘积是否为定值，不要仅看乘积为定值就直接判定成反比例。
【难度系数】
0.7
要判断两种量是否成反比例关系，需紧扣反比例的定义：首先两种量必须是相关联的变量，一种量变化另一种量也随之变化；其次两种量对应的乘积为定值，两个条件同时满足才成反比例关系。解题时我们逐一分析每个选项的两个量是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
首先明确反比例关系的判定规则：两种相关联的变量，若它们的乘积为固定值，则这两种量成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，当面积$S$一定时，$底×高=2S$（定值），底和高是相关联的变量，因此成反比例关系，不符合题意。
B. 长方形面积公式为$S=长×宽$，当面积$S$一定时，$长×宽=S$（定值），长和宽是相关联的变量，因此成反比例关系，不符合题意。
C. 圆的周长公式为$C=πd$，其中圆周率$π$是固定不变的常量，不是变量。当周长$C$一定时，直径$d$也是固定值，不存在两个相关联的变量，因此不成反比例关系，符合题意。
D. 由比的定义可知：$前项÷后项=比值$，变形得$后项×比值=前项$，当前项一定时，后项和比值的乘积为定值，且二者是相关联的变量，因此成反比例关系，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定、圆的周长公式、比的意义
【点评】
本题核心考查反比例关系的判定，易错点在于容易忽略成反比例的前提是两个量都是会变化的相关联的量，圆周率是固定常量，不满足变量的要求。解题时要先判断两个量是否为相关联的变量，再验证乘积是否为定值，不要仅看乘积为定值就直接判定成反比例。
【难度系数】
0.7
2. 下列各选项中的两个量成反比例关系的是(
A.存入银行的利息和本金
B.在耕地面积一定的情况下,人均占有耕地面积与人口数
C.汽车行驶的时间与速度
D.电线的长度与其质量
B
).A.存入银行的利息和本金
B.在耕地面积一定的情况下,人均占有耕地面积与人口数
C.汽车行驶的时间与速度
D.电线的长度与其质量
答案
2. B
解析
【分析】
要判断两个量是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的核心特征：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且二者的乘积为固定值。解题时我们只需逐个分析选项中两个量的数量关系，判断是否满足“乘积一定”即可：首先排除不符合相关联要求的，再排除比值一定（成正比例）的，最后核对乘积是否为定值，就能找到正确选项。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的乘积是一个固定不变的数，则这两种量成反比例关系。我们逐个分析选项：
A选项：利息与本金的关系为$\mathrm{利息}=\mathrm{本金}×\mathrm{利率}×\mathrm{存期}$，当利率、存期固定时，$\frac{\mathrm{利息}}{\mathrm{本金}}=\mathrm{利率}×\mathrm{存期}$（定值），属于比值一定，二者成正比例关系，不符合要求。
B选项：人均占有耕地面积和人口数的关系为$\mathrm{人均占有耕地面积}×\mathrm{人口数}=\mathrm{耕地总面积}$，题目明确耕地面积一定，即二者乘积为定值，因此成反比例关系，符合要求。
C选项：速度和时间的关系为$\mathrm{速度}×\mathrm{时间}=\mathrm{路程}$，只有当路程固定时二者才成反比例，选项未说明路程一定，因此二者不成反比例关系，不符合要求。
D选项：同规格电线的质量和长度的关系为$\frac{\mathrm{质量}}{\mathrm{长度}}=\mathrm{单位长度电线的质量}$（定值），属于比值一定，二者成正比例关系，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 正比例关系判定
3. 常见数量关系
【点评】
本题考查正反比例关系的区分，解题的关键是牢牢抓住反比例关系“乘积为定值”的核心特征，分析选项时要注意是否隐含前提条件，不要忽略限定条件直接判断数量关系。
【难度系数】
0.7
要判断两个量是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的核心特征：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且二者的乘积为固定值。解题时我们只需逐个分析选项中两个量的数量关系，判断是否满足“乘积一定”即可：首先排除不符合相关联要求的，再排除比值一定（成正比例）的，最后核对乘积是否为定值，就能找到正确选项。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的乘积是一个固定不变的数，则这两种量成反比例关系。我们逐个分析选项：
A选项：利息与本金的关系为$\mathrm{利息}=\mathrm{本金}×\mathrm{利率}×\mathrm{存期}$，当利率、存期固定时，$\frac{\mathrm{利息}}{\mathrm{本金}}=\mathrm{利率}×\mathrm{存期}$（定值），属于比值一定，二者成正比例关系，不符合要求。
B选项：人均占有耕地面积和人口数的关系为$\mathrm{人均占有耕地面积}×\mathrm{人口数}=\mathrm{耕地总面积}$，题目明确耕地面积一定，即二者乘积为定值，因此成反比例关系，符合要求。
C选项：速度和时间的关系为$\mathrm{速度}×\mathrm{时间}=\mathrm{路程}$，只有当路程固定时二者才成反比例，选项未说明路程一定，因此二者不成反比例关系，不符合要求。
D选项：同规格电线的质量和长度的关系为$\frac{\mathrm{质量}}{\mathrm{长度}}=\mathrm{单位长度电线的质量}$（定值），属于比值一定，二者成正比例关系，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 正比例关系判定
3. 常见数量关系
【点评】
本题考查正反比例关系的区分，解题的关键是牢牢抓住反比例关系“乘积为定值”的核心特征，分析选项时要注意是否隐含前提条件，不要忽略限定条件直接判断数量关系。
【难度系数】
0.7
