登录
A 在数轴上和表示1的点相距$\sqrt{6}$个单位长度，则A表示的数为
$1-\sqrt{6}$或$1+\sqrt{6}$
.答案
11.$1-\sqrt{6}$或$1+\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴上两点间距离的含义：距离某一固定点长度为定值的点有两个，分别位于该固定点的左侧和右侧。我们可以先设点A表示的数为x，根据两点距离等于两数差的绝对值列方程，再解绝对值方程得到两个结果即可，注意不要漏了其中一种情况。
【解析】
设点A表示的数为x，
因为点A与表示1的点相距$\sqrt{6}$个单位长度，根据数轴上两点间距离公式可得：
$\vert x - 1\vert = \sqrt{6}$
根据绝对值的性质，绝对值等于$\sqrt{6}$的数有两个，分别是$\sqrt{6}$和$-\sqrt{6}$，因此分两种情况计算：
当$x - 1 = \sqrt{6}$时，解得$x = 1 + \sqrt{6}$；
当$x - 1 = -\sqrt{6}$时，解得$x = 1 - \sqrt{6}$。
【答案】
$1-\sqrt{6}$或$1+\sqrt{6}$
【知识点】
数轴上两点间距离；绝对值的性质
【点评】
本题是数轴相关的基础题，易错点是容易只考虑点在1的右侧而漏写左侧的结果，解题时要牢记距离对应的是绝对值，需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确数轴上两点间距离的含义：距离某一固定点长度为定值的点有两个，分别位于该固定点的左侧和右侧。我们可以先设点A表示的数为x，根据两点距离等于两数差的绝对值列方程，再解绝对值方程得到两个结果即可，注意不要漏了其中一种情况。
【解析】
设点A表示的数为x，
因为点A与表示1的点相距$\sqrt{6}$个单位长度，根据数轴上两点间距离公式可得：
$\vert x - 1\vert = \sqrt{6}$
根据绝对值的性质，绝对值等于$\sqrt{6}$的数有两个，分别是$\sqrt{6}$和$-\sqrt{6}$，因此分两种情况计算：
当$x - 1 = \sqrt{6}$时，解得$x = 1 + \sqrt{6}$；
当$x - 1 = -\sqrt{6}$时，解得$x = 1 - \sqrt{6}$。
【答案】
$1-\sqrt{6}$或$1+\sqrt{6}$
【知识点】
数轴上两点间距离；绝对值的性质
【点评】
本题是数轴相关的基础题，易错点是容易只考虑点在1的右侧而漏写左侧的结果，解题时要牢记距离对应的是绝对值，需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. 比较大小:(填“＞”或“＜”)
$\sqrt{3}$ ______ $\sqrt{2}$； $\sqrt[3]{10}$ ______ $\sqrt{5}$； $\sqrt{6}$ ______ $2.35$
$\sqrt{3}$ ______ $\sqrt{2}$； $\sqrt[3]{10}$ ______ $\sqrt{5}$； $\sqrt{6}$ ______ $2.35$
答案
12.＞ ＜ ＞
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，可根据比较对象的类型选择对应方法解题：1. 两个二次根式比较时，可根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”直接判断；2. 三次根式和二次根式比较时，对两个数同时乘2和3的最小公倍数6次乘方，消去根号后比较整数大小即可；3. 二次根式和小数比较时，将两个数同时平方，消去根号后比较平方结果的大小即可，注意正数比较时，平方越大原数越大。
【解析】
1. 比较$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$：
两个数都是二次算术平方根，被开方数$3＞2$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，因此$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$。
2. 比较$\sqrt[3]{10}$和$\sqrt{5}$：
两个数都是正数，同时取6次方：
$(\sqrt[3]{10})^6=10^{6÷3}=10^2=100$，
$(\sqrt{5})^6=5^{6÷2}=5^3=125$，
因为$100＜125$，正数乘方结果越大原数越大，因此$\sqrt[3]{10}＜\sqrt{5}$。
3. 比较$\sqrt{6}$和$2.35$：
两个数都是正数，同时平方：
$(\sqrt{6})^2=6$，
$2.35^2=2.35×2.35=5.5225$，
因为$6＞5.5225$，正数平方越大原数越大，因此$\sqrt{6}＞2.35$。
【答案】
＞ ＜ ＞
【知识点】
根式大小比较，乘方比较法，算术平方根性质
【点评】
本题属于实数大小比较的基础题型，解题核心是根据比较对象的特征选择简便的比较方法，同次根式可直接比较被开方数，不同类型的数比较时可通过乘方转化为有理数再比较，计算时要注意乘方运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题考查实数的大小比较，可根据比较对象的类型选择对应方法解题：1. 两个二次根式比较时，可根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”直接判断；2. 三次根式和二次根式比较时，对两个数同时乘2和3的最小公倍数6次乘方，消去根号后比较整数大小即可；3. 二次根式和小数比较时，将两个数同时平方，消去根号后比较平方结果的大小即可，注意正数比较时，平方越大原数越大。
【解析】
