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1.已知四条线段$a,b,c,d$满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a=2,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$，则$d=$
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
。答案
1. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
本题是已知成比例线段中的三条线段求第四条线段的基础题，解题思路如下：第一步，回忆比例的基本性质：在比例式中，两个内项的积等于两个外项的积，可将比例式转化为等积式；第二步，将等积式变形，得到表示d的代数式；第三步，代入已知的a、b、c的数值，结合二次根式的乘法法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）可得：
$ad=bc$
将式子变形求d，得：
$d=\frac{bc}{a}$
把$a=2,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$代入上式：
$d=\frac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质、二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对比例基本性质的运用，计算过程中需注意二次根式的运算规则，最终结果要化为最简二次根式，是对成比例线段相关概念的直接应用类题目。
【难度系数】
0.9
本题是已知成比例线段中的三条线段求第四条线段的基础题，解题思路如下：第一步，回忆比例的基本性质：在比例式中，两个内项的积等于两个外项的积，可将比例式转化为等积式；第二步，将等积式变形，得到表示d的代数式；第三步，代入已知的a、b、c的数值，结合二次根式的乘法法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）可得：
$ad=bc$
将式子变形求d，得：
$d=\frac{bc}{a}$
把$a=2,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$代入上式：
$d=\frac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质、二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对比例基本性质的运用，计算过程中需注意二次根式的运算规则，最终结果要化为最简二次根式，是对成比例线段相关概念的直接应用类题目。
【难度系数】
0.9
2.若$\frac{a}{2a - b} = \frac{2}{3}$，则$\frac{b}{a} =$
$\frac{1}{2}$
。答案
2. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是已知比例式求比值的问题，解题核心是运用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）将给定的分式比例转化为整式等式，再通过等式变形整理出b与a的数量关系，最终求出$\frac{b}{a}$的比值。思考时先回忆比例的基本变形规则，用交叉相乘消去分母，再通过移项合并同类项得到a和b的关系，由于所求为b与a的比值，且a一定不为0（否则原式无意义），将等式两边同时除以a即可得到结果。
【解析】
解：已知$\frac{a}{2a - b} = \frac{2}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$3a = 2(2a - b)$
展开右侧括号：
$3a = 4a - 2b$
移项合并同类项：
$-a = -2b$，即$a = 2b$
由原式可知$a≠0$，将等式两边同时除以$2a$得：
$\frac{a}{2a} = \frac{2b}{2a}$
化简得$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查比例基本性质的应用，解题的关键是掌握比例式交叉相乘的变形方法，通过转化为整式等式整理得到所求比值，计算量小，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题是已知比例式求比值的问题，解题核心是运用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）将给定的分式比例转化为整式等式，再通过等式变形整理出b与a的数量关系，最终求出$\frac{b}{a}$的比值。思考时先回忆比例的基本变形规则，用交叉相乘消去分母，再通过移项合并同类项得到a和b的关系，由于所求为b与a的比值，且a一定不为0（否则原式无意义），将等式两边同时除以a即可得到结果。
【解析】
解：已知$\frac{a}{2a - b} = \frac{2}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$3a = 2(2a - b)$
展开右侧括号：
$3a = 4a - 2b$
移项合并同类项：
$-a = -2b$，即$a = 2b$
由原式可知$a≠0$，将等式两边同时除以$2a$得：
