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12. 如图3-1-107,在平面直角坐标系中,第一次将$△ OAB$变化为$△ OA_1B_1$,第二次将$△ OA_1B_1$变化为$△ OA_2B_2$,已知$A(1,3)$,$A_1(2,4)$,$A_2(4,5)$;$B(2,0)$,$B_1(4,0)$,$B_2(8,0)$.按此规律推测:
(1) 写出将$△ OAB$进行第三次变化后顶点$A_3$和$B_3$的坐标和第四次变化后顶点$A_4$和$B_4$的坐标;
(2) 猜想将$△ ABC$进行$n$次变化后顶点$A_n$和$B_n$的坐标.
图3-1-107
(1) 写出将$△ OAB$进行第三次变化后顶点$A_3$和$B_3$的坐标和第四次变化后顶点$A_4$和$B_4$的坐标;
(2) 猜想将$△ ABC$进行$n$次变化后顶点$A_n$和$B_n$的坐标.
图3-1-107
答案
12. (1)$A_3(8,6),B_3(16,0). A_4(16,7),B_4(32,0)$.
(2)$A_n(2^n,n+3),B_n(2^{n+1},0)$.
(2)$A_n(2^n,n+3),B_n(2^{n+1},0)$.
解析
【分析】
解决本题需分别观察A系列、B系列顶点的横、纵坐标变化规律：先从已知的初始状态、第一次、第二次变换后的坐标入手，分别梳理两类点的横坐标、纵坐标的变化特征，总结通用规律后，即可推导第三次、第四次变换后的坐标，最终推广得到第n次变换的坐标表达式。
【解析】
步骤1：分析A系列点的坐标规律
已知：
初始状态(n=0)：$A(1,3)$，横坐标$1=2^0$，纵坐标$3=0+3$
第一次变换(n=1)：$A_1(2,4)$，横坐标$2=2^1$，纵坐标$4=1+3$
第二次变换(n=2)：$A_2(4,5)$，横坐标$4=2^2$，纵坐标$5=2+3$
可得规律：第n次变换后，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为$n+3$。
步骤2：分析B系列点的坐标规律
已知：
初始状态(n=0)：$B(2,0)$，横坐标$2=2^{0+1}$，纵坐标为0
第一次变换(n=1)：$B_1(4,0)$，横坐标$4=2^{1+1}$，纵坐标为0
第二次变换(n=2)：$B_2(8,0)$，横坐标$8=2^{2+1}$，纵坐标为0
可得规律：第n次变换后，$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标恒为0。
步骤3：求解第(1)问
第三次变换即n=3时：
$A_3$横坐标为$2^3=8$，纵坐标为$3+3=6$，即$A_3(8,6)$；
$B_3$横坐标为$2^{3+1}=16$，纵坐标为0，即$B_3(16,0)$。
第四次变换即n=4时：
$A_4$横坐标为$2^4=16$，纵坐标为$4+3=7$，即$A_4(16,7)$；
$B_4$横坐标为$2^{4+1}=32$，纵坐标为0，即$B_4(32,0)$。
步骤4：求解第(2)问
结合上述规律，第n次变换后：
$A_n$坐标为$(2^n, n+3)$，$B_n$坐标为$(2^{n+1}, 0)$。
【答案】
(1) $A_3(8,6),B_3(16,0)$；$A_4(16,7),B_4(32,0)$
(2) $A_n(2^n,n+3),B_n(2^{n+1},0)$
【知识点】
坐标规律探究；图形与坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中典型的规律探究题，解题核心是分别拆分横、纵坐标的变化特征，通过已知个例归纳通用规律，考查学生的观察、归纳能力，解题时注意区分两类点的横坐标指数差异即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解决本题需分别观察A系列、B系列顶点的横、纵坐标变化规律：先从已知的初始状态、第一次、第二次变换后的坐标入手，分别梳理两类点的横坐标、纵坐标的变化特征，总结通用规律后，即可推导第三次、第四次变换后的坐标，最终推广得到第n次变换的坐标表达式。
【解析】
步骤1：分析A系列点的坐标规律
已知：
初始状态(n=0)：$A(1,3)$，横坐标$1=2^0$，纵坐标$3=0+3$
第一次变换(n=1)：$A_1(2,4)$，横坐标$2=2^1$，纵坐标$4=1+3$
第二次变换(n=2)：$A_2(4,5)$，横坐标$4=2^2$，纵坐标$5=2+3$
可得规律：第n次变换后，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为$n+3$。
步骤2：分析B系列点的坐标规律
已知：
初始状态(n=0)：$B(2,0)$，横坐标$2=2^{0+1}$，纵坐标为0
第一次变换(n=1)：$B_1(4,0)$，横坐标$4=2^{1+1}$，纵坐标为0
第二次变换(n=2)：$B_2(8,0)$，横坐标$8=2^{2+1}$，纵坐标为0
可得规律：第n次变换后，$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标恒为0。
步骤3：求解第(1)问
第三次变换即n=3时：
$A_3$横坐标为$2^3=8$，纵坐标为$3+3=6$，即$A_3(8,6)$；
$B_3$横坐标为$2^{3+1}=16$，纵坐标为0，即$B_3(16,0)$。
第四次变换即n=4时：
$A_4$横坐标为$2^4=16$，纵坐标为$4+3=7$，即$A_4(16,7)$；
$B_4$横坐标为$2^{4+1}=32$，纵坐标为0，即$B_4(32,0)$。
步骤4：求解第(2)问
结合上述规律，第n次变换后：
$A_n$坐标为$(2^n, n+3)$，$B_n$坐标为$(2^{n+1}, 0)$。
【答案】
(1) $A_3(8,6),B_3(16,0)$；$A_4(16,7),B_4(32,0)$
(2) $A_n(2^n,n+3),B_n(2^{n+1},0)$
【知识点】
坐标规律探究；图形与坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中典型的规律探究题，解题核心是分别拆分横、纵坐标的变化特征，通过已知个例归纳通用规律，考查学生的观察、归纳能力，解题时注意区分两类点的横坐标指数差异即可避免出错。
【难度系数】
0.7
13. 如图3-1-108，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点B在原点O，直角边BC在x轴的正半轴上，∠ACB = 90°，点A的坐标为$(3,\sqrt{3})$. 点D是BC边上一个动点(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将△BDE沿直线DE翻折，点B落在x轴上的点F处. 若△AEF为直角三角形，求点F的坐标.