1. 比较$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$：
两个数都是二次算术平方根，被开方数$3＞2$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，因此$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$。
2. 比较$\sqrt[3]{10}$和$\sqrt{5}$：
两个数都是正数，同时取6次方：
$(\sqrt[3]{10})^6=10^{6÷3}=10^2=100$，
$(\sqrt{5})^6=5^{6÷2}=5^3=125$，
因为$100＜125$，正数乘方结果越大原数越大，因此$\sqrt[3]{10}＜\sqrt{5}$。
3. 比较$\sqrt{6}$和$2.35$：
两个数都是正数，同时平方：
$(\sqrt{6})^2=6$，
$2.35^2=2.35×2.35=5.5225$，
因为$6＞5.5225$，正数平方越大原数越大，因此$\sqrt{6}＞2.35$。
【答案】
＞ ＜ ＞
【知识点】
根式大小比较，乘方比较法，算术平方根性质
【点评】
本题属于实数大小比较的基础题型，解题核心是根据比较对象的特征选择简便的比较方法，同次根式可直接比较被开方数，不同类型的数比较时可通过乘方转化为有理数再比较，计算时要注意乘方运算的准确性。
【难度系数】
0.7
13. 已知$a$是小于$3+\sqrt{5}$的整数，且$|2 - a| = a - 2$，那么$a$的所有可能值是
2、3、4、5
。答案
13.2、3、4、5
解析
【分析】
解题需要分三步推导：第一步先估算无理数√5的取值范围，从而得到3+√5的取值范围，确定a的上限；第二步利用绝对值的性质，由|2-a|=a-2推导出a的取值下限；第三步结合a是整数的条件，筛选出同时满足上下限的所有整数即可。
【解析】
1. 估算$3+\sqrt{5}$的范围：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式三边同时加3得：$2+3＜3+\sqrt{5}＜3+3$，也就是$5＜3+\sqrt{5}＜6$。
2. 利用绝对值性质求a的下限：
根据绝对值的性质：若$|x|=x$，则$x≥0$。
已知$|2 - a| = a - 2$，可得$2-a≤0$，解得$a≥2$。
3. 筛选符合条件的整数a：
已知a是小于$3+\sqrt{5}$的整数，结合$5＜3+\sqrt{5}＜6$，可得$a＜6$。
综上，a需要满足$2≤ a＜6$且a为整数，因此a的可能值为2、3、4、5。
【答案】
2、3、4、5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 绝对值的性质
3. 不等式的应用
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先通过估算确定无理数的范围得到参数的上限，再结合绝对值的性质得到参数的下限，最后根据整数的要求筛选结果，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题需要分三步推导：第一步先估算无理数√5的取值范围，从而得到3+√5的取值范围，确定a的上限；第二步利用绝对值的性质，由|2-a|=a-2推导出a的取值下限；第三步结合a是整数的条件，筛选出同时满足上下限的所有整数即可。
【解析】
1. 估算$3+\sqrt{5}$的范围：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式三边同时加3得：$2+3＜3+\sqrt{5}＜3+3$，也就是$5＜3+\sqrt{5}＜6$。
2. 利用绝对值性质求a的下限：
根据绝对值的性质：若$|x|=x$，则$x≥0$。
已知$|2 - a| = a - 2$，可得$2-a≤0$，解得$a≥2$。
3. 筛选符合条件的整数a：
已知a是小于$3+\sqrt{5}$的整数，结合$5＜3+\sqrt{5}＜6$，可得$a＜6$。
综上，a需要满足$2≤ a＜6$且a为整数，因此a的可能值为2、3、4、5。
【答案】
2、3、4、5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 绝对值的性质
3. 不等式的应用
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先通过估算确定无理数的范围得到参数的上限，再结合绝对值的性质得到参数的下限，最后根据整数的要求筛选结果，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
14. 规定用符号$[m]$表示一个实数$m$的整数部分,例如:$[\frac{2}{3}]=0,[3.14]=3$.按此规律,$[\sqrt{10}+1]$的值为
4
.答案
14.4
解析
【分析】
要计算$[\sqrt{10}+1]$的值，首先明确符号$[m]$的含义是取实数$m$的整数部分，也就是不超过$m$的最大整数。解题核心是先估算$\sqrt{10}$的取值范围，再推导$\sqrt{10}+1$的取值范围，最后根据定义得到整数部分即可。
【解析】
首先估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
再推导$\sqrt{10}+1$的范围：
给不等式三边同时加1，可得$3+1＜\sqrt{10}+1＜4+1$，即$4＜\sqrt{10}+1＜5$。
根据新定义取整数部分：
$\sqrt{10}+1$的取值在4和5之间，因此它的整数部分为4。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算、无理数的估算
【点评】