$\frac{a}{2a} = \frac{2b}{2a}$
化简得$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查比例基本性质的应用，解题的关键是掌握比例式交叉相乘的变形方法，通过转化为整式等式整理得到所求比值，计算量小，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
3.若$x,y,z$满足$x:4=y:5=z:6$，则$(x+y):(y+z)=$
$\frac{9}{11}$
.答案
3. $\frac{9}{11}$
解析
【分析】
遇到多个量成等比关系的问题时，我们可以采用设参数的方法简化计算：先设这个公共的比值为参数k（k≠0），将x、y、z分别用含k的代数式表示，再代入所求的比例式中，消去参数k即可得到结果。
【解析】
设$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=k$（$k≠0$），则：
$x=4k$，$y=5k$，$z=6k$
将其代入$(x+y):(y+z)$得：
$(x+y):(y+z)=(4k+5k):(5k+6k)=9k:11k=\frac{9}{11}$
【答案】
$\frac{9}{11}$
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心考查等比问题中参数法的运用，只要掌握引入公共参数表示各个未知量的方法，就能快速消参求出比值，计算难度较低。
【难度系数】
0.85
遇到多个量成等比关系的问题时，我们可以采用设参数的方法简化计算：先设这个公共的比值为参数k（k≠0），将x、y、z分别用含k的代数式表示，再代入所求的比例式中，消去参数k即可得到结果。
【解析】
设$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=k$（$k≠0$），则：
$x=4k$，$y=5k$，$z=6k$
将其代入$(x+y):(y+z)$得：
$(x+y):(y+z)=(4k+5k):(5k+6k)=9k:11k=\frac{9}{11}$
【答案】
$\frac{9}{11}$
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心考查等比问题中参数法的运用，只要掌握引入公共参数表示各个未知量的方法，就能快速消参求出比值，计算难度较低。
【难度系数】
0.85
4.已知点P在线段AB上，且$\frac{PA}{PB}=\frac{2}{5}$，则$\frac{PA}{AB}=$
$\frac{2}{7}$
。答案
4. $\frac{2}{7}$
解析
【分析】
首先明确点P在线段AB上，说明线段AB被P分为PA、PB两段，因此AB的长度等于PA与PB的长度之和。已知PA与PB的比值，我们可以通过设参数的方式，将PA、PB用含同一个参数的式子表示，再代入所求的比值中，参数会被约去，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵点P在线段AB上，
∴$AB = PA + PB$，
∵$\frac{PA}{PB}=\frac{2}{5}$，
∴设$PA=2k$，$PB=5k$（$k＞0$，为常数），
则$AB=PA+PB=2k+5k=7k$，
∴$\frac{PA}{AB}=\frac{2k}{7k}=\frac{2}{7}$。
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
成比例线段，线段和差计算，比例的性质
【点评】
本题是成比例线段的基础题型，解题核心是明确点在线段上时总线段等于各分段之和，设参数求比值是这类问题的常用方法，计算时公共参数可直接约去，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
首先明确点P在线段AB上，说明线段AB被P分为PA、PB两段，因此AB的长度等于PA与PB的长度之和。已知PA与PB的比值，我们可以通过设参数的方式，将PA、PB用含同一个参数的式子表示，再代入所求的比值中，参数会被约去，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵点P在线段AB上，
∴$AB = PA + PB$，
∵$\frac{PA}{PB}=\frac{2}{5}$，
∴设$PA=2k$，$PB=5k$（$k＞0$，为常数），
则$AB=PA+PB=2k+5k=7k$，
∴$\frac{PA}{AB}=\frac{2k}{7k}=\frac{2}{7}$。
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
成比例线段，线段和差计算，比例的性质
【点评】
本题是成比例线段的基础题型，解题核心是明确点在线段上时总线段等于各分段之和，设参数求比值是这类问题的常用方法，计算时公共参数可直接约去，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
5.三条线段的长度分别为1,2,$\sqrt{3}$,请你再写出一条线段的长度,使这四条线段为成比例线段.你所写的线段的长度是
$2\sqrt{3}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$等
.答案
5. 如$2\sqrt{3}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$等.
