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1. 方程$3x^2 -5x +2=0$的一个根是$a$,则$6a^2 -10a +2026 =$
2022
。答案
1. 2022
解析
【分析】
首先，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=a代入原方程可得到关于a的等式。再观察所求代数式$6a^2-10a+2026$的结构，发现$6a^2-10a$是$3a^2-5a$的2倍，因此可以通过整体代入的方法计算，不需要求出a的具体值，简化运算步骤。
【解析】
∵a是方程$3x^2 -5x +2=0$的根
∴将x=a代入方程得：$3a^2 -5a +2=0$
整理得：$3a^2 -5a = -2$
对所求代数式变形可得：
$6a^2 -10a +2026 = 2(3a^2 -5a) +2026$
将$3a^2 -5a = -2$代入上式：
原式$=2×(-2) +2026 = -4 +2026 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求代数式的值
【点评】
本题重点考查整体代入思想的运用，无需解出方程的根，通过根的定义得到相关代数式的值后直接整体代入，可有效降低运算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
首先，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=a代入原方程可得到关于a的等式。再观察所求代数式$6a^2-10a+2026$的结构，发现$6a^2-10a$是$3a^2-5a$的2倍，因此可以通过整体代入的方法计算，不需要求出a的具体值，简化运算步骤。
【解析】
∵a是方程$3x^2 -5x +2=0$的根
∴将x=a代入方程得：$3a^2 -5a +2=0$
整理得：$3a^2 -5a = -2$
对所求代数式变形可得：
$6a^2 -10a +2026 = 2(3a^2 -5a) +2026$
将$3a^2 -5a = -2$代入上式：
原式$=2×(-2) +2026 = -4 +2026 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求代数式的值
【点评】
本题重点考查整体代入思想的运用，无需解出方程的根，通过根的定义得到相关代数式的值后直接整体代入，可有效降低运算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
2.【阅读理解】例如:因为$x^2 +5x +6 =x^2 +(2 +3)x +2×3$,所以$x^2 +5x +6=(x +2)(x +3)$。
所以方程$x^2 +5x +6=0$用因式分解法,得$(x +2)(x +3)=0$,解得$x_1=-2,x_2=-3$。
又如:$x^2 -5x +6=x^2 +[(-2)+(-3)]x +(-2)×(-3)$,
所以$x^2 -5x +6=(x -2)(x -3)$。
所以方程$x^2 -5x +6=0$用因式分解法,得$(x -2)(x -3)=0$,解得$x_1=2,x_2=3$。
一般地,$x^2 +(a +b)x +ab=(x +a)(x +b)$,所以$x^2 +(a +b)x +ab=0$,
即$(x +a)(x +b)=0$的解为$x_1=-a,x_2=-b$。
请依照上述方法,用因式分解法解下列方程:
(1)$x^2 +8x +7=0$;
(2)$x^2 -11x +28=0$。
所以方程$x^2 +5x +6=0$用因式分解法,得$(x +2)(x +3)=0$,解得$x_1=-2,x_2=-3$。
又如:$x^2 -5x +6=x^2 +[(-2)+(-3)]x +(-2)×(-3)$,
所以$x^2 -5x +6=(x -2)(x -3)$。
所以方程$x^2 -5x +6=0$用因式分解法,得$(x -2)(x -3)=0$,解得$x_1=2,x_2=3$。
一般地,$x^2 +(a +b)x +ab=(x +a)(x +b)$,所以$x^2 +(a +b)x +ab=0$,
即$(x +a)(x +b)=0$的解为$x_1=-a,x_2=-b$。
请依照上述方法,用因式分解法解下列方程:
(1)$x^2 +8x +7=0$;
(2)$x^2 -11x +28=0$。
答案
(1) $\because x^2 +8x +7 =0$ 可化为 $x^2 + (7 + 1)x +7 × 1 =0,\therefore (x +7)(x +1) =0$,解得 $x_1 = -7,x_2 = -1$
(2) $\because x^2 -11x +28 =0$ 可化为 $x^2 + [(-4) + (-7)]x + (-4) × (-7) =0,\therefore (x -4)(x -7) =0$,解得 $x_1 =4,x_2 =7$
(2) $\because x^2 -11x +28 =0$ 可化为 $x^2 + [(-4) + (-7)]x + (-4) × (-7) =0,\therefore (x -4)(x -7) =0$,解得 $x_1 =4,x_2 =7$
解析
【分析】
这是一道阅读理解类的一元二次方程求解题目，解题核心是运用材料给出的十字相乘法因式分解规律：对于二次三项式$x^2+px+q$，如果能找到两个数$a、b$，使得$a+b=p$且$ab=q$，就可以将其分解为$(x+a)(x+b)$，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，将二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
解题步骤思路：①先确定方程中二次三项式的一次项系数$p$和常数项$q$；②寻找满足“乘积为$q$、和为$p$”的两个数；③将二次三项式分解为两个一次因式的乘积；④分别令每个一次因式为0，求解得到方程的两个根。
【解析】
(1) 对$x^2 +8x +7 =0$变形可得：
$x^2 + (1+7)x +1×7 =0$
因式分解得：$(x+1)(x+7)=0$
令$x+1=0$或$x+7=0$，解得$x_1=-1，x_2=-7$
(2) 对$x^2 -11x +28 =0$变形可得：
