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1. 下面是欣欣用三根火柴棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（
C
）。答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形的定义，明确三角形需要满足的三个核心条件：①由3条线段组成；②三条线段不在同一直线上；③三条线段首尾顺次连接，围成封闭图形。再将四个选项的图形依次和上述条件对比，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，逐一判断：
选项A：三根火柴棒未做到首尾顺次连接，图形不封闭，不符合三角形概念；
选项B：火柴棒存在突出的端点，未全部首尾相接，图形不封闭，不符合三角形概念；
选项C：三根火柴棒（线段）不在同一直线上，且首尾顺次连接形成封闭图形，符合三角形概念；
选项D：火柴棒端点未全部首尾相接，存在突出部分，不符合三角形概念。
【答案】
C
【知识点】
三角形的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握三角形定义的核心要素，不要忽略“首尾顺次连接”“封闭图形”这两个易错点。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形的定义，明确三角形需要满足的三个核心条件：①由3条线段组成；②三条线段不在同一直线上；③三条线段首尾顺次连接，围成封闭图形。再将四个选项的图形依次和上述条件对比，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，逐一判断：
选项A：三根火柴棒未做到首尾顺次连接，图形不封闭，不符合三角形概念；
选项B：火柴棒存在突出的端点，未全部首尾相接，图形不封闭，不符合三角形概念；
选项C：三根火柴棒（线段）不在同一直线上，且首尾顺次连接形成封闭图形，符合三角形概念；
选项D：火柴棒端点未全部首尾相接，存在突出部分，不符合三角形概念。
【答案】
C
【知识点】
三角形的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握三角形定义的核心要素，不要忽略“首尾顺次连接”“封闭图形”这两个易错点。
【难度系数】
0.8
2. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(
C
).答案
2. C
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的规则：有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形。只要能确定三角形中存在直角或钝角，就能直接判定类型；如果仅看到一个锐角，无法确定剩下的角中是否有直角或钝角，就不能判断类型。接下来逐个分析选项：A露出钝角，可判定为钝角三角形；B露出直角，可判定为直角三角形；C露出锐角，剩余角的类型无法确定，不能判断；D露出钝角，可判定为钝角三角形，因此选C。
【解析】
1. 三角形按角分类的判定规则：
若三角形存在直角，为直角三角形；
若三角形存在钝角，为钝角三角形；
若三个角均为锐角，为锐角三角形。
2. 逐个分析选项：
选项A：露出的内角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型；
选项B：露出的内角是直角，因此该三角形为直角三角形，可判断类型；
选项C：露出的内角是锐角，剩余两个内角的情况无法确定：可能剩余两个角都是锐角（即三角形为锐角三角形），也可能存在一个直角（直角三角形），也可能存在一个钝角（钝角三角形），因此无法判断三角形类型；
选项D：露出的内角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形分类的基础应用，解题的核心是明确仅知道三角形的一个锐角无法确定三角形的类型，只要观察到直角或钝角即可直接判定对应类型，是对基础概念的简单考查。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的规则：有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形。只要能确定三角形中存在直角或钝角，就能直接判定类型；如果仅看到一个锐角，无法确定剩下的角中是否有直角或钝角，就不能判断类型。接下来逐个分析选项：A露出钝角，可判定为钝角三角形；B露出直角，可判定为直角三角形；C露出锐角，剩余角的类型无法确定，不能判断；D露出钝角，可判定为钝角三角形，因此选C。
【解析】
1. 三角形按角分类的判定规则：
若三角形存在直角，为直角三角形；
若三角形存在钝角，为钝角三角形；
若三个角均为锐角，为锐角三角形。
2. 逐个分析选项：
选项A：露出的内角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型；
选项B：露出的内角是直角，因此该三角形为直角三角形，可判断类型；
选项C：露出的内角是锐角，剩余两个内角的情况无法确定：可能剩余两个角都是锐角（即三角形为锐角三角形），也可能存在一个直角（直角三角形），也可能存在一个钝角（钝角三角形），因此无法判断三角形类型；
选项D：露出的内角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形分类的基础应用，解题的核心是明确仅知道三角形的一个锐角无法确定三角形的类型，只要观察到直角或钝角即可直接判定对应类型，是对基础概念的简单考查。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,点$D,F$分别在线段$AB,AC$上,点$E$在线段$BF$上.
