例1 在二次根式 $ \textcircled{1} \sqrt{a^{2}+b^{2}} $ $ \textcircled{2} \sqrt{\frac{x}{5}} $ $ \textcircled{3} \sqrt{x^{2}-xy} $ $ \textcircled{4} \sqrt{27abc} $中，最简二次根式是 ( )

A.$ \textcircled{1}\textcircled{2} $
B.$ \textcircled{3}\textcircled{4} $
C.$ \textcircled{1}\textcircled{3} $
D.$ \textcircled{1}\textcircled{4} $
解析 $ \textcircled{1} \sqrt{a^{2}+b^{2}} $是最简二次根式；
$ \textcircled{2} $ $ \sqrt{\frac{x}{5}}=\frac{\sqrt{5x}}{5} $ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
$ \textcircled{3} $ $ \sqrt{x^{2}-xy} $ 是最简二次根式；
$ \textcircled{4} $ $ \sqrt{2 7 a b c}=3 \sqrt{3 a b c} $ ，被开方数含有能开得尽平方的因式，不是最简二次根式.
故 $ \textcircled{1} $ $ \textcircled{3} $是最简二次根式.
答案 C

C

根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式）逐一判断：
1. $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$：被开方数不含分母，也无开得尽方的因式，是最简二次根式；
2. $\sqrt{\frac{x}{5}}$：被开方数含分母，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{x^{2}-xy}$：被开方数不含分母，也无开得尽方的因式，是最简二次根式；
4. $\sqrt{27abc}$：被开方数中27含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式是①③。

例2 计算：
(1) $ \frac{2 7}{5} \sqrt{\frac{1 3^{2}-1 2^{2}}{2 7}}; $ (2) $ -\frac{a b c}{2}\sqrt{\frac{c^{3}}{2 a^{4} b}} ( b ＞ 0 ). $
解(1)原式 $ =\frac{27}{5}\sqrt{\frac{25}{27}}=\frac{27}{5}× \frac{5}{3}× \sqrt{\frac{1}{3}}=9\sqrt{\frac{1}{3}}=3\sqrt{3}. $
(2) 原式 $ = -\frac{abc}{2}× \frac{c}{a^{2}b}× \sqrt{\frac{bc}{2}} = -\frac{abc}{2}× \frac{c}{a^{2}b}× \frac{\sqrt{2bc}}{2} = $ $ -\frac{c^{2}}{4a}\sqrt{2bc}. $

解：
(1) 原式$=\frac{27}{5}\sqrt{\frac{13^2 - 12^2}{27}}$
$=\frac{27}{5}\sqrt{\frac{25}{27}}$
$=\frac{27}{5}×\frac{5}{3\sqrt{3}}$
$=\frac{27}{5}×\frac{5\sqrt{3}}{9}$
$=3\sqrt{3}$
(2) 原式$=-\frac{abc}{2}\sqrt{\frac{c^3}{2a^4b}}$
$=-\frac{abc}{2}×\frac{c}{a^2}\sqrt{\frac{c}{2b}}$
$=-\frac{abc}{2}×\frac{c}{a^2}×\frac{\sqrt{2bc}}{2b}$
$=-\frac{c^2}{4a}\sqrt{2bc}$