答案
13. 提示:由$∠ BEF = 120°$得$∠ AEF$是锐角，因此只有$∠ AFE$或$∠ EAF$可能是直角.
当$∠ AFE$是直角时,由$∠ EFB = ∠ EBF$可证$∠ CAF = ∠ ABC$. $\therefore △ FAC ∽ △ ABC$.
$\therefore \frac{AC}{CF} = \frac{BC}{AC}$, 即 $\frac{\sqrt{3}}{CF} = \frac{3}{\sqrt{3}}$, 则 $CF = 1$,
$BF = BC - CF = 2$, 此时点 $F(2,0)$.
当$∠ EAF$是直角时,同理可证 $CF = 1$,
于是 $BF = BC + CF = 4$, 此时点 $F(4,0)$.
当$∠ AFE$是直角时,由$∠ EFB = ∠ EBF$可证$∠ CAF = ∠ ABC$. $\therefore △ FAC ∽ △ ABC$.
$\therefore \frac{AC}{CF} = \frac{BC}{AC}$, 即 $\frac{\sqrt{3}}{CF} = \frac{3}{\sqrt{3}}$, 则 $CF = 1$,
$BF = BC - CF = 2$, 此时点 $F(2,0)$.
当$∠ EAF$是直角时,同理可证 $CF = 1$,
于是 $BF = BC + CF = 4$, 此时点 $F(4,0)$.
解析
【分析】
解题时先从已知点A的坐标求出Rt△ABC的边长和∠ABC的度数，再结合折叠的性质分析△AEF中哪个角可能为直角：由折叠可得∠BEF=120°，因此∠AEF为锐角，故仅需分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况讨论，每种情况利用相似三角形或直角三角形的性质计算CF的长度，进而得到F点的坐标。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，点A坐标为$(3,\sqrt{3})$，
∴$BC=3$，$AC=\sqrt{3}$，
∴$\tan∠ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$∠ABC=30°$。
由折叠的性质可知：$BE=EF$，$∠EFB=∠ABC=30°$，
∴$∠BEF=180°-2×30°=120°$，则$∠AEF=180°-120°=60°$，为锐角，
因此△AEF为直角三角形时，分两种情况：
1. 当$∠AFE=90°$时：
$∠AFC=180°-∠AFE-∠EFB=60°$，
∵$∠ACF=∠ACB=90°$，$∠CAF=∠ABC=30°$，
∴$△FAC∽△ABC$，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{BC}{AC}$，代入得$\frac{\sqrt{3}}{CF}=\frac{3}{\sqrt{3}}$，解得$CF=1$，
∴$BF=BC-CF=3-1=2$，即F点坐标为$(2,0)$；
2. 当$∠EAF=90°$时：
$∠BAF=90°$，$∠ABF=30°$，故$∠AFB=60°$，
同理可得$CF=1$，此时F在点C右侧，
∴$BF=BC+CF=3+1=4$，即F点坐标为$(4,0)$。
【答案】
点F的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(4,0)}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标与几何变换的综合题，核心考查分类讨论思想，解题的关键是先排除不可能为直角的角，再结合图形性质分情况计算，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知点A的坐标求出Rt△ABC的边长和∠ABC的度数，再结合折叠的性质分析△AEF中哪个角可能为直角：由折叠可得∠BEF=120°，因此∠AEF为锐角，故仅需分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况讨论，每种情况利用相似三角形或直角三角形的性质计算CF的长度，进而得到F点的坐标。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，点A坐标为$(3,\sqrt{3})$，
∴$BC=3$，$AC=\sqrt{3}$，
∴$\tan∠ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$∠ABC=30°$。
由折叠的性质可知：$BE=EF$，$∠EFB=∠ABC=30°$，
∴$∠BEF=180°-2×30°=120°$，则$∠AEF=180°-120°=60°$，为锐角，
因此△AEF为直角三角形时，分两种情况：
1. 当$∠AFE=90°$时：
$∠AFC=180°-∠AFE-∠EFB=60°$，
∵$∠ACF=∠ACB=90°$，$∠CAF=∠ABC=30°$，
∴$△FAC∽△ABC$，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{BC}{AC}$，代入得$\frac{\sqrt{3}}{CF}=\frac{3}{\sqrt{3}}$，解得$CF=1$，
∴$BF=BC-CF=3-1=2$，即F点坐标为$(2,0)$；
2. 当$∠EAF=90°$时：
$∠BAF=90°$，$∠ABF=30°$，故$∠AFB=60°$，
同理可得$CF=1$，此时F在点C右侧，
∴$BF=BC+CF=3+1=4$，即F点坐标为$(4,0)$。
【答案】
点F的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(4,0)}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标与几何变换的综合题，核心考查分类讨论思想，解题的关键是先排除不可能为直角的角，再结合图形性质分情况计算，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
