1. 下列二次根式中,为最简二次根式的是()

A.$\sqrt{16a}$
B.$\sqrt{a^2 + b^2}$
C.$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
D.$\sqrt{0.5}$

B

根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{16a}=\sqrt{16· a}=4\sqrt{a}$，被开方数含能开得尽方的因数16，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{a^2 + b^2}$的被开方数既不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的被开方数含分母，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是B选项。

2. 如果$\sqrt{x} · \sqrt{x-6} = \sqrt{x(x-6)}$，那么（）

A.$x≥ 0$
B.$x≥ 6$
C.$0≤ x≤ 6$
D.$x$为一切实数

B

二次根式乘法等式成立的前提是所有根号下的被开方数均为非负数，因此需同时满足条件$\begin{cases} x≥0 \\ x-6≥0 \end{cases}$，解得两个不等式的公共解集为$x≥6$。

3. 下列各式从左到右一定正确的是()

A.$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
B.$\sqrt{(-a) · (-b)} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
C.$\sqrt{-a^3} = -a\sqrt{-a}$
D.$\sqrt{4a^2} = 2a$

C

根据二次根式的性质及有意义的条件逐一判断：
1. 选项A：取a=1，b=1，左边=√(1+1)=√2，右边=2，√2≠2，等式不成立，A错误。
2. 选项B：若a＜0、b＜0，左边√[(-a)·(-b)]有意义，但右边√a、√b无意义，等式不成立，B错误。
3. 选项C：√(-a³)有意义则-a³≥0，即a≤0，因此√(-a³)=√(a²·(-a))=|a|√(-a)=-a√(-a)，等式成立，C正确。
4. 选项D：√(4a²)=2|a|，当a＜0时结果为-2a≠2a，等式不成立，D错误。

4. 将$\sqrt{18}$化成最简二次根式的结果为________.

$3\sqrt{2}$

将二次根式化为最简二次根式时，先把被开方数分解出完全平方因数，可得$18=9×2$，其中9是完全平方数，根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，因此$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

5. 若$\sqrt{3m - 4}$是最简二次根式，且$m$为整数，则$m$的最小值是________.

$\boldsymbol{2}$

要使$\sqrt{3m - 4}$是二次根式，首先被开方数需满足非负的条件，即：
$3m - 4 ≥ 0$
解得$m ≥ \frac{4}{3}$。
已知$m$为整数，从满足范围的最小整数开始验证：当$m=2$时，被开方数为$3×2 - 4 = 2$，$\sqrt{2}$符合最简二次根式的定义：被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，完全满足题目要求，因此可得$m$的最小值。

6. 我们把形如 $ a\sqrt{x} + b $（$ a,b $ 为有理数，$ \sqrt{x} $ 为最简二次根式）的数叫作 $ \sqrt{x} $ 型无理数，如 $ 3\sqrt{5} + 1 $ 是 $ \sqrt{5} $ 型无理数。$ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 $ 是 ______ 型无理数。

$\sqrt{3}$

先利用完全平方公式将式子展开化简：
1. 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入得：
$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
2. 计算各项得：$=6 - 2\sqrt{12} + 2$
3. 把$\sqrt{12}$化为最简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入后合并有理数部分：
原式$=8 - 4\sqrt{3} = -4\sqrt{3} + 8$
该式符合$a\sqrt{x}+b$的定义形式，其中$a=-4$、$b=8$均为有理数，$\sqrt{x}=\sqrt{3}$是最简二次根式，因此它是$\sqrt{3}$型无理数。

7. 把下列二次根式化为最简二次根式：
(1) $\sqrt{28}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{3}{5}}$；
(3) $\sqrt{2\dfrac{1}{4}}$；
(4) $\sqrt{9a^2 b^5}\ (a＞0)$.

(1) $2\sqrt{7}$；(2) $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$；(3) $\dfrac{3}{2}$；(4) $3ab^2\sqrt{b}$

化简二次根式的依据为最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$、分母有理化的方法计算：
(1) 先将被开方数28分解出完全平方因数：$28=4×7$，因此$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{4}×\sqrt{7}=2\sqrt{7}$；
(2) 对被开方数去分母，分子分母同乘5：$\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{3×5}{5×5}}=\sqrt{\dfrac{15}{25}}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$；
(3) 先将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，因此$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}$；
(4) 已知$a＞0$，将被开方数分解出完全平方因式：$9a^2b^5=9a^2· b^4· b$，因此$\sqrt{9a^2 b^5}=\sqrt{9a^2 b^4 · b}=\sqrt{9}·\sqrt{a^2}·\sqrt{b^4}·\sqrt{b}=3ab^2\sqrt{b}$。

8. 计算或化简：
(1) $6\sqrt{30} × \frac{2}{3}\sqrt{\frac{5}{2}}$；
(2) $(m+1)(1 - \frac{1}{m+1})$。

(1) $20\sqrt{3}$；(2) $m$

(1) 利用二次根式乘法运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$计算：
① 将系数和根式部分分别相乘：
原式$=(6×\frac{2}{3})×(\sqrt{30}×\sqrt{\frac{5}{2}})$
② 分别计算系数和根号内的乘积：
$=4×\sqrt{30×\frac{5}{2}}=4×\sqrt{75}$
③ 化简二次根式：
$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，因此原式$=4×5\sqrt{3}=20\sqrt{3}$。
(2) 可利用乘法分配律简便化简：
原式$=(m+1)×1 - (m+1)×\frac{1}{m+1}$
约去公因式$m+1$（隐含条件$m≠-1$），得：
$=m+1-1=m$

9. 已知 $ A=5\sqrt{2x+1}, B=3\sqrt{x+3}, C=\sqrt{10x+3y} $，其中 $ A,B $ 为最简二次根式，且 $ A+B=C $，求 $ \sqrt{2y-x^2} $ 的值。

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1. 由A、B是最简二次根式，且A+B=C，可知A和B是同类二次根式（只有同类最简二次根式可以合并相加），因此二者被开方数相等：
2x+1 = x+3 解得：x=2。2. 将x=2代入A、B的表达式：$ A=5\sqrt{2×2+1}=5\sqrt{5}$，$B=3\sqrt{2+3}=3\sqrt{5} $因此$A+B=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$，即$C=8\sqrt{5}$。3. 对$C=\sqrt{10x+3y}$两边同时平方得：$ 10x+3y=(8\sqrt{5})^2=320$
把x=2代入上式：10×2 +3y=320，解得y=100。
4. 将x=2，y=100代入待求式：
$ \sqrt{2y-x^2}=\sqrt{2×100 - 2^2}=\sqrt{196}=14$