(1)图中共有多少个三角形?请用符号表示.
(2)写出以$E$为顶点的三角形.
(3)写出以$E$为顶点的角.
(1)图中共有多少个三角形?请用符号表示.
(2)写出以$E$为顶点的三角形.
(3)写出以$E$为顶点的角.
答案
解 （1）7 个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE。
（2）△AEF，△ADE，△BED，△AEB。
（3）∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF。
（2）△AEF，△ADE，△BED，△AEB。
（3）∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF。
解析
【分析】
解决本题需遵循有序计数的原则，避免计数时出现重复或遗漏：
(1) 数三角形时可按“从小到大”的顺序分类计数，先数单个小三角形，再数由多个小三角形组合而成的大三角形，也可固定一个顶点依次匹配另外两个顶点完成计数；
(2) 找以E为顶点的三角形，只需筛选三个顶点中包含E的三角形即可；
(3) 找以E为顶点的角，先确定所有以E为端点的射线，再按顺序两两组合，同时不要遗漏由多个小角拼成的角。
【解析】
(1) 按分类计数的方法统计：
单个小三角形：△ADE、△DEB、△AEF，共3个；
由2个小三角形拼成的三角形：△ABE、△ABF，共2个；
剩余独立的三角形：△BCF、△ABC，共2个；
总计$3+2+2=7$个，分别为$△ AEF$，$△ ADE$，$△ DEB$，$△ ABF$，$△ BCF$，$△ ABC$，$△ ABE$。
(2) 筛选顶点包含E的三角形，可得符合要求的三角形为$△ AEF$，$△ ADE$，$△ BED$，$△ AEB$。
(3) 以E为端点的射线有EB、ED、EA、EF，按顺序两两组合得到所有角：
相邻射线组成的角：$∠ DEB$、$∠ AED$、$∠ AEF$；
间隔1条射线的两条射线组成的角：$∠ AEB$、$∠ DEF$；
两端射线为EB、EF的角：$∠ BEF$；
综上以E为顶点的角为$∠ AEF$，$∠ AED$，$∠ DEB$，$∠ DEF$，$∠ AEB$，$∠ BEF$。
【答案】
(1) 7个，分别是$△ AEF$，$△ ADE$，$△ DEB$，$△ ABF$，$△ BCF$，$△ ABC$，$△ ABE$
(2) $△ AEF$，$△ ADE$，$△ BED$，$△ AEB$
(3) $∠ AEF$，$∠ AED$，$∠ DEB$，$∠ DEF$，$∠ AEB$，$∠ BEF$
【知识点】
三角形的概念，角的识别，有序计数
【点评】
本题属于基础几何计数类题目，解题的核心是掌握有序分类计数的方法，按照固定顺序枚举即可避免重复和遗漏，熟练掌握三角形、角的定义是解题的前提。
【难度系数】
0.9
解决本题需遵循有序计数的原则，避免计数时出现重复或遗漏：
(1) 数三角形时可按“从小到大”的顺序分类计数，先数单个小三角形，再数由多个小三角形组合而成的大三角形，也可固定一个顶点依次匹配另外两个顶点完成计数；
(2) 找以E为顶点的三角形，只需筛选三个顶点中包含E的三角形即可；
(3) 找以E为顶点的角，先确定所有以E为端点的射线，再按顺序两两组合，同时不要遗漏由多个小角拼成的角。
【解析】
(1) 按分类计数的方法统计：
单个小三角形：△ADE、△DEB、△AEF，共3个；
由2个小三角形拼成的三角形：△ABE、△ABF，共2个；
剩余独立的三角形：△BCF、△ABC，共2个；
总计$3+2+2=7$个，分别为$△ AEF$，$△ ADE$，$△ DEB$，$△ ABF$，$△ BCF$，$△ ABC$，$△ ABE$。
(2) 筛选顶点包含E的三角形，可得符合要求的三角形为$△ AEF$，$△ ADE$，$△ BED$，$△ AEB$。
(3) 以E为端点的射线有EB、ED、EA、EF，按顺序两两组合得到所有角：
相邻射线组成的角：$∠ DEB$、$∠ AED$、$∠ AEF$；
间隔1条射线的两条射线组成的角：$∠ AEB$、$∠ DEF$；
两端射线为EB、EF的角：$∠ BEF$；
综上以E为顶点的角为$∠ AEF$，$∠ AED$，$∠ DEB$，$∠ DEF$，$∠ AEB$，$∠ BEF$。
【答案】
(1) 7个，分别是$△ AEF$，$△ ADE$，$△ DEB$，$△ ABF$，$△ BCF$，$△ ABC$，$△ ABE$
