登录
8.如图3-1-103，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，按下列要求画图，并指出△ABC三个顶点的坐标所发生的变化。
（1）将△ABC向上平移4个单位长度。
（2）△ABC关于y轴的对称图形。
（3）以点A为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。
图3-1-103
（1）将△ABC向上平移4个单位长度。
（2）△ABC关于y轴的对称图形。
（3）以点A为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。
图3-1-103
答案
8. 图略。坐标变化：(1) 横坐标不变，纵坐标加4。(2) 纵坐标不变，横坐标是原来的相反数。(3) 点A坐标不变，点B纵坐标不变，横坐标加2，点C纵坐标加3，横坐标加2.
解析
【分析】
首先观察网格确定△ABC三个顶点的原始坐标，再结合三类图形变换的坐标规律逐一分析：1. 平移变换：上下平移时横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则；2. 轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；3. 位似变换：以指定点为位似中心放大时，位似中心坐标不变，其余点相对于位似中心的横、纵坐标差都乘以相似比，再结合位似中心坐标得到新坐标，最后总结三类变换的坐标变化即可。
【解析】
首先确定△ABC原始顶点坐标：A(-3,-3)，B(-1,-3)，C(-1,0)。
(1) 向上平移4个单位长度：根据平移坐标规律，上下平移横坐标不变，纵坐标增加平移距离，因此三个点横坐标保持不变，纵坐标均加4，得到平移后对应点坐标为A₁(-3,1)、B₁(-1,1)、C₁(-1,4)。
(2) 作关于y轴的对称图形：根据关于y轴对称的点的坐标特征，对称点纵坐标和原坐标相等，横坐标为原坐标的相反数，因此三个点纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，得到对称后对应点坐标为A₂(3,-3)、B₂(1,-3)、C₂(1,0)。
(3) 以A为位似中心、相似比为2放大：位似中心A坐标不变，计算B、C相对于A的坐标差：B的横差为-1-(-3)=2、纵差为-3-(-3)=0；C的横差为-1-(-3)=2、纵差为0-(-3)=3。将坐标差乘以相似比2，得到新的横、纵差为4、0和4、6，因此放大后B'坐标为(1,-3)，C'坐标为(1,3)，对比原坐标可得对应变化规律。
【答案】
图略。坐标变化：(1) 横坐标不变，纵坐标加4。(2) 纵坐标不变，横坐标是原来的相反数。(3) 点A坐标不变，点B纵坐标不变，横坐标加2，点C纵坐标加3，横坐标加2。
【知识点】
平移的坐标特征，轴对称的坐标特征，位似变换的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中常见图形变换对应的坐标变化规律，核心是熟练掌握平移、轴对称、位似三类变换的坐标性质，结合网格准确计算即可，注意位似变换需要先明确位似中心的位置。
【难度系数】
0.7
首先观察网格确定△ABC三个顶点的原始坐标，再结合三类图形变换的坐标规律逐一分析：1. 平移变换：上下平移时横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则；2. 轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；3. 位似变换：以指定点为位似中心放大时，位似中心坐标不变，其余点相对于位似中心的横、纵坐标差都乘以相似比，再结合位似中心坐标得到新坐标，最后总结三类变换的坐标变化即可。
【解析】
首先确定△ABC原始顶点坐标：A(-3,-3)，B(-1,-3)，C(-1,0)。
(1) 向上平移4个单位长度：根据平移坐标规律，上下平移横坐标不变，纵坐标增加平移距离，因此三个点横坐标保持不变，纵坐标均加4，得到平移后对应点坐标为A₁(-3,1)、B₁(-1,1)、C₁(-1,4)。
(2) 作关于y轴的对称图形：根据关于y轴对称的点的坐标特征，对称点纵坐标和原坐标相等，横坐标为原坐标的相反数，因此三个点纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，得到对称后对应点坐标为A₂(3,-3)、B₂(1,-3)、C₂(1,0)。
(3) 以A为位似中心、相似比为2放大：位似中心A坐标不变，计算B、C相对于A的坐标差：B的横差为-1-(-3)=2、纵差为-3-(-3)=0；C的横差为-1-(-3)=2、纵差为0-(-3)=3。将坐标差乘以相似比2，得到新的横、纵差为4、0和4、6，因此放大后B'坐标为(1,-3)，C'坐标为(1,3)，对比原坐标可得对应变化规律。
【答案】
图略。坐标变化：(1) 横坐标不变，纵坐标加4。(2) 纵坐标不变，横坐标是原来的相反数。(3) 点A坐标不变，点B纵坐标不变，横坐标加2，点C纵坐标加3，横坐标加2。
【知识点】
平移的坐标特征，轴对称的坐标特征，位似变换的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中常见图形变换对应的坐标变化规律，核心是熟练掌握平移、轴对称、位似三类变换的坐标性质，结合网格准确计算即可，注意位似变换需要先明确位似中心的位置。
【难度系数】
0.7
9.如图3-1-104，点$A(1,a)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，$AB$垂直于$x$轴，垂足为点$B$，将$△ ABO$沿$x$轴向右平移2个单位长度，得到$\mathrm{Rt}△ DEF$，点$D$落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上。
(1)求点$A$的坐标。
(2)求$k$的值。
(1)求点$A$的坐标。
(2)求$k$的值。
答案
9. 提示:(1) 由点A(1,a)得a = 3，则点A(1,3)；(2) 由平移特征得点D(3,3)，由此可得k = 9.