解析
【分析】
解决本题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段$a、b、c、d$满足$a:b=c:d$（即$ad=bc$），则这四条线段为成比例线段。由于题目没有指定四条线段的排列顺序，因此需要分类讨论：设所求线段的长度为$x$，分别让$x$与已知三条线段中的其中一条作为比例外项，另外两条作为比例内项，再根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）列方程求解即可。
【解析】
设所求线段的长度为$x$，分三种情况讨论：
1. 当$x$和$1$为比例外项，$2$和$\sqrt{3}$为比例内项时：
$1· x=2×\sqrt{3}$，解得$x=2\sqrt{3}$；
2. 当$x$和$2$为比例外项，$1$和$\sqrt{3}$为比例内项时：
$2· x=1×\sqrt{3}$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
3. 当$x$和$\sqrt{3}$为比例外项，$1$和$2$为比例内项时：
$\sqrt{3}· x=1×2$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（分母有理化）。
以上三个结果任选其一即可。
【答案】
$2\sqrt{3}$（或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，答案不唯一）
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查成比例线段的应用，解题的核心是注意题目未指定线段的排列顺序，需要分情况讨论避免漏解，计算时注意将结果化为最简二次根式即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段$a、b、c、d$满足$a:b=c:d$（即$ad=bc$），则这四条线段为成比例线段。由于题目没有指定四条线段的排列顺序，因此需要分类讨论：设所求线段的长度为$x$，分别让$x$与已知三条线段中的其中一条作为比例外项，另外两条作为比例内项，再根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）列方程求解即可。
【解析】
设所求线段的长度为$x$，分三种情况讨论：
1. 当$x$和$1$为比例外项，$2$和$\sqrt{3}$为比例内项时：
$1· x=2×\sqrt{3}$，解得$x=2\sqrt{3}$；
2. 当$x$和$2$为比例外项，$1$和$\sqrt{3}$为比例内项时：
$2· x=1×\sqrt{3}$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
3. 当$x$和$\sqrt{3}$为比例外项，$1$和$2$为比例内项时：
$\sqrt{3}· x=1×2$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（分母有理化）。
以上三个结果任选其一即可。
【答案】
$2\sqrt{3}$（或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，答案不唯一）
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查成比例线段的应用，解题的核心是注意题目未指定线段的排列顺序，需要分情况讨论避免漏解，计算时注意将结果化为最简二次根式即可。
【难度系数】
0.7
6.如果$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，那么代数式$\frac{3x - 2y}{3x + 2y}$的值是
$\frac{1}{17}$
。答案
6. $\frac{1}{17}$
解析
【分析】
本题是已知比例关系求分式值的问题，解题的核心是利用比例关系将两个未知数转化为用同一个参数表示，从而代入代数式消去参数得到结果。思考步骤如下：第一步，观察已知的比例式$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，可采用参数法，设比值为常数$k$（$k≠0$），将$x$、$y$都用含$k$的式子表示；第二步，将表示后的$x$、$y$代入待求的代数式，分子分母的$k$可以约去，最终计算出数值即可。参数法是这类比例相关求值问题的通用解法，计算不易出错。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k$（$k≠0$），则可得：
$x=3k$，$y=4k$
将$x=3k$，$y=4k$代入代数式$\frac{3x - 2y}{3x + 2y}$中：
分子：$3x-2y=3×3k - 2×4k=9k-8k=k$
分母：$3x+2y=3×3k + 2×4k=9k+8k=17k$
因为$k≠0$，可约去分子分母的$k$，因此原式$=\frac{k}{17k}=\frac{1}{17}$。
【答案】
$\frac{1}{17}$
【知识点】
1. 比例的性质
2. 代数式求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，重点考察参数法处理比例关系的能力，解题思路清晰固定，计算过程简单，只需注意避免乘法、加减运算的符号错误即可。
【难度系数】
0.8
本题是已知比例关系求分式值的问题，解题的核心是利用比例关系将两个未知数转化为用同一个参数表示，从而代入代数式消去参数得到结果。思考步骤如下：第一步，观察已知的比例式$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，可采用参数法，设比值为常数$k$（$k≠0$），将$x$、$y$都用含$k$的式子表示；第二步，将表示后的$x$、$y$代入待求的代数式，分子分母的$k$可以约去，最终计算出数值即可。参数法是这类比例相关求值问题的通用解法，计算不易出错。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k$（$k≠0$），则可得：
$x=3k$，$y=4k$
将$x=3k$，$y=4k$代入代数式$\frac{3x - 2y}{3x + 2y}$中：
分子：$3x-2y=3×3k - 2×4k=9k-8k=k$
分母：$3x+2y=3×3k + 2×4k=9k+8k=17k$
因为$k≠0$，可约去分子分母的$k$，因此原式$=\frac{k}{17k}=\frac{1}{17}$。
【答案】
$\frac{1}{17}$
【知识点】
1. 比例的性质
2. 代数式求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，重点考察参数法处理比例关系的能力，解题思路清晰固定，计算过程简单，只需注意避免乘法、加减运算的符号错误即可。
【难度系数】
0.8
7. 下列各组都有四条线段，其中是成比例线段的一组是 ……………………【 】
