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【例1】如图,写出符合下列条件的角(图中所有的角都是指小于平角的角).
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以A为顶点的角；
(3)所有小于平角的角.
解:
【规律方法】
(1)当用三个大写英文字母表示角时,表示顶点的字母必须写在中间.
(2)当顶点处只有一个角时,该角可以用表示顶点的大写英文字母表示.
(3)当用小写希腊字母或数字表示角时,一定要把所表示的角在图中用弧线标出来.
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以A为顶点的角；
(3)所有小于平角的角.
解:
【规律方法】
(1)当用三个大写英文字母表示角时,表示顶点的字母必须写在中间.
(2)当顶点处只有一个角时,该角可以用表示顶点的大写英文字母表示.
(3)当用小写希腊字母或数字表示角时,一定要把所表示的角在图中用弧线标出来.
答案
1. ∠B,∠C.
2. ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB.
3. ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB).
2. ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB.
3. ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB).
解析
【分析】
解决这道题首先要明确角的不同表示方法的适用规则：①只有顶点处只有1个角的时候，才能用单个大写字母表示这个角；②找以某点为顶点的角，就以该点为端点，数所有两条射线组成的小于平角的角即可；③数所有小于平角的角时，可以按顶点逐个枚举，避免重复或遗漏。
【解析】
(1) 根据单个大写字母表示角的规则：顶点处仅存在1个角时可使用该表示法。观察图形，顶点C、B处均只有1个角，顶点A、D处均有多个角，因此能用一个大写字母表示的角为∠B、∠C。
(2) 以A为顶点，小于平角的角有：单独的两个小角∠1（也可记作∠CAD）、∠2（也可记作∠DAB），以及两个小角组成的大角∠CAB。
(3) 按顶点顺序逐一枚举所有小于平角的角：顶点C的∠C；顶点A的∠1(∠CAD)、∠2(∠DAB)、∠CAB；顶点B的∠B；顶点D的∠3(∠ADC)、∠4(∠ADB)。
【答案】
1. ∠B,∠C.
2. ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB.
3. ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB).
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题是角的相关概念的基础应用题，解题的核心是掌握角的不同表示方法的适用条件，计数时按固定顺序枚举可有效避免漏数、重复数的问题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确角的不同表示方法的适用规则：①只有顶点处只有1个角的时候，才能用单个大写字母表示这个角；②找以某点为顶点的角，就以该点为端点，数所有两条射线组成的小于平角的角即可；③数所有小于平角的角时，可以按顶点逐个枚举，避免重复或遗漏。
【解析】
(1) 根据单个大写字母表示角的规则：顶点处仅存在1个角时可使用该表示法。观察图形，顶点C、B处均只有1个角，顶点A、D处均有多个角，因此能用一个大写字母表示的角为∠B、∠C。
(2) 以A为顶点，小于平角的角有：单独的两个小角∠1（也可记作∠CAD）、∠2（也可记作∠DAB），以及两个小角组成的大角∠CAB。
(3) 按顶点顺序逐一枚举所有小于平角的角：顶点C的∠C；顶点A的∠1(∠CAD)、∠2(∠DAB)、∠CAB；顶点B的∠B；顶点D的∠3(∠ADC)、∠4(∠ADB)。
【答案】
1. ∠B,∠C.
2. ∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB.
3. ∠C,∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠CAB,∠B,∠3(或∠ADC),∠4(或∠ADB).
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题是角的相关概念的基础应用题，解题的核心是掌握角的不同表示方法的适用条件，计数时按固定顺序枚举可有效避免漏数、重复数的问题。
【难度系数】
0.8
1.如图，图中所有的角都是指小于平角的角.
(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来.
(2)请分别指出以射线BA为边的角.
(3)以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来.
(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来.
(2)请分别指出以射线BA为边的角.
(3)以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来.
答案
1. (1) 以点B为顶点的角有3个，分别为∠ABC,∠ABD,∠DBC.
(2) 以射线BA为边的角:∠ABE,∠ABC.
(3) 以D为顶点，DC为一边的角有2个，分别为∠BDC,∠EDC.
(2) 以射线BA为边的角:∠ABE,∠ABC.
(3) 以D为顶点，DC为一边的角有2个，分别为∠BDC,∠EDC.