解析
【分析】
(1) 要确定点A的坐标，已知点A横坐标为1，且点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”，将x=1代入解析式即可求出纵坐标a的值，得到点A坐标。
(2) 要求k的值，需先得到点D的坐标：根据平移的性质，沿x轴向右平移2个单位时，点的横坐标加2、纵坐标不变，由点A的坐标可得到对应点D的坐标；再将点D坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值。
【解析】
(1)
∵点$A(1,a)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$x=1$代入$y=\frac{3}{x}$，得$a=\frac{3}{1}=3$，
∴点A的坐标为$(1,3)$。
(2)
∵$△ ABO$沿x轴向右平移2个单位长度得到$\mathrm{Rt}△ DEF$，点A的对应点为点D，
根据平移的坐标变化规律：向右平移2个单位，横坐标加2，纵坐标不变，
∴点D的横坐标为$1+2=3$，纵坐标与点A相同为3，即$D(3,3)$，
又
∵点$D(3,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$x=3,y=3$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，解得$k=9$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$；(2) k的值为$\boldsymbol{9}$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础题型，结合反比例函数与图形平移的知识点考查，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足函数解析式，以及平移对应的坐标变化规律，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定点A的坐标，已知点A横坐标为1，且点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”，将x=1代入解析式即可求出纵坐标a的值，得到点A坐标。
(2) 要求k的值，需先得到点D的坐标：根据平移的性质，沿x轴向右平移2个单位时，点的横坐标加2、纵坐标不变，由点A的坐标可得到对应点D的坐标；再将点D坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值。
【解析】
(1)
∵点$A(1,a)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$x=1$代入$y=\frac{3}{x}$，得$a=\frac{3}{1}=3$，
∴点A的坐标为$(1,3)$。
(2)
∵$△ ABO$沿x轴向右平移2个单位长度得到$\mathrm{Rt}△ DEF$，点A的对应点为点D，
根据平移的坐标变化规律：向右平移2个单位，横坐标加2，纵坐标不变，
∴点D的横坐标为$1+2=3$，纵坐标与点A相同为3，即$D(3,3)$，
又
∵点$D(3,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$x=3,y=3$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，解得$k=9$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$；(2) k的值为$\boldsymbol{9}$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础题型，结合反比例函数与图形平移的知识点考查，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足函数解析式，以及平移对应的坐标变化规律，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.8
10.如图3-1-105,在平面直角坐标系中, $□ ABCD$ 四个顶点的坐标分别为 $A(1,0)$, $B(4,0),C(5,2),D(2,2)$. 请你按下列要求画出 $□ ABCD$ 变换后的图形,写出变换后的图形四个顶点的坐标.
（1）以A为中心,将 $□ ABCD$ 旋转 $180°$.
（2）将 $□ ABCD$ 沿直线OD翻折.
（1）以A为中心,将 $□ ABCD$ 旋转 $180°$.
（2）将 $□ ABCD$ 沿直线OD翻折.
答案
10. (1)$A_1(1,0),B_1(-2,0),C_1(-3,-2),D_1(0,-2)$.
(2)$A_2(0,1),B_2(0,4),C_2(2,5),D_2(2,2)$.
(2)$A_2(0,1),B_2(0,4),C_2(2,5),D_2(2,2)$.