本题考查对新定义规则的理解和无理数估算的能力，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，准确确定无理数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算$[\sqrt{10}+1]$的值，首先明确符号$[m]$的含义是取实数$m$的整数部分，也就是不超过$m$的最大整数。解题核心是先估算$\sqrt{10}$的取值范围，再推导$\sqrt{10}+1$的取值范围，最后根据定义得到整数部分即可。
【解析】
首先估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
再推导$\sqrt{10}+1$的范围：
给不等式三边同时加1，可得$3+1＜\sqrt{10}+1＜4+1$，即$4＜\sqrt{10}+1＜5$。
根据新定义取整数部分：
$\sqrt{10}+1$的取值在4和5之间，因此它的整数部分为4。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算、无理数的估算
【点评】
本题考查对新定义规则的理解和无理数估算的能力，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，准确确定无理数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题
15. 计算：
(1)$\sqrt[3]{4} - |-\sqrt[3]{4}|$；
(2)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-8} - \sqrt{121} + \sqrt[3]{64}$.
15. 计算：
(1)$\sqrt[3]{4} - |-\sqrt[3]{4}|$；
(2)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{-8} - \sqrt{121} + \sqrt[3]{64}$.
答案
15.(1)0 (2)0
解析
【分析】
这两道题属于实数的基础运算题，解题思路清晰：第(1)题首先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再做减法运算即可得出结果；第(2)题先分别算出每个算术平方根、立方根的具体数值，再按照从左到右的顺序计算加减，计算过程中重点注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，可得$|-\sqrt[3]{4}|=\sqrt[3]{4}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{4}\\&=0\end{aligned}$
(2) 先分别计算各开方的值：$\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{121}=11$，$\sqrt[3]{64}=4$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5 - (-2) -11 +4\\&=5+2-11+4\\&=7-11+4\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)0；(2)0
【知识点】
绝对值的性质，平方根运算，立方根运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查开方运算和绝对值化简的掌握情况，只要牢记相关运算规则，注意符号的处理，就能轻松得分。
【难度系数】
0.85
这两道题属于实数的基础运算题，解题思路清晰：第(1)题首先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再做减法运算即可得出结果；第(2)题先分别算出每个算术平方根、立方根的具体数值，再按照从左到右的顺序计算加减，计算过程中重点注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，可得$|-\sqrt[3]{4}|=\sqrt[3]{4}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{4}\\&=0\end{aligned}$
(2) 先分别计算各开方的值：$\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{121}=11$，$\sqrt[3]{64}=4$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5 - (-2) -11 +4\\&=5+2-11+4\\&=7-11+4\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)0；(2)0
【知识点】
绝对值的性质，平方根运算，立方根运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查开方运算和绝对值化简的掌握情况，只要牢记相关运算规则，注意符号的处理，就能轻松得分。
【难度系数】
0.85
16. 求下列各式中未知数的值.
(1) $|a - 2| = \sqrt{5}$；
(2) $(x - 6)^3 = -27$.
(1) $|a - 2| = \sqrt{5}$；
(2) $(x - 6)^3 = -27$.
答案
16.解:(1)由$|a - 2| = \sqrt{5}$,得$a - 2 = \sqrt{5}$或$a - 2 = -\sqrt{5}$.
当$a - 2 = \sqrt{5}$时,$a = \sqrt{5} + 2$;当$a - 2 = -\sqrt{5}$时,$a = -\sqrt{5} + 2$.