$x^2 + [(-4)+(-7)]x + (-4)×(-7) =0$
因式分解得：$(x-4)(x-7)=0$
令$x-4=0$或$x-7=0$，解得$x_1=4，x_2=7$
【答案】
(1) $x_1=-7,x_2=-1$
(2) $x_1=4,x_2=7$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于阅读理解型基础题，需要先读懂材料给出的因式分解规律，再迁移运用到解方程中，解题关键是准确找到满足“和为一次项系数、积为常数项”的两个数，能很好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道阅读理解类的一元二次方程求解题目，解题核心是运用材料给出的十字相乘法因式分解规律：对于二次三项式$x^2+px+q$，如果能找到两个数$a、b$，使得$a+b=p$且$ab=q$，就可以将其分解为$(x+a)(x+b)$，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，将二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
解题步骤思路：①先确定方程中二次三项式的一次项系数$p$和常数项$q$；②寻找满足“乘积为$q$、和为$p$”的两个数；③将二次三项式分解为两个一次因式的乘积；④分别令每个一次因式为0，求解得到方程的两个根。
【解析】
(1) 对$x^2 +8x +7 =0$变形可得：
$x^2 + (1+7)x +1×7 =0$
因式分解得：$(x+1)(x+7)=0$
令$x+1=0$或$x+7=0$，解得$x_1=-1，x_2=-7$
(2) 对$x^2 -11x +28 =0$变形可得：
$x^2 + [(-4)+(-7)]x + (-4)×(-7) =0$
因式分解得：$(x-4)(x-7)=0$
令$x-4=0$或$x-7=0$，解得$x_1=4，x_2=7$
【答案】
(1) $x_1=-7,x_2=-1$
(2) $x_1=4,x_2=7$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于阅读理解型基础题，需要先读懂材料给出的因式分解规律，再迁移运用到解方程中，解题关键是准确找到满足“和为一次项系数、积为常数项”的两个数，能很好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
如图,数轴上点A表示的数为$3x+1$,点B表示的数为$x^2+2x$,已知$AB=5$且点A在数轴的负半轴上,求x的值。
答案
根据题意,得$x^2 + 2x - (3x + 1) = 5$。整理,得$x^2 - x - 6 = 0$。所以$(x - 3)(x + 2) = 0$,$x - 3 = 0$或$x + 2 = 0$,所以$x_1 = 3$,$x_2 = -2$。当$x = 3$时,$3x + 1 = 10 ＞ 0$,舍去。所以x的值为-2
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据数轴的性质，数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数，两点的距离等于右侧点代表的数值减去左侧点代表的数值，因此AB的长度可表示为点B的数减去点A的数等于5，据此列出方程；2. 对列出的方程整理得到一元二次方程，用因式分解法求解得到两个根；3. 结合“点A在数轴负半轴上”的限制条件，即点A表示的数$3x+1＜0$，对求出的根逐一检验，舍去不符合条件的根，最终得到x的正确值。
【解析】
根据题意，点B在点A右侧且$AB=5$，列方程得：
$x^2 + 2x - (3x + 1) = 5$
整理方程：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
因此$x - 3 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -2$。
检验根的合理性：
当$x=3$时，$3x+1=3×3+1=10＞0$，不符合“点A在数轴负半轴上”的条件，舍去；
当$x=-2$时，$3x+1=3×(-2)+1=-5＜0$，符合条件。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
数轴两点距离计算；一元二次方程求解；方程根的检验
【点评】
本题结合数轴性质和一元二次方程求解考查，易错点是求出方程的根后忽略题干的限制条件，漏了舍去不符合要求的根，解题时要注意养成解完方程后结合题干条件检验根合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先根据数轴的性质，数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数，两点的距离等于右侧点代表的数值减去左侧点代表的数值，因此AB的长度可表示为点B的数减去点A的数等于5，据此列出方程；2. 对列出的方程整理得到一元二次方程，用因式分解法求解得到两个根；3. 结合“点A在数轴负半轴上”的限制条件，即点A表示的数$3x+1＜0$，对求出的根逐一检验，舍去不符合条件的根，最终得到x的正确值。
【解析】
根据题意，点B在点A右侧且$AB=5$，列方程得：
$x^2 + 2x - (3x + 1) = 5$
整理方程：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
因此$x - 3 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -2$。
检验根的合理性：
当$x=3$时，$3x+1=3×3+1=10＞0$，不符合“点A在数轴负半轴上”的条件，舍去；
当$x=-2$时，$3x+1=3×(-2)+1=-5＜0$，符合条件。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
数轴两点距离计算；一元二次方程求解；方程根的检验
【点评】
本题结合数轴性质和一元二次方程求解考查，易错点是求出方程的根后忽略题干的限制条件，漏了舍去不符合要求的根，解题时要注意养成解完方程后结合题干条件检验根合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