A.$a = \dfrac{2}{3}, b = 5, c = \dfrac{3}{2}, d = \dfrac{1}{5}$
B.$a = 8, b = 0.05, c = 0.6, d = 10$
C.$a = 3, b = 4, c = 5, d = 6$
D.$a = 9, b = 6, c = 3, d = 4$
A.$a = \dfrac{2}{3}, b = 5, c = \dfrac{3}{2}, d = \dfrac{1}{5}$
B.$a = 8, b = 0.05, c = 0.6, d = 10$
C.$a = 3, b = 4, c = 5, d = 6$
D.$a = 9, b = 6, c = 3, d = 4$
答案
A
解析
【分析】
判断四条线段是否为成比例线段，可依据比例的基本性质简化计算：先将四条线段按长度从小到大排序，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段。我们按照这个方法逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
成比例线段判断规则：将四条线段从小到大排序为$m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4$，若$m_1 · m_4 = m_2 · m_3$，则四条线段为成比例线段。
选项A：将各数从小到大排序：$d=\frac{1}{5}, a=\frac{2}{3}, c=\frac{3}{2}, b=5$
计算首尾乘积：$\frac{1}{5} × 5 =1$，中间两数乘积：$\frac{2}{3} × \frac{3}{2}=1$，两者相等，是成比例线段。
选项B：排序：$b=0.05, c=0.6, a=8, d=10$
首尾乘积：$0.05 ×10=0.5$，中间乘积：$0.6 ×8=4.8$，$0.5\ne4.8$，不是成比例线段。
选项C：排序：$a=3, b=4, c=5, d=6$
首尾乘积：$3×6=18$，中间乘积：$4×5=20$，$18\ne20$，不是成比例线段。
选项D：排序：$c=3, d=4, b=6, a=9$
首尾乘积：$3×9=27$，中间乘积：$4×6=24$，$27\ne24$，不是成比例线段。
综上，只有选项A的四条线段是成比例线段。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判断的基础题型，通过“排序后验证首尾乘积等于中间两数乘积”的技巧，可以快速高效完成判断，避免了直接计算比值的繁琐，熟练掌握该技巧能提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.8
判断四条线段是否为成比例线段，可依据比例的基本性质简化计算：先将四条线段按长度从小到大排序，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段。我们按照这个方法逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
成比例线段判断规则：将四条线段从小到大排序为$m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4$，若$m_1 · m_4 = m_2 · m_3$，则四条线段为成比例线段。
选项A：将各数从小到大排序：$d=\frac{1}{5}, a=\frac{2}{3}, c=\frac{3}{2}, b=5$
计算首尾乘积：$\frac{1}{5} × 5 =1$，中间两数乘积：$\frac{2}{3} × \frac{3}{2}=1$，两者相等，是成比例线段。
选项B：排序：$b=0.05, c=0.6, a=8, d=10$
首尾乘积：$0.05 ×10=0.5$，中间乘积：$0.6 ×8=4.8$，$0.5\ne4.8$，不是成比例线段。
选项C：排序：$a=3, b=4, c=5, d=6$
首尾乘积：$3×6=18$，中间乘积：$4×5=20$，$18\ne20$，不是成比例线段。
选项D：排序：$c=3, d=4, b=6, a=9$
首尾乘积：$3×9=27$，中间乘积：$4×6=24$，$27\ne24$，不是成比例线段。
综上，只有选项A的四条线段是成比例线段。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判断的基础题型，通过“排序后验证首尾乘积等于中间两数乘积”的技巧，可以快速高效完成判断，避免了直接计算比值的繁琐，熟练掌握该技巧能提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.8
8.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}(a≠0,b≠0)$，下列变形错误的是 …………………………【 】
A.$3a=2b$
B.$2a=3b$
C.$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
A.$3a=2b$
B.$2a=3b$
C.$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题时首先回忆比例的核心性质：在比例式中，两个外项的积等于两个内项的积（简称交叉相乘性质）。我们可以先对已知比例式变形得到a、b的等量关系，再逐一验证每个选项的变形是否符合该等量关系，即可找出错误的选项。
【解析】
已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$（$a≠0,b≠0$），根据比例的基本性质，交叉相乘可得：
$3a=2b$。
逐一验证选项：
A. $3a=2b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
B. $2a=3b$，与推导结果$3a=2b$不符，变形错误，符合题意；
C. 对$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$交叉相乘，可得$2b=3a$即$3a=2b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
D. 对$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$交叉相乘，可得$3a=2b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意。
综上，变形错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、比例式的变形
【点评】
本题是基础类题型，核心是考查比例基本性质的运用，熟练掌握交叉相乘验证比例变形的方法，就能快速准确判断出正误。
【难度系数】
0.9