解析
【分析】
本题分两类坐标变换求解：
1. 第（1）问是绕点A旋转180°，属于中心对称变换，对称中心为A点。根据中心对称的性质，对称中心是任意一组对应点连线的中点，可利用中点坐标公式推导每个点变换后的坐标，对称中心A变换后坐标保持不变。
2. 第（2）问是沿OD翻折，属于轴对称变换，首先确定直线OD的解析式，可得出OD为直线y=x，关于直线y=x对称的点的坐标特征为横、纵坐标互换，据此计算各点翻折后的坐标，位于对称轴上的点变换后坐标不变。
【解析】
（1）以A为中心旋转180°，即变换后的图形与原图形关于点$A(1,0)$中心对称。
设原图形上任意点$P(x,y)$关于A的对称点为$P'(x',y')$，根据中点坐标公式：
$\frac{x+x'}{2}=1$，$\frac{y+y'}{2}=0$，解得$x'=2-x$，$y'=-y$
分别代入四个顶点计算：
A为对称中心，故$A_1(1,0)$
$B(4,0)$：$x'=2-4=-2$，$y'=-0=0$，故$B_1(-2,0)$
$C(5,2)$：$x'=2-5=-3$，$y'=-2$，故$C_1(-3,-2)$
$D(2,2)$：$x'=2-2=0$，$y'=-2$，故$D_1(0,-2)$
（2）先求直线OD的解析式：已知$O(0,0)$，$D(2,2)$，设解析式为$y=kx$，代入$D(2,2)$得$2=2k$，解得$k=1$，即OD所在直线为$y=x$。
关于直线$y=x$对称的点的坐标规律为：点$(x,y)$对称后对应点为$(y,x)$，分别计算：
$A(1,0)$对称后为$A_2(0,1)$
$B(4,0)$对称后为$B_2(0,4)$
$C(5,2)$对称后为$C_2(2,5)$
$D(2,2)$在直线$y=x$上，对称后坐标不变，故$D_2(2,2)$
【答案】
(1)$A_1(1,0),B_1(-2,0),C_1(-3,-2),D_1(0,-2)$
(2)$A_2(0,1),B_2(0,4),C_2(2,5),D_2(2,2)$
【知识点】
1. 中心对称坐标变换
2. 轴对称坐标变换
3. 中点坐标公式
【点评】
本题考查图形变换对应的坐标变化规律，解题核心是先明确变换类型，再结合对应变换的坐标计算规则求解，牢记常见对称变换的坐标特征可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题分两类坐标变换求解：
1. 第（1）问是绕点A旋转180°，属于中心对称变换，对称中心为A点。根据中心对称的性质，对称中心是任意一组对应点连线的中点，可利用中点坐标公式推导每个点变换后的坐标，对称中心A变换后坐标保持不变。
2. 第（2）问是沿OD翻折，属于轴对称变换，首先确定直线OD的解析式，可得出OD为直线y=x，关于直线y=x对称的点的坐标特征为横、纵坐标互换，据此计算各点翻折后的坐标，位于对称轴上的点变换后坐标不变。
【解析】
（1）以A为中心旋转180°，即变换后的图形与原图形关于点$A(1,0)$中心对称。
设原图形上任意点$P(x,y)$关于A的对称点为$P'(x',y')$，根据中点坐标公式：
$\frac{x+x'}{2}=1$，$\frac{y+y'}{2}=0$，解得$x'=2-x$，$y'=-y$
分别代入四个顶点计算：
A为对称中心，故$A_1(1,0)$
$B(4,0)$：$x'=2-4=-2$，$y'=-0=0$，故$B_1(-2,0)$
$C(5,2)$：$x'=2-5=-3$，$y'=-2$，故$C_1(-3,-2)$
$D(2,2)$：$x'=2-2=0$，$y'=-2$，故$D_1(0,-2)$
（2）先求直线OD的解析式：已知$O(0,0)$，$D(2,2)$，设解析式为$y=kx$，代入$D(2,2)$得$2=2k$，解得$k=1$，即OD所在直线为$y=x$。
关于直线$y=x$对称的点的坐标规律为：点$(x,y)$对称后对应点为$(y,x)$，分别计算：
$A(1,0)$对称后为$A_2(0,1)$
$B(4,0)$对称后为$B_2(0,4)$
$C(5,2)$对称后为$C_2(2,5)$
$D(2,2)$在直线$y=x$上，对称后坐标不变，故$D_2(2,2)$
【答案】
(1)$A_1(1,0),B_1(-2,0),C_1(-3,-2),D_1(0,-2)$
(2)$A_2(0,1),B_2(0,4),C_2(2,5),D_2(2,2)$
【知识点】
1. 中心对称坐标变换
2. 轴对称坐标变换
3. 中点坐标公式
【点评】
本题考查图形变换对应的坐标变化规律，解题核心是先明确变换类型，再结合对应变换的坐标计算规则求解，牢记常见对称变换的坐标特征可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11. 如图3-1-106,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),把△ABO绕点B逆时针旋转,得到△A'BO',点A,O旋转后的对应点为A',O',记旋转角为α.
