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18. 根据以下素材完成任务.
如何设计板材裁切、销售方案？
材料1
图①是一把椅子，主要由靠背、坐垫及铁架组成. 经测量，该款椅子的靠背尺寸为40 cm×15 cm，坐垫尺寸为40 cm×35 cm. 图②是靠背与坐垫的尺寸示意图.
材料2
某工厂制作该款椅子时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款椅子的靠背与坐垫. 已知该板材长为225 cm，宽为40 cm.（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方法
为避免板材浪费，请你设计出该板材的所有裁切方法.
方法一：裁切靠背
方法二：裁切靠背
任务二
确定裁切方案
现需要制作800把学生椅，该工厂仓库现有10个坐垫和20个靠背. 用拟定裁切方法，还需要购买多少张该型号板材？要求靠背和坐垫正好配套且板材全部用完.
任务三
解决实际问题
售出一把椅子获利15元，若使总获利不少于7500元，则至少售出多少把椅子？
如何设计板材裁切、销售方案？
材料1
图①是一把椅子，主要由靠背、坐垫及铁架组成. 经测量，该款椅子的靠背尺寸为40 cm×15 cm，坐垫尺寸为40 cm×35 cm. 图②是靠背与坐垫的尺寸示意图.
材料2
某工厂制作该款椅子时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款椅子的靠背与坐垫. 已知该板材长为225 cm，宽为40 cm.（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方法
为避免板材浪费，请你设计出该板材的所有裁切方法.
方法一：裁切靠背
8
个和坐垫3
个.方法二：裁切靠背
1
个和坐垫6
个.任务二
确定裁切方案
现需要制作800把学生椅，该工厂仓库现有10个坐垫和20个靠背. 用拟定裁切方法，还需要购买多少张该型号板材？要求靠背和坐垫正好配套且板材全部用完.
任务三
解决实际问题
售出一把椅子获利15元，若使总获利不少于7500元，则至少售出多少把椅子？
答案
18. 解：任务一：设裁切靠背$x$个，坐垫$y$个，
根据题意得：$15x+35y=225$，
$\therefore x=15-\dfrac{7}{3}y$.
$\because x,y$为正整数，
$\therefore \begin{cases} x=8, \\ y=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=1, \\ y=6. \end{cases}$
$\therefore$ 方法一：裁切靠背8个和坐垫3个；
方法二：裁切靠背1个和坐垫6个；
任务二：
解：设用$m$张板材裁切靠背8个和坐垫3个，用$n$张板材裁切靠背1个和坐垫6个，
根据题意得：$\begin{cases} 8m+n=800-10, \\ 3m+6n=800-20. \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m=88, \\ n=86. \end{cases}$
$\because 88+86=174$(张)，
$\therefore$ 需要购买该型号板材174张，用其中88张板材裁切靠背8个和坐垫3个，用86张板材裁切靠背1个和坐垫6个.
任务三：解：设售出$a$把椅子，根据题意得：$15a≥7500$.
解得：$a≥500$.
$\therefore$ 至少售出500把.
根据题意得：$15x+35y=225$，
$\therefore x=15-\dfrac{7}{3}y$.
$\because x,y$为正整数，
$\therefore \begin{cases} x=8, \\ y=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=1, \\ y=6. \end{cases}$
$\therefore$ 方法一：裁切靠背8个和坐垫3个；
方法二：裁切靠背1个和坐垫6个；
任务二：
解：设用$m$张板材裁切靠背8个和坐垫3个，用$n$张板材裁切靠背1个和坐垫6个，
根据题意得：$\begin{cases} 8m+n=800-10, \\ 3m+6n=800-20. \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m=88, \\ n=86. \end{cases}$
$\because 88+86=174$(张)，
$\therefore$ 需要购买该型号板材174张，用其中88张板材裁切靠背8个和坐垫3个，用86张板材裁切靠背1个和坐垫6个.
任务三：解：设售出$a$把椅子，根据题意得：$15a≥7500$.
解得：$a≥500$.
$\therefore$ 至少售出500把.