本题考查比例基本性质的应用，解题时首先回忆比例的核心性质：在比例式中，两个外项的积等于两个内项的积（简称交叉相乘性质）。我们可以先对已知比例式变形得到a、b的等量关系，再逐一验证每个选项的变形是否符合该等量关系，即可找出错误的选项。
【解析】
已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$（$a≠0,b≠0$），根据比例的基本性质，交叉相乘可得：
$3a=2b$。
逐一验证选项：
A. $3a=2b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
B. $2a=3b$，与推导结果$3a=2b$不符，变形错误，符合题意；
C. 对$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$交叉相乘，可得$2b=3a$即$3a=2b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
D. 对$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$交叉相乘，可得$3a=2b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意。
综上，变形错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、比例式的变形
【点评】
本题是基础类题型，核心是考查比例基本性质的运用，熟练掌握交叉相乘验证比例变形的方法，就能快速准确判断出正误。
【难度系数】
0.9
9.若$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$(x,y均为正数),则下列各式正确的是 ……………………【 】
A.$\frac{4}{y}=\frac{x}{3}$
B.$\frac{y}{x+y}=\frac{4}{7}$
C.$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$
A.$\frac{4}{y}=\frac{x}{3}$
B.$\frac{y}{x+y}=\frac{4}{7}$
C.$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$
答案
B
解析
【分析】
本题已知x与y的比值，要判断四个比例式是否正确，可通过两种思路解题：思路1：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，先将已知条件转化为等积式，再将各选项也转化为等积式，对比是否与已知条件一致；思路2：采用参数法，设x=3k、y=4k（k＞0），将其代入各选项化简验证即可。
【解析】
已知$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$（x、y为正数），根据比例的基本性质可得$4x=3y$。
方法一：交叉相乘验证各选项：
A选项：$\frac{4}{y}=\frac{x}{3}$，交叉相乘得$xy=12$，与$4x=3y$不符，错误；
B选项：$\frac{y}{x+y}=\frac{4}{7}$，交叉相乘得$7y=4(x+y)$，化简得$7y=4x+4y$，即$3y=4x$，与已知条件一致，正确；
C选项：$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=4y$，与$4x=3y$不符，错误；
D选项：$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$，交叉相乘得$5(x+1)=4(y+1)$，化简得$5x+1=4y$，代入$x=\frac{3}{4}y$验证，左边=$\frac{15}{4}y+1$，右边=$4y$，仅当$y=4$时等式成立，不是恒成立，错误。
也可采用参数法验证：设$x=3k$，$y=4k$（$k＞0$），代入B选项得$\frac{4k}{3k+4k}=\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$，成立，其余选项代入均不恒成立。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；比例的运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用，常用验证方法有两种：一是利用比例的基本性质交叉相乘将比例式转化为等积式验证；二是设参数将比例关系转化为整式关系代入计算，需注意比例的分子分母同时加相同的数，比值一般会发生变化，不能直接按此规律判断。
【难度系数】
0.8
本题已知x与y的比值，要判断四个比例式是否正确，可通过两种思路解题：思路1：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，先将已知条件转化为等积式，再将各选项也转化为等积式，对比是否与已知条件一致；思路2：采用参数法，设x=3k、y=4k（k＞0），将其代入各选项化简验证即可。
【解析】
已知$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$（x、y为正数），根据比例的基本性质可得$4x=3y$。
方法一：交叉相乘验证各选项：
A选项：$\frac{4}{y}=\frac{x}{3}$，交叉相乘得$xy=12$，与$4x=3y$不符，错误；
B选项：$\frac{y}{x+y}=\frac{4}{7}$，交叉相乘得$7y=4(x+y)$，化简得$7y=4x+4y$，即$3y=4x$，与已知条件一致，正确；
C选项：$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=4y$，与$4x=3y$不符，错误；
D选项：$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$，交叉相乘得$5(x+1)=4(y+1)$，化简得$5x+1=4y$，代入$x=\frac{3}{4}y$验证，左边=$\frac{15}{4}y+1$，右边=$4y$，仅当$y=4$时等式成立，不是恒成立，错误。
也可采用参数法验证：设$x=3k$，$y=4k$（$k＞0$），代入B选项得$\frac{4k}{3k+4k}=\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$，成立，其余选项代入均不恒成立。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；比例的运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用，常用验证方法有两种：一是利用比例的基本性质交叉相乘将比例式转化为等积式验证；二是设参数将比例关系转化为整式关系代入计算，需注意比例的分子分母同时加相同的数，比值一般会发生变化，不能直接按此规律判断。
【难度系数】
0.8
