典例1 如图,在△ABC中,点D,E分别在线段BC,AB上,AD与CE交于点F.
(1)图中有几个三角形?把它们一一写出来.
(2)在△ACF中,写出∠ACF所对的边.
(3)写出以线段BC为边的三角形.

规律方法 数三角形个数的方法:
(1)按图形形成的过程(即三角形形成的先后顺序)去数.
(2)从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数.
(3)先固定一个顶点,再变换另两个顶点去数.
注意:无论采用哪种方法,数三角形的个数时要做到不重不漏.

(1) 有8个三角形,分别是△AEF,△ABD,△AEC,△ABC,△AFC,△ACD,△CDF,△BCE.
(2) AF.
(3) △ABC,△BCE.

【分析】
(1) 数三角形个数时要做到不重不漏，可采用有序计数的方法：先数单个的小三角形，再数由多个小图形组合成的三角形，依次列举即可；(2) 三角形中一个角所对的边，指的是不包含这个角顶点的那条边，依据这个定义即可找出对应边；(3) 找以某线段为边的三角形，只要找出所有同时包含这条线段两个端点的三角形即可。
【解析】
(1) 按照从小到大的顺序有序计数：
单个小三角形有△AEF、△CDF；
由两个基础图形组合成的三角形有△AFC、△ABD、△AEC、△ACD、△BCE；
最大的三角形为△ABC；
合计共8个三角形，分别为△AEF、△ABD、△AEC、△ABC、△AFC、△ACD、△CDF、△BCE。
(2) 在△ACF中，∠ACF的顶点是点C，三角形中不包含点C的边为AF，因此∠ACF所对的边是AF。
(3) 同时包含线段BC两个端点B、C的三角形，第三个顶点分别为A、E，因此以BC为边的三角形是△ABC、△BCE。
【答案】
(1) 有8个三角形，分别是△AEF,△ABD,△AEC,△ABC,△AFC,△ACD,△CDF,△BCE。
(2) AF。
(3) △ABC,△BCE。
【知识点】
三角形的定义，三角形边与角的对应关系，图形计数
【点评】
本题是三角形的基础题型，主要考查三角形相关概念的理解和运用，解题的关键是掌握有序计数的方法，避免数图形时出现重复或遗漏，同时要准确把握三角形中角和对应边的关系。
【难度系数】
0.9

举一反三 如图，以E为顶点的三角形共有().


A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1. A

【分析】要解决数以E为顶点的三角形个数的问题，首先回忆三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形。解题时需以E为公共顶点，逐一寻找和E能构成三角形的另外两个顶点，且这两个顶点之间必须有线段相连，计数时要按顺序，避免漏数或多数。
【解析】观察图形可知，线段AC与BD相交于点E，逐个统计以E为顶点的三角形：
1. 点A、B、E可构成△ABE；
2. 点B、C、E可构成△BCE；
3. 点C、D、E可构成△CDE。
由于点A和点D之间没有线段连接，无法和E构成三角形，因此符合要求的三角形共有3个。
【答案】A
【知识点】三角形的识别
【点评】本题属于基础的几何计数题，解题核心是紧扣三角形的构成条件，按顺序枚举即可，注意不要把没有边连接的两个点和顶点E凑成三角形。
【难度系数】0.7

典例2 如图，$CD=CA=CB$，找出图中的等腰三角形。

解
∵ CD = CA = CB,
∴ △ABC,△BCD,△ACD为等腰三角形.

【分析】
首先明确等腰三角形的判定标准：有两条边相等的三角形是等腰三角形。接下来结合题目给出的CD=CA=CB的条件，将相等的线段两两配对，分别判断每对相等线段是否为同一个三角形的两条边，即可找出所有符合要求的等腰三角形。
【解析】
根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形为等腰三角形。
已知CD=CA=CB：
1. 因为CA=CB，CA、CB是△ABC的两条边，故△ABC是等腰三角形；
2. 因为CB=CD，CB、CD是△BCD的两条边，故△BCD是等腰三角形；
3. 因为CA=CD，CA、CD是△ACD的两条边，故△ACD是等腰三角形。
【答案】
△ABC、△BCD、△ACD
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对等腰三角形判定定义的掌握，解题时紧扣“两边相等的三角形是等腰三角形”的判定规则，结合已知的等长线段逐一排查即可，注意不要遗漏三角形。
【难度系数】
0.9

举一反三 如图,在三角形按边的相等关系分类图中,M,N分别表示的是().

A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
典例解析
典例1
解(1)有8个三角形,分别是△AEF,△ABD,△AEC,△ABC,△AFC,△ACD,△CDF,△BCE.
(2)AF.
(3)△ABC,△BCE.
典例2
解 ∵ CD = CA = CB, ∴ △ABC,△BCD,△ACD为等腰三角形.

2. B

【分析】
首先回忆三角形按边的相等关系的分类规则：三角形整体分为两大类，一类是三边都不相等的三角形，另一类是等腰三角形；其中等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子类，包含在等腰三角形的范围内。结合题图结构，大圆代表所有三角形，左半部分为三边都不相等的三角形，因此和它并列的右半部分M就是等腰三角形；而N在M的内部，是M的特殊类型，对应等边三角形，即可匹配选项得到答案。
【解析】
三角形按边的相等关系分类为：
$\begin{cases}\mathrm{三边都不相等的三角形}\\\mathrm{等腰三角形}\begin{cases}\mathrm{仅两边相等的等腰三角形}\\\mathrm{等边三角形（三边均相等）}\end{cases}\end{cases}$
结合题图：M与“三边都不相等的三角形”并列，是按边分类的其中一大类，故M为等腰三角形；N是包含在M内的特殊等腰三角形，即等边三角形。因此M、N分别对应等腰三角形、等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题考查三角形按边分类的基础概念，解题关键是理清等边三角形和等腰三角形的从属关系，不要将二者的包含关系搞反，属于对基础定义的考查。
【难度系数】
0.9