(1) 当点O'落在边AB上时,求点O'的坐标.
(2) 当α=60°时,求AA'的长及点O'的坐标.
图3-1-106
(1) 当点O'落在边AB上时,求点O'的坐标.
(2) 当α=60°时,求AA'的长及点O'的坐标.
图3-1-106
答案
11. (1)$O'(\sqrt{2},2-\sqrt{2})$. (2)$AA' = 2\sqrt{2},O'(\sqrt{3},1)$.
解析
【分析】
首先根据点A、B的坐标得出△OAB是等腰直角三角形，OB=OA=2，AB=2√2，∠OBA=45°，为后续解题铺垫。
(1) 旋转后BO'和BO长度相等，结合O'在AB上，利用∠OBA=45°，通过作y轴垂线构造直角三角形，即可计算O'的横纵坐标。
(2) 旋转角为60°时，可得BA和BA'相等且夹角为60°，判定△ABA'为等边三角形直接得AA'的长；求O'坐标时，利用旋转角为60°，构造直角三角形用三角函数计算水平、竖直方向的距离即可得到O'坐标。
【解析】
(1) 已知A(2,0)，B(0,2)，则OA=OB=2，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由旋转的性质得：$BO'=BO=2$。
过O'作$O'M⊥ y$轴于点M，在$Rt△ O'BM$中，$∠ O'BM=45°$，
$\therefore O'M=BO'·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$BM=BO'·\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
$\therefore OM=OB-BM=2-\sqrt{2}$，即$O'$的坐标为$(\sqrt{2},2-\sqrt{2})$。
(2) 当$α=60°$时，旋转角$∠ ABA'=∠ OBO'=60°$，
由旋转性质得$BA=BA'$，$\therefore△ ABA'$是等边三角形，
$\therefore AA'=AB=2\sqrt{2}$。
过O'作$O'N⊥ y$轴于点N，在$Rt△ O'BN$中，$∠ O'BN=60°$，$BO'=2$，
$\therefore BN=BO'·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，$O'N=BO'·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$\therefore ON=OB-BN=2-1=1$，即$O'$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
【答案】
(1)$O'(\sqrt{2},2-\sqrt{2})$；(2)$AA' = 2\sqrt{2}$，$O'(\sqrt{3},1)$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是图形变换与坐标结合的典型题型，核心考查旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，需要结合特殊三角形的性质和三角函数求解，对几何直观和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据点A、B的坐标得出△OAB是等腰直角三角形，OB=OA=2，AB=2√2，∠OBA=45°，为后续解题铺垫。
(1) 旋转后BO'和BO长度相等，结合O'在AB上，利用∠OBA=45°，通过作y轴垂线构造直角三角形，即可计算O'的横纵坐标。
(2) 旋转角为60°时，可得BA和BA'相等且夹角为60°，判定△ABA'为等边三角形直接得AA'的长；求O'坐标时，利用旋转角为60°，构造直角三角形用三角函数计算水平、竖直方向的距离即可得到O'坐标。
【解析】
(1) 已知A(2,0)，B(0,2)，则OA=OB=2，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由旋转的性质得：$BO'=BO=2$。
过O'作$O'M⊥ y$轴于点M，在$Rt△ O'BM$中，$∠ O'BM=45°$，
$\therefore O'M=BO'·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$BM=BO'·\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
$\therefore OM=OB-BM=2-\sqrt{2}$，即$O'$的坐标为$(\sqrt{2},2-\sqrt{2})$。
(2) 当$α=60°$时，旋转角$∠ ABA'=∠ OBO'=60°$，
由旋转性质得$BA=BA'$，$\therefore△ ABA'$是等边三角形，
$\therefore AA'=AB=2\sqrt{2}$。
过O'作$O'N⊥ y$轴于点N，在$Rt△ O'BN$中，$∠ O'BN=60°$，$BO'=2$，
$\therefore BN=BO'·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，$O'N=BO'·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$\therefore ON=OB-BN=2-1=1$，即$O'$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
【答案】
(1)$O'(\sqrt{2},2-\sqrt{2})$；(2)$AA' = 2\sqrt{2}$，$O'(\sqrt{3},1)$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是图形变换与坐标结合的典型题型，核心考查旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，需要结合特殊三角形的性质和三角函数求解，对几何直观和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
