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17. 根据如下素材，探索完成任务.
问题解决：
(1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
(2)在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花220元，那么有几种购买方案？
(3)根据素材2，小明恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的$\frac{1}{3}$，则其中B款加料的奶茶买了多少杯？
问题解决：
(1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
(2)在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花220元，那么有几种购买方案？
(3)根据素材2，小明恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的$\frac{1}{3}$，则其中B款加料的奶茶买了多少杯？
答案
17. (1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为10元，12元.
(2)有3种购买方案.
(3)设A款不加料的奶茶买了$a$杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了$b$杯，则B款加料的奶茶买了$(3a-a-b)$杯，即$(2a-b)$杯，
由题意得 $10a+12b+(12+2)(3a-a-b)=380$，
整理得 $b=19a-190$，
$\because a、b、3a-a-b$均为正整数，
$\therefore \begin{cases} a=11, \\ b=19. \end{cases}$
$\therefore 2a-b=2×11-19=3$.
答：B款加料的奶茶买了3杯.
(2)有3种购买方案.
(3)设A款不加料的奶茶买了$a$杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了$b$杯，则B款加料的奶茶买了$(3a-a-b)$杯，即$(2a-b)$杯，
由题意得 $10a+12b+(12+2)(3a-a-b)=380$，
整理得 $b=19a-190$，
$\because a、b、3a-a-b$均为正整数，
$\therefore \begin{cases} a=11, \\ b=19. \end{cases}$
$\therefore 2a-b=2×11-19=3$.
答：B款加料的奶茶买了3杯.
解析
【分析】
(1) 题干给出两组购买不同数量A、B款奶茶的总花费，存在两个未知量，因此设两款奶茶的单价为未知数，根据“总价=单价×数量”列二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 已知不加料时总花费和两款奶茶的单价，设两款的购买数量为未知数，列出二元一次方程，结合“两款都购买，数量均为正整数”的条件，找出所有符合要求的正整数解，解的数量就是购买方案数。
(3) 先根据“A款不加料杯数是总杯数的$\frac{1}{3}$”设A款不加料为a杯，可得总杯数为3a；再设A款加料、B款不加料共b杯，即可表示出B款加料的杯数，结合总花费列方程，再根据所有杯数为正整数的限制求出未知数的值，最终计算B款加料的杯数即可。
【解析】
(1) 设A款奶茶销售单价为$x$元，B款奶茶销售单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x+5y=160 \\ 15x+10y=270\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2x+y=32 ① \\ 3x+2y=54 ②\end{cases}$
①×2 - ②得：$x=10$，将$x=10$代入①得$y=12$。
(2) 设购买A款奶茶$m$杯，B款奶茶$n$杯（$m、n$均为正整数），根据题意得：
$10m+12n=220$，化简得$5m+6n=110$，变形为$m=22-\frac{6n}{5}$。
∵$m、n$为正整数，
∴$n$是5的倍数，且$22-\frac{6n}{5}＞0$，解得$n＜18.33$。
则$n$可取5、10、15，对应$m$为16、10、4，共3组正整数解。
(3) 设A款不加料的奶茶买了$a$杯，可知总杯数为$3a$；设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了$b$杯，则B款加料的奶茶为$(3a-a-b)=(2a-b)$杯。
根据总花费列方程：$10a + 12b + (12+2)(2a-b)=380$
整理得：$38a-2b=380$，即$b=19a-190$。
∵$a、b、2a-b$均为正整数，因此$\begin{cases}19a-190＞0 \\ 2a-(19a-190)＞0 \end{cases}$，解得$10＜a＜11.18$。
∵$a$为正整数，
∴$a=11$，代入得$b=19$，则$2a-b=2×11-19=3$。
【答案】
(1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为10元，12元；
(2)有3种购买方案；
(3)B款加料的奶茶买了3杯。
【知识点】
二元一次方程组应用；不定方程整数解；实际问题建模
【点评】
本题以生活消费场景为背景，贴近实际，重点考查方程类知识在实际问题中的应用，要求学生能准确提取等量关系列方程，同时结合实际问题中未知数的正整数属性求解，对学生的逻辑分析能力和计算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6
(1) 题干给出两组购买不同数量A、B款奶茶的总花费，存在两个未知量，因此设两款奶茶的单价为未知数，根据“总价=单价×数量”列二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 已知不加料时总花费和两款奶茶的单价，设两款的购买数量为未知数，列出二元一次方程，结合“两款都购买，数量均为正整数”的条件，找出所有符合要求的正整数解，解的数量就是购买方案数。
(3) 先根据“A款不加料杯数是总杯数的$\frac{1}{3}$”设A款不加料为a杯，可得总杯数为3a；再设A款加料、B款不加料共b杯，即可表示出B款加料的杯数，结合总花费列方程，再根据所有杯数为正整数的限制求出未知数的值，最终计算B款加料的杯数即可。
【解析】
(1) 设A款奶茶销售单价为$x$元，B款奶茶销售单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x+5y=160 \\ 15x+10y=270\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2x+y=32 ① \\ 3x+2y=54 ②\end{cases}$
①×2 - ②得：$x=10$，将$x=10$代入①得$y=12$。
(2) 设购买A款奶茶$m$杯，B款奶茶$n$杯（$m、n$均为正整数），根据题意得：
$10m+12n=220$，化简得$5m+6n=110$，变形为$m=22-\frac{6n}{5}$。
∵$m、n$为正整数，
∴$n$是5的倍数，且$22-\frac{6n}{5}＞0$，解得$n＜18.33$。
则$n$可取5、10、15，对应$m$为16、10、4，共3组正整数解。
(3) 设A款不加料的奶茶买了$a$杯，可知总杯数为$3a$；设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了$b$杯，则B款加料的奶茶为$(3a-a-b)=(2a-b)$杯。
根据总花费列方程：$10a + 12b + (12+2)(2a-b)=380$
整理得：$38a-2b=380$，即$b=19a-190$。
∵$a、b、2a-b$均为正整数，因此$\begin{cases}19a-190＞0 \\ 2a-(19a-190)＞0 \end{cases}$，解得$10＜a＜11.18$。
∵$a$为正整数，
∴$a=11$，代入得$b=19$，则$2a-b=2×11-19=3$。
【答案】
(1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为10元，12元；
(2)有3种购买方案；
(3)B款加料的奶茶买了3杯。
【知识点】
二元一次方程组应用；不定方程整数解；实际问题建模
【点评】
本题以生活消费场景为背景，贴近实际，重点考查方程类知识在实际问题中的应用，要求学生能准确提取等量关系列方程，同时结合实际问题中未知数的正整数属性求解，对学生的逻辑分析能力和计算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6