(2) $△ AEF$，$△ ADE$，$△ BED$，$△ AEB$
(3) $∠ AEF$，$∠ AED$，$∠ DEB$，$∠ DEF$，$∠ AEB$，$∠ BEF$
【知识点】
三角形的概念，角的识别，有序计数
【点评】
本题属于基础几何计数类题目，解题的核心是掌握有序分类计数的方法，按照固定顺序枚举即可避免重复和遗漏，熟练掌握三角形、角的定义是解题的前提。
【难度系数】
0.9
4.如图,点 D,F 在线段 AB 上,∠ACD=90°,∠AEF=90°,且∠ADE 是锐角,写出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
答案
解 锐角三角形为△AED，直角三角形为△ACD，△AEF，钝角三角形为△ABC，△BDC，△DEF。
解析
【分析】
解题时先明确三角形按角分类的判定标准：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。第一步先找出图中所有的三角形，再结合已知条件和三角形外角的性质逐个判断每个三角形的类型：首先根据已知的两个直角确定直角三角形，再判断剩余三角形中是否存在钝角，最后剩下的即为锐角三角形。
【解析】
我们先明确分类标准，再逐个判断：
1. 直角三角形判定：
已知∠ACD=90°，因此△ACD含有直角，是直角三角形；
已知∠AEF=90°，因此△AEF含有直角，是直角三角形。
2. 锐角三角形判定：
△AED中，∠EAD为锐角，题目明确∠ADE是锐角，∠AED=∠AEF-∠DEF=90°-∠DEF＜90°，也是锐角，三个内角均为锐角，因此△AED是锐角三角形。
3. 钝角三角形判定：
①△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB＞90°，存在钝角，是钝角三角形；
②△BDC中，∠CDB是△ACD的外角，根据外角性质，∠CDB=∠ACD+∠CAD=90°+∠CAD＞90°，存在钝角，是钝角三角形；
③△DEF中，∠DFE是△AEF的外角，根据外角性质，∠DFE=∠EAF+∠AEF=∠EAF+90°＞90°，存在钝角，是钝角三角形。
【答案】
锐角三角形为△AED，直角三角形为△ACD，△AEF，钝角三角形为△ABC，△BDC，△DEF。
【知识点】
三角形按角分类；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形分类的基础题型，解题关键是先找全所有三角形，再结合已知角和外角性质判断各内角的类型，避免出现漏数三角形或错判角的类型的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三角形按角分类的判定标准：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。第一步先找出图中所有的三角形，再结合已知条件和三角形外角的性质逐个判断每个三角形的类型：首先根据已知的两个直角确定直角三角形，再判断剩余三角形中是否存在钝角，最后剩下的即为锐角三角形。
【解析】
我们先明确分类标准，再逐个判断：
1. 直角三角形判定：
已知∠ACD=90°，因此△ACD含有直角，是直角三角形；
已知∠AEF=90°，因此△AEF含有直角，是直角三角形。
2. 锐角三角形判定：
△AED中，∠EAD为锐角，题目明确∠ADE是锐角，∠AED=∠AEF-∠DEF=90°-∠DEF＜90°，也是锐角，三个内角均为锐角，因此△AED是锐角三角形。
3. 钝角三角形判定：
①△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB＞90°，存在钝角，是钝角三角形；
②△BDC中，∠CDB是△ACD的外角，根据外角性质，∠CDB=∠ACD+∠CAD=90°+∠CAD＞90°，存在钝角，是钝角三角形；
③△DEF中，∠DFE是△AEF的外角，根据外角性质，∠DFE=∠EAF+∠AEF=∠EAF+90°＞90°，存在钝角，是钝角三角形。
【答案】
锐角三角形为△AED，直角三角形为△ACD，△AEF，钝角三角形为△ABC，△BDC，△DEF。
【知识点】
三角形按角分类；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形分类的基础题型，解题关键是先找全所有三角形，再结合已知角和外角性质判断各内角的类型，避免出现漏数三角形或错判角的类型的错误。
【难度系数】
0.8