10.如图3-1-4,在$△ ABC$中,$AB = 12$,$AE = 6$,$CE = 4$,且$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$.
(1)求AD的长. (2)证明:$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$.
(1)求AD的长. (2)证明:$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$.
答案
提示：(1) $\because AB = 12$，
$\therefore BD = 12 - AD$.
$\therefore \frac{AD}{12 - AD} = \frac{6}{4}$，即 $AD = \frac{36}{5}$.
(2) 由$\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{CE}$ 可得 $\frac{AD}{BD} + 1 = \frac{AE}{CE} + 1$，
即 $\frac{AD + BD}{BD} = \frac{CE + AE}{CE}$.
$\therefore \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}$.
解析
【分析】
(1) 要求AD的长，已知比例关系$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，其中AE、CE的长度已知，BD可表示为$AB-AD$，且AB长度已知，因此将各已知量代入比例式，即可得到关于AD的方程，解方程就能求出AD的长度。
(2) 要证明$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$，可利用比例的合比性质，对已知的$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$两边同时加1，将分子转化为AB和AC，再利用比例的基本性质调整比例的内外项，即可得到待证的比例式。
【解析】
(1) 解：$\because AB=12$，$\therefore BD=AB-AD=12-AD$。
已知$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，且$AE=6$，$CE=4$，代入得：
$\frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{4}$
交叉相乘得：$4AD=6(12-AD)$
展开得：$4AD=72-6AD$
移项合并同类项得：$10AD=72$
解得：$AD=\frac{36}{5}$。
(2) 证明：$\because \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$
根据合比性质，等式两边同时加1，得：
$\frac{AD}{BD}+1=\frac{AE}{CE}+1$
通分后可得：$\frac{AD+BD}{BD}=\frac{AE+CE}{CE}$
又$\because AD+BD=AB$，$AE+CE=AC$
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}$
根据比例的基本性质，交换内项得：
$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$，得证。
【答案】
(1) $AD=\frac{36}{5}$
(2)
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质、合比性质
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题型，重点考察比例性质与线段和差关系的结合运用，计算难度低，证明过程只需熟练掌握比例的合比性质即可快速推导，是巩固比例性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 要求AD的长，已知比例关系$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，其中AE、CE的长度已知，BD可表示为$AB-AD$，且AB长度已知，因此将各已知量代入比例式，即可得到关于AD的方程，解方程就能求出AD的长度。
(2) 要证明$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$，可利用比例的合比性质，对已知的$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$两边同时加1，将分子转化为AB和AC，再利用比例的基本性质调整比例的内外项，即可得到待证的比例式。
【解析】
(1) 解：$\because AB=12$，$\therefore BD=AB-AD=12-AD$。
已知$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，且$AE=6$，$CE=4$，代入得：
$\frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{4}$
交叉相乘得：$4AD=6(12-AD)$
展开得：$4AD=72-6AD$
移项合并同类项得：$10AD=72$
解得：$AD=\frac{36}{5}$。
(2) 证明：$\because \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$
根据合比性质，等式两边同时加1，得：
$\frac{AD}{BD}+1=\frac{AE}{CE}+1$
通分后可得：$\frac{AD+BD}{BD}=\frac{AE+CE}{CE}$
又$\because AD+BD=AB$，$AE+CE=AC$
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}$
根据比例的基本性质，交换内项得：
$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$，得证。
【答案】
(1) $AD=\frac{36}{5}$
(2)
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质、合比性质
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题型，重点考察比例性质与线段和差关系的结合运用，计算难度低，证明过程只需熟练掌握比例的合比性质即可快速推导，是巩固比例性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
11.如图3-1-5，矩形纸片ABCD的长AB = a cm，宽BC = b cm，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，求a : b.