解析
【分析】
解决本题分三步推进：
1. 任务一：观察可知板材宽度40cm刚好和靠背、坐垫的40cm边长完全匹配，只需考虑长度225cm的分配：每个靠背沿长度方向占15cm，每个坐垫沿长度方向占35cm，设裁切靠背x个、坐垫y个，列方程15x+35y=225，结合x、y均为正整数求解，即可得到所有无浪费的裁切方法。
2. 任务二：800套椅子需要800个靠背和800个坐垫，减去仓库已有库存得到还需生产的部件数量。设用m张板材用方法一切裁，n张板材用方法二裁切，根据两种裁切方法产出的部件总量匹配需求列二元一次方程组，求解得到m、n的值，二者之和就是需要购买的板材总数。
3. 任务三：设售出a把椅子，根据“总获利=单把利润×售出数量”，结合总获利不少于7500元列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
任务一
设裁切靠背$x$个，坐垫$y$个，根据板材无浪费可得：
$15x+35y=225$
化简得：$x=15-\dfrac{7}{3}y$
∵$x,y$均为正整数，因此$y$必须为3的正整数倍：
当$y=3$时，$x=15-7=8$；当$y=6$时，$x=15-14=1$；$y≥9$时$x$为负数，不符合实际要求。
因此得到两种裁切方法：
方法一：裁切靠背8个和坐垫3个；方法二：裁切靠背1个和坐垫6个。
任务二
设用$m$张板材采用方法一裁切，$n$张板材采用方法二裁切，根据配套需求列方程组：
$\begin{cases} 8m+n=800-20 \\ 3m+6n=800-10 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m=88 \\ n=86 \end{cases}$
所需板材总数为：$88+86=174$（张）
即需要购买174张板材，其中88张按方法一裁切，86张按方法二裁切。
任务三
设售出$a$把椅子，根据总获利要求列不等式：
$15a≥7500$
解得：$a≥500$
即至少售出500把椅子。
【答案】
任务一：$\boxed{8}$，$\boxed{3}$；$\boxed{1}$，$\boxed{6}$（两组顺序可互换）
任务二：需要购买$\boxed{174}$张该型号板材。
任务三：至少售出$\boxed{500}$把椅子。
【知识点】
二元一次方程整数解；二元一次方程组应用；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生产实际场景，综合考查了方程与不等式的应用，解题时需要先理解题意提取等量、不等量关系，同时注意未知数的取值要符合实际意义（正整数），能够有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解决本题分三步推进：
1. 任务一：观察可知板材宽度40cm刚好和靠背、坐垫的40cm边长完全匹配，只需考虑长度225cm的分配：每个靠背沿长度方向占15cm，每个坐垫沿长度方向占35cm，设裁切靠背x个、坐垫y个，列方程15x+35y=225，结合x、y均为正整数求解，即可得到所有无浪费的裁切方法。
2. 任务二：800套椅子需要800个靠背和800个坐垫，减去仓库已有库存得到还需生产的部件数量。设用m张板材用方法一切裁，n张板材用方法二裁切，根据两种裁切方法产出的部件总量匹配需求列二元一次方程组，求解得到m、n的值，二者之和就是需要购买的板材总数。
3. 任务三：设售出a把椅子，根据“总获利=单把利润×售出数量”，结合总获利不少于7500元列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
任务一
设裁切靠背$x$个，坐垫$y$个，根据板材无浪费可得：
$15x+35y=225$
化简得：$x=15-\dfrac{7}{3}y$
∵$x,y$均为正整数，因此$y$必须为3的正整数倍：
当$y=3$时，$x=15-7=8$；当$y=6$时，$x=15-14=1$；$y≥9$时$x$为负数，不符合实际要求。
因此得到两种裁切方法：
方法一：裁切靠背8个和坐垫3个；方法二：裁切靠背1个和坐垫6个。
任务二
设用$m$张板材采用方法一裁切，$n$张板材采用方法二裁切，根据配套需求列方程组：
$\begin{cases} 8m+n=800-20 \\ 3m+6n=800-10 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} m=88 \\ n=86 \end{cases}$
所需板材总数为：$88+86=174$（张）
即需要购买174张板材，其中88张按方法一裁切，86张按方法二裁切。
任务三
设售出$a$把椅子，根据总获利要求列不等式：
$15a≥7500$
解得：$a≥500$
即至少售出500把椅子。
【答案】
任务一：$\boxed{8}$，$\boxed{3}$；$\boxed{1}$，$\boxed{6}$（两组顺序可互换）
任务二：需要购买$\boxed{174}$张该型号板材。
任务三：至少售出$\boxed{500}$把椅子。
【知识点】
二元一次方程整数解；二元一次方程组应用；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生产实际场景，综合考查了方程与不等式的应用，解题时需要先理解题意提取等量、不等量关系，同时注意未知数的取值要符合实际意义（正整数），能够有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