解析
【分析】
解决本题首先要明确角的定义，以及题目“所有角都是小于平角的角”的限制条件。(1)找以B为顶点的角时，先找出从B出发的所有射线，再按顺序两两组合计数，避免重复或遗漏；(2)找以BA为边的角时，固定BA为其中一边，找出所有能和它组成小于平角的角的另一边即可；(3)找以D为顶点、DC为边的角时，固定顶点D和边DC，找出其余能和DC组成小于平角的角的另一边，按顺序计数即可。
【解析】
(1) 顶点为B时，从B出发的射线有BA、BD、BC共3条，两两组合形成小于平角的角，总共有3个，分别为∠ABC、∠ABD、∠DBC。
(2) 固定射线BA为角的一条边，其余可和BA组成小于平角的角的边为射线BE、射线BC，对应的角为∠ABE、∠ABC。
(3) 固定顶点为D、边为DC，其余可和DC组成小于平角的角的边为射线DB、射线DE，共2个角，分别为∠BDC、∠EDC。
【答案】
(1) 以点B为顶点的角有3个，分别为∠ABC,∠ABD,∠DBC。
(2) 以射线BA为边的角:∠ABE,∠ABC。
(3) 以D为顶点，DC为一边的角有2个，分别为∠BDC,∠EDC。
【知识点】
角的表示，角的计数，平角的概念
【点评】
本题属于基础题，重点考查角的相关概念，解题时要注意按照固定顺序计数，同时牢记题目中“小于平角”的限制条件，避免出现多算、漏算的错误。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确角的定义，以及题目“所有角都是小于平角的角”的限制条件。(1)找以B为顶点的角时，先找出从B出发的所有射线，再按顺序两两组合计数，避免重复或遗漏；(2)找以BA为边的角时，固定BA为其中一边，找出所有能和它组成小于平角的角的另一边即可；(3)找以D为顶点、DC为边的角时，固定顶点D和边DC，找出其余能和DC组成小于平角的角的另一边，按顺序计数即可。
【解析】
(1) 顶点为B时，从B出发的射线有BA、BD、BC共3条，两两组合形成小于平角的角，总共有3个，分别为∠ABC、∠ABD、∠DBC。
(2) 固定射线BA为角的一条边，其余可和BA组成小于平角的角的边为射线BE、射线BC，对应的角为∠ABE、∠ABC。
(3) 固定顶点为D、边为DC，其余可和DC组成小于平角的角的边为射线DB、射线DE，共2个角，分别为∠BDC、∠EDC。
【答案】
(1) 以点B为顶点的角有3个，分别为∠ABC,∠ABD,∠DBC。
(2) 以射线BA为边的角:∠ABE,∠ABC。
(3) 以D为顶点，DC为一边的角有2个，分别为∠BDC,∠EDC。
【知识点】
角的表示，角的计数，平角的概念
【点评】
本题属于基础题，重点考查角的相关概念，解题时要注意按照固定顺序计数，同时牢记题目中“小于平角”的限制条件，避免出现多算、漏算的错误。
【难度系数】
0.9
【例2】（1）将$31.24°$化为用度、分、秒表示的形式；
（2）将$38°37'12''$化成以度为单位的形式.
解：
【规律方法】
角的换算方法
（1）用度、分、秒表示角度时，要先把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒.
（2）用度表示度、分、秒时，要利用$1''=(\frac{1}{60})'$，$1'=(\frac{1}{60})°$，先把秒化成分，再把分化成度.
变式训练
2.（1）用度、分、秒表示$36.62°$.
（2）把下列角转化成以度为单位的形式：
①$27°14'24''$；②$33°24'36''$.
（2）将$38°37'12''$化成以度为单位的形式.
解：
【规律方法】
角的换算方法
（1）用度、分、秒表示角度时，要先把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒.
（2）用度表示度、分、秒时，要利用$1''=(\frac{1}{60})'$，$1'=(\frac{1}{60})°$，先把秒化成分，再把分化成度.
变式训练
2.（1）用度、分、秒表示$36.62°$.
（2）把下列角转化成以度为单位的形式：
①$27°14'24''$；②$33°24'36''$.
答案
【例2】(1) $31°14'24''$.
(2) $38.62°$.
(2) $38.62°$.
解析
【分析】
本题考查角度单位度、分、秒之间的换算，需明确度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$。解题思路如下：（1）将单名数“度”换算为复名数“度、分、秒”时，先保留度的整数部分，把小数部分的度乘60转化为分，再把分的小数部分乘60转化为秒，最后组合结果即可；（2）将复名数“度、分、秒”换算为单名数“度”时，先把秒除以60转化为分，与原有分的数值相加后，再除以60转化为度，最后与原有度的数值相加即可。
【解析】
（1）换算$31.24°$：
① 提取度的整数部分：$31.24°$的整数部分为$31°$，剩余小数部分为$0.24°$；
② 度的小数部分转分：$0.24° = 0.24 × 60' = 14.4'$，提取分的整数部分$14'$，剩余小数部分为$0.4'$；
③ 分的小数部分转秒：$0.4' = 0.4 × 60'' = 24''$；
综上可得$31.24° = 31°14'24''$。
（2）换算$38°37'12''$：
① 秒转分：$12'' = 12 ÷ 60' = 0.2'$，与原有分相加得$37' + 0.2' = 37.2'$；
② 分转度：$37.2' = 37.2 ÷ 60° = 0.62°$，与原有度相加得$38° + 0.62° = 38.62°$；
综上可得$38°37'12'' = 38.62°$。
【答案】
（1）$31°14'24''$；（2）$38.62°$
【知识点】
度分秒的换算，角度的60进制
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度、分、秒的60进制转换规则，高单位转低单位乘60，低单位转高单位除以60，计算时注意小数运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查角度单位度、分、秒之间的换算，需明确度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$。解题思路如下：（1）将单名数“度”换算为复名数“度、分、秒”时，先保留度的整数部分，把小数部分的度乘60转化为分，再把分的小数部分乘60转化为秒，最后组合结果即可；（2）将复名数“度、分、秒”换算为单名数“度”时，先把秒除以60转化为分，与原有分的数值相加后，再除以60转化为度，最后与原有度的数值相加即可。
【解析】
（1）换算$31.24°$：
① 提取度的整数部分：$31.24°$的整数部分为$31°$，剩余小数部分为$0.24°$；
② 度的小数部分转分：$0.24° = 0.24 × 60' = 14.4'$，提取分的整数部分$14'$，剩余小数部分为$0.4'$；
③ 分的小数部分转秒：$0.4' = 0.4 × 60'' = 24''$；
综上可得$31.24° = 31°14'24''$。
（2）换算$38°37'12''$：
① 秒转分：$12'' = 12 ÷ 60' = 0.2'$，与原有分相加得$37' + 0.2' = 37.2'$；
② 分转度：$37.2' = 37.2 ÷ 60° = 0.62°$，与原有度相加得$38° + 0.62° = 38.62°$；
综上可得$38°37'12'' = 38.62°$。
【答案】
（1）$31°14'24''$；（2）$38.62°$
【知识点】
度分秒的换算，角度的60进制
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度、分、秒的60进制转换规则，高单位转低单位乘60，低单位转高单位除以60，计算时注意小数运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