答案
11. 提示:由$\frac{a}{b} = \frac{2b}{a}$得 $\frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{1}$，即$(\frac{a}{b})^2 = 2$，
由$a,b$为正数，得 $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$，即 $a : b = \sqrt{2} : 1$.
由$a,b$为正数，得 $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$，即 $a : b = \sqrt{2} : 1$.
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质，得到线段AE的长度为AB的一半，即$AE=\frac{a}{2}\mathrm{ cm}$；再分别明确两个矩形的邻边长度：矩形ABCD的邻边长为$a$、$b$，长宽比为$a:b$，矩形AEFD的邻边长为$b$、$\frac{a}{2}$；根据题意“矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比”列出比例式，再利用比例的基本性质求解，注意边长均为正数，开方时取正根即可得到$a:b$的值。
【解析】
解：由折叠的性质可知，E为AB的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\mathrm{ cm}$.
矩形ABCD的长$AB=a\mathrm{ cm}$，宽$BC=b\mathrm{ cm}$，其长宽比为$\frac{a}{b}$.
矩形AEFD的两组邻边长度分别为$AD=b\mathrm{ cm}$、$AE=\frac{a}{2}\mathrm{ cm}$，
根据题意，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，可得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}$
整理得：$\frac{a}{b}=\frac{2b}{a}$
交叉相乘得：$a^2=2b^2$
∴ $(\frac{a}{b})^2=2$
∵ $a$、$b$均为正数，
∴ $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$，即$a:b=\sqrt{2}:1$.
【答案】
$\sqrt{2}:1$
【知识点】
成比例线段，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题主要结合折叠性质考查比例式的应用，解题的关键是准确找出两个矩形的长宽对应关系，列出正确的比例式，求解时注意结合线段的实际意义舍去负根。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合折叠的性质，得到线段AE的长度为AB的一半，即$AE=\frac{a}{2}\mathrm{ cm}$；再分别明确两个矩形的邻边长度：矩形ABCD的邻边长为$a$、$b$，长宽比为$a:b$，矩形AEFD的邻边长为$b$、$\frac{a}{2}$；根据题意“矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比”列出比例式，再利用比例的基本性质求解，注意边长均为正数，开方时取正根即可得到$a:b$的值。
【解析】
解：由折叠的性质可知，E为AB的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\mathrm{ cm}$.
矩形ABCD的长$AB=a\mathrm{ cm}$，宽$BC=b\mathrm{ cm}$，其长宽比为$\frac{a}{b}$.
矩形AEFD的两组邻边长度分别为$AD=b\mathrm{ cm}$、$AE=\frac{a}{2}\mathrm{ cm}$，
根据题意，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，可得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}$
整理得：$\frac{a}{b}=\frac{2b}{a}$
交叉相乘得：$a^2=2b^2$
∴ $(\frac{a}{b})^2=2$
∵ $a$、$b$均为正数，
∴ $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$，即$a:b=\sqrt{2}:1$.
【答案】
$\sqrt{2}:1$
【知识点】
成比例线段，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题主要结合折叠性质考查比例式的应用，解题的关键是准确找出两个矩形的长宽对应关系，列出正确的比例式，求解时注意结合线段的实际意义舍去负根。
【难度系数】
0.7