(2)两边开立方得$x - 6 = \sqrt[3]{-27}$,所以$x - 6 = -3$,解得$x = 3$.
当$a - 2 = \sqrt{5}$时,$a = \sqrt{5} + 2$;当$a - 2 = -\sqrt{5}$时,$a = -\sqrt{5} + 2$.
(2)两边开立方得$x - 6 = \sqrt[3]{-27}$,所以$x - 6 = -3$,解得$x = 3$.
解析
【分析】
(1) 求解含绝对值的方程时，先利用绝对值的性质：若一个数的绝对值等于正数，则这个数有两个，分别是该正数和它的相反数，去掉绝对值符号后转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到a的取值；
(2) 求解含立方的方程时，根据立方根的性质，对等式两边同时开立方，即可将原方程转化为一元一次方程，求解就能得到x的值。
【解析】
解：(1) 由$|a - 2| = \sqrt{5}$，根据绝对值的性质可得$a - 2 = \sqrt{5}$或$a - 2 = -\sqrt{5}$。
当$a - 2 = \sqrt{5}$时，移项得$a = \sqrt{5} + 2$；
当$a - 2 = -\sqrt{5}$时，移项得$a = 2 - \sqrt{5}$。
(2) 对等式$(x - 6)^3 = -27$两边同时开立方，得$x - 6 = \sqrt[3]{-27}$，
因为$\sqrt[3]{-27}=-3$，所以$x - 6 = -3$，
移项解得$x = 3$。
【答案】
(1) $a=2+\sqrt{5}$或$a=2-\sqrt{5}$；(2) $x=3$
【知识点】
绝对值的性质、立方根的运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础运算题，主要考查绝对值和立方根的基本性质，解题时注意绝对值等于正数的结果有两个，避免漏解，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
(1) 求解含绝对值的方程时，先利用绝对值的性质：若一个数的绝对值等于正数，则这个数有两个，分别是该正数和它的相反数，去掉绝对值符号后转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到a的取值；
(2) 求解含立方的方程时，根据立方根的性质，对等式两边同时开立方，即可将原方程转化为一元一次方程，求解就能得到x的值。
【解析】
解：(1) 由$|a - 2| = \sqrt{5}$，根据绝对值的性质可得$a - 2 = \sqrt{5}$或$a - 2 = -\sqrt{5}$。
当$a - 2 = \sqrt{5}$时，移项得$a = \sqrt{5} + 2$；
当$a - 2 = -\sqrt{5}$时，移项得$a = 2 - \sqrt{5}$。
(2) 对等式$(x - 6)^3 = -27$两边同时开立方，得$x - 6 = \sqrt[3]{-27}$，
因为$\sqrt[3]{-27}=-3$，所以$x - 6 = -3$，
移项解得$x = 3$。
【答案】
(1) $a=2+\sqrt{5}$或$a=2-\sqrt{5}$；(2) $x=3$
【知识点】
绝对值的性质、立方根的运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础运算题，主要考查绝对值和立方根的基本性质，解题时注意绝对值等于正数的结果有两个，避免漏解，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
17. 已知一个正数的平方根分别是$2a-7$与$-a+2$，求这个数. 
答案
17.解:由题意得$2a - 7 + (-a + 2) = 0$. 解得$a = 5$.
所以$2a - 7 = 3$,$-a + 2 = -3$,所以这个数为9.
所以$2a - 7 = 3$,$-a + 2 = -3$,所以这个数为9.
解析
【分析】
解题的核心依据是正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两数之和为0。首先根据该性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根的表达式算出平方根，再将平方根平方即可得到所求的正数。
【解析】
解：由正数的两个平方根互为相反数，可得：
$2a - 7 + (-a + 2) = 0$
化简得：$a - 5 = 0$
解得：$a = 5$
将$a=5$代入$2a-7$，得$2×5 -7 = 3$
则这个正数为$3^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求参数后即可顺利求出原数。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两数之和为0。首先根据该性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根的表达式算出平方根，再将平方根平方即可得到所求的正数。
【解析】
解：由正数的两个平方根互为相反数，可得：
$2a - 7 + (-a + 2) = 0$
化简得：$a - 5 = 0$
解得：$a = 5$
将$a=5$代入$2a-7$，得$2×5 -7 = 3$
则这个正数为$3^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求参数后即可顺利求出原数。
【难度系数】
0.8
